Random Walk—Inventing Spread—Teache

Random Walk—Inventing Spread—Teacher Notes
The random walk is a basic situation for the theoretical study of spread. Under the hood, it’s a binomial problem—the populations at the various positions after n steps follow the distribution in the nth row of Pascal’s triangle. With enough steps, the distribution approaches normality, and (of vital importance) the size of the standard deviation increases proportional to the square root of n.
Here we ask a less sophisticated question: What’s the average distance you’ve gone after a random walk of 10 steps?
What’s Important Here
• This activity gives students some experience with which to underpin the random-walk situation.
• What we mean by average (e.g., whether we take the absolute value) varies with context.
• The activity develops experiences that will help students understand the theoretical results.
Discussion Questions
1. What’s the horizontal axis in a line plot?
2. What does the histogram of the finals really mean? Explain the graph to someone who hasn’t done the activity.
3. In general, do you expect someone who has taken more random steps to be farther from the start? Why?
4. In general, do you expect someone who has taken twice as many random steps to be twice as far from the start? Why?
A Big Fathom Idea
This activity introduces derived collections. We create what we call a measures collection—a collection whose job is to collect summary values from another collection. Those values are statistics—measures of that “source” collection. In the case of our random walk, they’re the final position of the walk. Here’s a table that compares them.



Random Walk (Source) Collection Measures Collection
Each case is a step. Each case represents one random walk.
The whole collection is one random walk—a collection of steps. The collection summarizes many random walks (5 by default).
The final position is a single number (a statistic, a measure) that summarizes the whole walk. Each case contains the final position of one walk, so the collection has many “final positions.”
You can’t calculate the mean distance from the origin here because this collection is only one example. You can calculate the mean distance from the origin in this collection—by averaging the final positions.

A New Birthday Problem
Here’s a new version of an old problem.
Suppose people come into a room one at a time. Whenever a new person comes into the room, he or she announces his or her birthday. If it matches that of anyone else in the room, the door is locked. No one else is let in.
On the average, how many people will get into the room before this happens? What’s the distribution of that number?






Conjecture and Design
First, what do you think? About how many people will come in before there’s a birthday match?



Design a simulation that will answer the question. This answer should include not only the average number of people but also the distribution of that number if the task were repeated many times. Briefly describe how you’ll do it. What collections will you need? Any special formulas? Any things you don’t know that you need to find out?






Construction
Build your simulation in Fathom and run it. Report your results below: Sketch the graph of the distribution and give the average number of people you got.






Comparison and Reflection
Do your results seem reasonable? How did they compare with your conjecture? Did your simulation work as planned? Describe any modifications you had to make.

Kết quả (Việt) 1:

Ngẫu nhiên đi-phát minh ra lây lan — giáo viên ghi chúNgẫu nhiên đi bộ là một tình huống cơ bản cho việc nghiên cứu lý thuyết của lây lan. Dưới mui xe, nó là một vấn đề nhị thức — các quần thể tại các vị trí khác nhau sau khi n các bước thực hiện theo sự phân bố ở hàng thứ n của tam giác Pascal. Với đủ các bước, phân phối phương pháp tiếp cận bình thường, và (quan trọng quan trọng) kích thước của độ lệch chuẩn tăng tỉ lệ thuận với bậc hai của n.Ở đây chúng tôi yêu cầu một câu hỏi ít phức tạp: khoảng cách trung bình bạn đã đi sau khi đi bộ ngẫu nhiên của 10 bước là gì?Những gì là quan trọng ở đây• Hoạt động này cung cấp cho sinh viên một số kinh nghiệm mà củng cố tình hình ngẫu nhiên đi bộ.• Chúng tôi có nghĩa là như thế nào do trung bình (ví dụ, cho dù chúng tôi có giá trị tuyệt đối) với bối cảnh khác nhau.• Các hoạt động phát triển những kinh nghiệm sẽ giúp học sinh hiểu kết quả lý thuyết.Câu hỏi thảo luận1. thế nào là trục ngang trong một dòng âm mưu?2. biểu đồ của chung kết thực sự có nghĩa gì? Giải thích biểu đồ cho những người đã không thực hiện các hoạt động.3. nói chung, bạn mong đợi một người đã thực hiện các bước sau nhiều ngẫu nhiên được xa hơn từ khi bắt đầu? Tại sao?4. nói chung, bạn mong đợi một người đã hai lần như nhiều bước ngẫu nhiên được hai lần như xa bắt đầu? Tại sao?Một ý tưởng lớn FathomHoạt động này giới thiệu các bộ sưu tập có nguồn gốc. Chúng tôi tạo ra những gì chúng tôi gọi là một bộ sưu tập các biện pháp — một bộ sưu tập công việc mà là để thu thập các giá trị tóm tắt từ một bộ sưu tập. Các giá trị đó là thống kê-các biện pháp mà bộ sưu tập "nguồn". Trong trường hợp của chúng tôi đi bộ ngẫu nhiên, chúng tôi vị trí cuối cùng của việc đi bộ. Dưới đây là bảng so sánh chúng. Bộ sưu tập các biện pháp bộ sưu tập ngẫu nhiên đi (mã nguồn)Mỗi trường hợp là một bước. Mỗi trường hợp đại diện cho một ngẫu nhiên đi bộ.Các bộ sưu tập toàn bộ là một ngẫu nhiên đi bộ-một tập hợp các bước. Các bộ sưu tập tóm tắt nhiều ngẫu nhiên đi bộ (5 theo mặc định).Vị trí cuối cùng là một số duy nhất (một số liệu thống kê, một biện pháp) tóm tắt toàn bộ đi. Mỗi trường hợp chứa vị trí cuối cùng của một trong những đi, vì vậy bộ sưu tập có nhiều "vị trí cuối cùng."Bạn không thể tính toán khoảng cách trung bình từ nguồn gốc ở đây bởi vì bộ sưu tập này là chỉ có một ví dụ. Bạn có thể tính toán khoảng cách trung bình từ nguồn gốc trong bộ sưu tập này — bởi trung bình vị trí cuối cùng. Một vấn đề ngày sinh nhật mớiDưới đây là một phiên bản mới của một vấn đề cũ.Giả sử người đi vào một căn phòng một lúc một thời gian. Bất cứ khi nào một người mới đi vào phòng, anh ta hoặc cô thông báo ngày sinh nhật của mình. Nếu nó phù hợp với của bất cứ ai khác trong phòng, cánh cửa đã bị khoá. Không có ai khác cho.Trung bình, có bao nhiêu người sẽ nhận được vào trong phòng trước khi điều này xảy ra? Sự phân bố của số đó là gì?Giả thuyết và thiết kếTrước tiên, bạn nghĩ gì? Về bao nhiêu người sẽ đến trong trước khi có một sinh nhật phù hợp?Thiết kế một mô phỏng sẽ trả lời câu hỏi. Câu trả lời này nên bao gồm không chỉ là con số trung bình của người dân mà còn là sự phân bố của số đó nếu công việc được lặp đi lặp lại nhiều lần. Mô tả ngắn gọn như thế nào bạn sẽ làm điều đó. Các bộ sưu tập những gì bạn sẽ cần? Bất kỳ công thức đặc biệt? Bất kỳ những thứ bạn không biết rằng bạn cần phải tìm hiểu?Xây dựngXây dựng mô phỏng của bạn trong hiểu được và chạy nó. Báo cáo kết quả của bạn dưới đây: phác họa biểu đồ phân phối và cung cấp cho số trung bình của người Anh.So sánh và phản ánhDo kết quả của bạn có vẻ hợp lý? Làm thế nào họ so sánh với phỏng đoán của bạn? Mô phỏng của bạn đã làm việc như kế hoạch? Mô tả bất kỳ sửa đổi nào bạn đã có để thực hiện.

Kết quả (Việt) 2:

Random Walk-Inventing Spread-Teacher Ghi chú
Các bước đi ngẫu nhiên là một tình huống cơ bản cho các nghiên cứu lý thuyết lan truyền. Dưới mui xe, đó là một vấn đề nhị thức dân tại các vị trí khác nhau sau khi bước n tuân theo phân bố ở hàng thứ n của tam giác Pascal. Với đủ các bước, phân phối của phương pháp tiếp cận bình thường, và (quan trọng sống còn) kích thước của độ lệch tăng tiêu chuẩn tỷ lệ thuận với căn bậc hai của n.
Ở đây chúng tôi đặt một câu hỏi ít phức tạp: là gì khoảng cách trung bình bạn đã đi sau một bước đi ngẫu nhiên 10 bước?
có gì quan trọng đây
• hoạt động này mang lại cho sinh viên một số kinh nghiệm nào đó để củng cố tình hình ngẫu nhiên đi bộ.
• những gì chúng tôi có nghĩa là bằng trung bình (ví dụ, cho dù chúng ta lấy giá trị tuyệt đối) khác nhau với bối cảnh.
• các hoạt động phát triển kinh nghiệm mà sẽ giúp học sinh hiểu được những kết quả lý thuyết.
Câu hỏi thảo luận
1. Có gì trục ngang trong một âm mưu dòng?
2. Không biểu đồ của các trận chung kết thực sự có ý nghĩa gì? Giải thích đồ thị cho những người đã không được thực hiện hoạt động này.
3. Nói chung, bạn mong đợi một ai đó đã đưa nhiều bước ngẫu nhiên để được xa hơn từ đầu? Tại sao?
4. Nói chung, bạn mong đợi một người đã hai lần như nhiều bước ngẫu nhiên là xa gấp đôi từ đầu? Tại sao?
Một ý tưởng Big Fathom
hoạt động này giới thiệu các bộ sưu tập có nguồn gốc. Chúng tôi tạo ra những gì chúng ta gọi là một biện pháp thu-một bộ sưu tập có nhiệm vụ thu thập các giá trị tóm tắt từ bộ sưu tập khác. Những giá trị này là số liệu thống kê, các biện pháp đó "nguồn" bộ sưu tập. Trong trường hợp của bước đi ngẫu nhiên của chúng tôi, họ là những vị trí cuối cùng của bộ. Dưới đây là bảng so sánh chúng. Random Walk (Nguồn) Các biện pháp Collection Collection Mỗi trường hợp là một bước. Mỗi trường hợp đại diện cho một bước đi ngẫu nhiên. Toàn bộ bộ sưu tập là một đi bộ một ngẫu nhiên bộ sưu tập các bước. Các bộ sưu tập tóm tắt nhiều quãng đường ngẫu nhiên (5 theo mặc định). Các vị trí cuối cùng là một số duy nhất (một số liệu thống kê, một biện pháp) mà tóm tắt toàn bộ. Mỗi trường hợp có chứa các vị trí cuối cùng của một đi bộ, vì vậy các bộ sưu tập có nhiều "vị trí cuối cùng." Bạn không thể tính toán khoảng cách trung bình từ nguồn gốc ở đây vì bộ sưu tập này chỉ là một ví dụ. Bạn có thể tính toán khoảng cách trung bình từ nguồn gốc trong này thu theo trung bình các vị trí cuối cùng. Một vấn đề mới Birthday Dưới đây là một phiên bản mới của một vấn đề cũ. Người Giả sử đi vào một phòng tại một thời điểm. Bất cứ khi nào một người mới đi vào phòng, anh ta hoặc cô thông báo ngày sinh nhật của cô. Nếu nó phù hợp của bất cứ ai khác trong phòng, cánh cửa bị khóa. Không có người nào đi vào. Trên trung bình, bao nhiêu người sẽ được vào phòng trước khi điều này xảy ra? Sự phân bố các con số? Là gì Conjecture và Thiết kế Đầu tiên, bạn nghĩ gì? Khoảng bao nhiêu người sẽ đến trước khi có một trận đấu sinh nhật? Thiết kế một mô phỏng mà sẽ trả lời các câu hỏi. Câu trả lời này nên bao gồm không chỉ số trung bình của người dân mà còn phân phối của số đó nếu công việc được lặp đi lặp lại nhiều lần. Mô tả ngắn gọn như thế nào bạn sẽ làm điều đó. Bạn sẽ cần những bộ sưu tập? Bất kỳ công thức đặc biệt không? Bất kỳ những thứ bạn không biết rằng bạn cần phải tìm hiểu? Xây dựng Xây dựng mô phỏng của bạn trong Fathom và chạy nó. Báo cáo kết quả của bạn dưới đây:. Vẽ đồ thị của phân phối và cung cấp cho số lượng trung bình của những người mà bạn đã so sánh và Reflection Do kết quả của bạn có vẻ hợp lý? Làm thế nào mà họ so sánh với phỏng đoán của bạn? Đã làm việc mô phỏng của bạn như kế hoạch? Mô tả bất kỳ thay đổi bạn đã thực hiện.