POINTS ON y = x2AT RATIONAL DISTANC

POINTS ON y = x
2
AT RATIONAL DISTANCE 5
Proof. Let Cα,β,ρ
be the circle (x − α)
2
+ (y − β)
2
= ρ
2
, where α, β, ρ ∈ R. This
circle intersects y = x
2
at the points whose x-coordinates are the roots of (x − α)
2
+
(x
2
− β)
2
− ρ
2
or equivalently x
4
− (2β − 1)x
2
− 2αx − (ρ
2
− α
2
− β
2
). Since the
coefficient of x
3
in this polynomial is 0, the roots must sum to 0.
Conversely, given four values, x
i
, i = 1, 2, 3, 4, such that x
1 + x
2 + x
3 + x
4 = 0,
one can solve
4 Y
i=1
(x − x
i ) = x
4
− (2β − 1)x
2
− 2αx − (ρ
2
− α
2
− β
2
)
for α, β, and ρ. 
Theorem 3.2. Suppose P1, P2, P3
and P4
are rational and concyclic. These points
are at rational distance if and only if there are nonzero rational values m12, m13
and m23 such that the first three equations of (2.6) hold. When this is the case,
x
4 must equal
−g(m12) − g(m13) − g(m23)
2
. Furthermore, the points are distinct if
and only if the g(mij ) are distinct.
Proof. By proposition 3.1, x
4 = −x
1 − x
2 − x
3
. Therefore, for each i = 1, 2, 3,
x
i + x
4 = g(mi4) can be rewritten as x
j + x
k = −g(mi4
), where i, j, k and 4 are
distinct. Since g(m) is an odd function, this is equivalent to requiring mi4 = −mjk .
Plugging this into the equations of theorem 2.4 gives us the first part of the theorem.
If x
i = x
j
for some i 6 = j , then we are equating two of the equations in (2.6).
Solving the resulting equation proves the last statement of this theorem. 
Remark 3.3. Observe that if precisely one of the values g(mij ) is 0, then the points
are symmetric across the y-axis. In this case, we need not assume the points are
rational. It is easy to show that when the points are symmetric about the y-axis,
four points on y = x
2
at rational distance must be rational points.
Remark 3.4. We also point out that theorem 3.2 implies that given any three
rational points on the parabola y = x
2
at rational distance, the point whose xcoordinate is the negative of the sum of the x-coordinates of the other three points
is necessarily at rational distance to those three. This implies that one strategy for
attempting to get five points at rational distance is to first find four non-concyclic
points at rational distance and take the fifth point to be concyclic with some three of
them. This would immediately give five points with all but one of the ten distances
rational.
One example of five points on y = x
2
at rational distance was found while
producing non-concyclic sets of 4 points– the set of points with x-coordinates
{0, ±91/60, ±209/120}. It may be possible to extend this to an infinite family
of examples, but we have not yet been able to do so.
Our inability to completely describe the situation for five points (even if we allow
some four of them to be concyclic) suggests that removing the concyclic condition
from question 1.3 does not render it trivial.
We now turn our attention to finding 4 non-concyclic points on y = x
2
at rational
distance.

Kết quả (Việt) 1:

ĐIỂM trên y = x2TẠI HỢP LÝ KHOẢNG CÁCH 5Bằng chứng. Hãy để Cα, β, ρlà vòng tròn (x − α)2+ (y − β)2= Ρ2, nơi α, β, ρ ∈ R. đâyvòng tròn cắt y = x2tại các điểm có tọa độ x là rễ (x − α)2+(x2− Β)2− Ρ2hoặc tương đương x4− (2β − 1) x2− 2αx − (ρ2− Α2− Β2). Kể từ khi cácHệ số của x3đa thức này là 0, rễ phải tổng hợp về 0.Ngược lại, đưa ra bốn giá trị, xtôi, i = 1, 2, 3, 4, như vậy mà x1 + x2 + x3 + x4 = 0,một trong những có thể giải quyết4 Yi = 1(x − xi) = x4− (2β − 1) x2− 2αx − (ρ2− Α2− Β2)α, β và ρ.Định lý 3.2. Giả sử P1, P2, P3và P4được hợp lý và concyclic. Những điểm nàycó khoảng cách hợp lý nếu và chỉ nếu không có giá trị hợp lý nonzero m12, m13và m23 như vậy mà các phương trình đầu tiên ba (2.6) giữ. Khi đây là trường hợp,x4 phải bằng nhau−g(M12) − g(m13) − g(m23)2. Hơn nữa, các điểm là khác biệt nếuvà nếu g (on) riêng biệt.Bằng chứng. Bởi Döï Luaät 3.1, x4 = −x1 − x2 − x3. Vì vậy, đối với mỗi i = 1, 2, 3,xtôi + x4 = g(mi4) có thể được viết lại như xj + xk = −g (mi4), i, j, k và 4 ở đâukhác biệt. Kể từ khi g(m) là một chức năng lạ, đây là tương đương để yêu cầu các mi4 = −mjk.Cắm này vào phương trình của định lý 2.4 cho chúng ta một phần đầu tiên của định lý.Nếu xtôi = xjĐối với một số i 6 = j, sau đó chúng tôi đang equating hai trong số các phương trình trong (2.6).Giải quyết các phương trình kết quả đã chứng minh các tuyên bố cuối cùng của định lý này. Nhận xét 3.3. Quan sát cho rằng nếu chính xác là một trong các giá trị g (on) là 0, sau đó các điểmđược đối xứng qua trục y. Trong trường hợp này, chúng ta không cần giả định các điểm làhợp lý. Nó rất dễ dàng để cho thấy rằng khi các điểm đối xứng về trục y,bốn điểm trên y = x2ở khoảng cách hợp lý phải là hợp lý điểm.Nhận xét 3,4. Chúng tôi cũng chỉ ra rằng định lý 3.2 ngụ ý cho bất kỳ bađiểm hợp lý trên parabol y = x2ở khoảng cách hợp lý, các điểm mà xcoordinate là âm tính số tiền của các tọa độ x khác ba điểmlà nhất thiết phải ở khoảng cách hợp lý để ba. Điều này ngụ ý rằng một chiến lược chocố gắng để có được 5 điểm ở khoảng cách hợp lý là lần đầu tiên tìm thấy bốn không-concyclicđiểm ở khoảng cách hợp lý và mất thứ năm điểm để là concyclic với một số bahọ. Điều này ngay lập tức sẽ cung cấp cho năm điểm với tất cả, nhưng một trong khoảng cách 10hợp lý.Một ví dụ về năm điểm trên y = x2ở khoảng cách hợp lý đã được tìm thấy trong khisản xuất không concyclic bộ 4 điểm-tập hợp các điểm với tọa độ x{0, ±91/60, ±209 120}. Nó có thể để mở rộng điều này cho một gia đình vô hạnVí dụ, nhưng chúng tôi được nêu ra đã không thể làm như vậy.Chúng tôi không có khả năng hoàn toàn mô tả tình hình cho năm điểm (ngay cả khi chúng tôi cho phépmột số 4 trong số đó là concyclic) cho thấy rằng việc loại bỏ các điều kiện concyclictừ câu hỏi 1.3 không khiến nó tầm thường.Chúng tôi bây giờ chuyển sự chú ý của chúng tôi để tìm ra 4-concyclic điểm trên y = x2tại hợp lýkhoảng cách.

Kết quả (Việt) 2:

ĐIỂM VỀ y = x
2
AT HỢP LÝ XA 5
Proof. Hãy Cα, β, ρ
là vòng tròn (x - α)
2
+ (y - β)
2
= ρ
2
, nơi α, β, ρ ∈ R. này
vòng tròn cắt y = x
2
tại điểm có x-tọa độ là rễ của (x - α)
2
+
(x
2
- β)
2
- ρ
2
hoặc tương đương x
4
- (2β - 1) x
2
- 2αx - (ρ
2
- α
2
- β
2
). Kể từ khi
hệ số của x
3
trong đa thức này là 0, rễ phải tổng hợp tới 0.
Ngược lại, với bốn giá trị, x
i
, i = 1, 2, 3, 4, như vậy là x
1 + x
2 + x
3 + x
4 = 0,
ta có thể giải quyết
4 Y
i = 1
(x - x
i) = x
4
- (2β - 1) x
2
- 2αx - (ρ
2
- α
2
- β
2
)
cho α, β, và ρ. ?
Định lý 3.2. Giả sử P1, P2, P3
và P4
là hợp lý và concyclic. Những điểm này
là ở khoảng cách hợp lý nếu và chỉ nếu có khác không giá trị hợp lý M12, M13
và M23 như vậy mà ba phương trình đầu tiên của (2.6) nắm giữ. Khi điều này là trường hợp,
x
4 phải bằng
-g (M12) - g (M13) - g (M23)
2
. Ngoài ra, những điểm rất khác biệt nếu
và chỉ nếu g (mij) là khác biệt.
Proof. By đề 3.1, x
4 = -x
1 - x
2 - x
3
. Vì vậy, với mỗi i = 1, 2, 3,
x
i + x
4 = g (MI4) có thể được viết lại như x
j + x
k = g (MI4
), nơi i, j, k và 4 là
khác biệt. Vì g (m) là một hàm lẻ, điều này tương đương với việc yêu cầu MI4 = -mjk.
Cắm này vào các phương trình của định lý 2.4 cho chúng ta phần đầu của định lý.
Nếu x
i = x
j
cho một số i 6 = j, sau đó chúng ta đang đương hai của phương trình trong (2.6).
Giải phương trình kết quả chứng minh tuyên bố cuối cùng của định lý này. ?
Ghi chú 3.3. Quan sát rằng nếu chính xác một trong các giá trị g (mij) là 0 thì điểm
là đối xứng qua trục y. Trong trường hợp này, chúng tôi không cần phải giả định các điểm là
hợp lý. Nó rất dễ dàng để thấy rằng khi các điểm là đối xứng qua trục y,
bốn điểm trên y = x
2
ở khoảng cách hợp lý phải có điểm hợp lý.
Ghi chú 3.4. Chúng tôi cũng chỉ ra rằng định lý 3.2 có nghĩa là đưa ra bất kỳ ba
điểm hợp lý trên parabol y = x
2
ở khoảng cách có lý trí, các điểm có xcoordinate là tiêu cực của tổng các x-tọa độ ba điểm khác
là nhất thiết phải ở khoảng cách lý trí đến những ba. Điều này ngụ ý rằng một trong những chiến lược để
cố gắng nhận được năm điểm ở khoảng cách hợp lý là lần đầu tiên tìm thấy bốn phi concyclic
điểm ở khoảng cách hợp lý và mất điểm thứ năm là concyclic với vài ba của
họ. Điều này ngay lập tức sẽ cung cấp cho năm điểm với tất cả, nhưng một trong mười khoảng cách
hợp lý.
Một ví dụ của năm điểm trên y = x
2
ở khoảng cách hợp lý đã được tìm thấy trong khi
sản xuất bộ phi concyclic 4 points- tập hợp các điểm có tọa độ x-
{ 0, ± 91/60, ± 209/120}. Có thể mở rộng này để trong một gia đình vô hạn
của ví dụ, nhưng chúng ta vẫn chưa thể làm được như vậy.
Bất lực của chúng tôi để miêu tả hoàn toàn tình hình trong năm điểm (thậm chí nếu chúng ta cho phép
một số bốn trong số họ làm concyclic) cho thấy rằng loại bỏ các điều kiện concyclic
từ câu hỏi 1.3 không làm cho nó tầm thường.
Bây giờ chúng ta chuyển sự chú ý của chúng tôi để tìm kiếm 4 điểm không concyclic trên y = x
2
tại hợp lý
khoảng cách.

Kết quả (Việt) 3:

Trong y học.2.Ở khoảng cách 5 là hợp lý.Chứng minh.Để C α, β, ρTròn (x − α)2.+ (y − β)2.= = = = ρ2., α, β, lão này dần phản R.Vòng tròn và Y = X2.In its hoành là gốc tọa độ của điểm (x − α)2.+(X2.− β)2.− ρ2.Hay tương đương với X4.− (2 x β − 1)2.− 2 α x − (ρ2.− α2.− β2.).Kể từ khiHệ số XBaĐa thức này là 0, gốc phải tổng kết là 0.Thay vào đó, đưa ra một giá trị 4, XTôiTôi = 1, 2, 3, 4, như vậy1 + X2 + X3 + X4 = 0,Một người có thể giải quyết4 yI = 1.− x (X= X4.− (2 x β − 1)2.− 2 α x − (ρ2.− α2.− β2.)Đối với α, β, và ρ.Lý 3.2.Giả sử P1, P2, P3Và P4Là hợp lý và cung tròn.Những điểmỞ khoảng cách hợp lý, nếu có dân số 0 của giá trị lý, M12, M13Và M23, ba phương trình đầu tiên (2.6) tổ chức.Khi là những tình huống như vậy,X4 phải bằng− G (M12) − G (M13) − G (M23)2..Bên cạnh đó, điểm khác biệt, nếuNếu G (ij) khác nhau.Chứng minh.Qua lời đề nghị 1, X4 = − x1 − x2 − xBa.Vì vậy, đối với mỗi một i = 1, 2, 3,X- X4 = g (mi) có thể viết lại cho XJ - XK = − G (Mi), ở Anh, J, K và 4.Khác nhau.Do G (m) là hàm số lẻ, điều này tương đương với yêu cầu − MJK MI4 =.Định lý này của phương trình sẽ chèn 2.4, đã cung cấp cho chúng ta lý phần đầu tiên của.Nếu XTôi = XJĐối với vài người, tôi 6 = J, và sau đó chúng ta sẽ lấy hai phương trình (2.6).Giải phương trình của định lý này được chứng minh câu cuối cùng.Không bút 3.3.Quan sát thấy, nếu là một giá trị G (ij) là 0, sau đó.Đối xứng với trục y.Trong trường hợp này, chúng ta không cần phải giả định làLý trí.Rõ ràng, khi một chút về y trục đối xứng,Y = x lên bốn.2.Ở khoảng cách hợp lý phải là hợp lý hơn.Không bút 3.4.Chúng ta đã chỉ ra rằng, lý 3.2 có nghĩa là xác định bất kỳ baTrên parabol có lý.2.Ở khoảng cách hợp lý, hơn là với những tọa độ x 3 điểm X là tọa độ và phụChắc là ở khoảng cách hợp lý những ba.Điều đó có nghĩa là một chiến lượcCố ở khoảng cách hợp lý được 5 điểm, là trước tiên phải tìm được bốn phi cung trònỞ khoảng cách hợp lý hơn, và thứ 5 cho tổng cộng khoảng 3 vòng.Họ.Nó sẽ lập tức cho 5 điểm, nhưng một trong số mười một khoảng cáchLý trí.Về y = x 5. Một ví dụ2.Ở khoảng cách hợp lý khi bị phát hiện4 giờ cung tròn bộ sản xuất phi – điểm X là tọa độ tập[0, 91 / 60209 / 120].Nó có thể sẽ mở rộng vào một gia đình vô cùng.Ví dụ, nhưng chúng ta vẫn không thể làm thế.Chúng ta không thể hoàn toàn mô tả năm tình hình (kể cả khi chúng ta cho phép.Trong số 4 là cung tròn) cho thấy điều kiện loại bỏ cung trònVấn đề không nhỏ từ 1.3 vẽ nó.Bây giờ chúng ta tập trung chuyển sang tìm kiếm điểm số 4 không tròn y = X2.Ở lýKhoảng cách.