THE GAUSSIAN INTEGERS 5|a − bq| ≤ (

THE GAUSSIAN INTEGERS 5
|a − bq| ≤ (1/2)|b|. Write r = a − bq, so a = bq + r with |r| ≤ (1/2)|b|. In the usual division
theorem, the remainder is nonnegative and bounded above by |b|. We have shrunken the
upper bound at the cost of possibly making the remainder negative.
Sometimes a might land right in the middle between two multiples of b, in which case
the quotient and remainder are not unique, e.g., if a = 27 and b = 6 then a is right in the
middle between 4b and 5b:
27 = 6 · 4 + 3, 27 = 6 · 5 − 3.
Thus we get two choices of r, either 3 or −3. The usual division theorem in Z has a unique
quotient and remainder, but the modified version gives up on uniqueness. This might seem
like a calamity, but it’s exactly what we need to prove the division theorem in Z[i] (Theorem
3.1), which is what we turn to next. The proof is mostly a translation of the correct part
of Example 3.2 into general algebraic terms. After the proof we will give further examples.
Proof. We have α, β ∈ Z[i] with

Kết quả (Việt) 1:

CÁC SỐ NGUYÊN GAUSS 5|a − bq| ≤ (1/2) |b|. Ghi r = bq − một, vì vậy một = bq + r với |r| ≤ (1/2) |b|. Trong cuộc phân chia thông thườngđịnh lý, còn lại là vô bị chặn trên của |b|. Chúng tôi có shrunken cácràng buộc với chi phí có thể làm cho phần còn lại tiêu cực.Đôi khi là một có thể đất ngay ở giữa giữa hai bội của b, trong trường hợpthương và còn lại là không duy nhất, ví dụ, nếu một = 27 và b = 6 thì một là đúng trong cácTrung giữa 4b và 5b:27 = 6 · 4 + 3, 27 = 6 · 5 − 3.Vì vậy, chúng tôi nhận được hai sự lựa chọn của r, hoặc 3 hoặc −3. Định lý phân chia thông thường trong Z có duy nhấtthương và phần còn lại, nhưng phiên bản sửa đổi cho đến ngày độc đáo. Điều này có vẻnhư một thiên tai, nhưng nó là chính xác những gì chúng ta cần phải chứng minh định lý phân chia trong Z [i] (định lý3.1), đó là những gì chúng tôi chuyển đến tiếp theo. Bằng chứng là chủ yếu là bản dịch một phần đúngtrong ví dụ 3.2 vào các điều khoản chung đại số. Sau khi chứng minh chúng tôi sẽ cung cấp cho hơn nữa ví dụ.Bằng chứng. Chúng tôi có α, β ∈ Z [i] với

Kết quả (Việt) 2:

Gaussian số nguyên 5
| a - bq | ≤ (1/2) | b |. Viết r = a - bq, do đó a = bq + r với | r | ≤ (1/2) | b |. Trong việc phân chia thông thường
lý, số còn lại là số không âm và bị chặn trên bởi | b |. Chúng tôi đã teo tóp lại các
ràng buộc trên với chi phí có thể làm cho phần còn lại tiêu cực.
Đôi khi có thể hạ ngay ở giữa giữa hai bội của b, trong đó có trường hợp
thương và còn lại là không duy nhất, ví dụ như, nếu a = 27 và b = 6 thì một là phải ở
giữa giữa 4b và 5b:
27 = 6 · 4 + 3, 27 = 6 · 5 - 3.
Như vậy chúng ta có hai sự lựa chọn của r, 3 hoặc -3. Định lý bộ phận bình thường trong Z có duy nhất một
thương và còn lại, nhưng các phiên bản sửa đổi cho lên trên tính độc đáo. Điều này có vẻ
giống như một tai họa, nhưng đó là chính xác những gì chúng ta cần phải chứng minh định lý bộ phận trong Z [i] (Định lý
3.1), đó là những gì chúng ta chuyển sang tiếp theo. Bằng chứng là chủ yếu là một bản dịch của một phần đúng
của Ví dụ 3.2 thành ngữ đại số nói chung. Sau khi các bằng chứng chúng tôi sẽ cung cấp cho thêm các ví dụ.
Chứng minh. Chúng tôi có α, β ∈ Z [i] với