2.4 Comparing Two PopulationsAn ext

2.4 Comparing Two Populations

An extremely useful application of statistics is in comparing different samples or groups. Frequently in transportation research we seek to compare quantities such as speeds, accident rates, pavement performance, travel times, bridge paint life, and so on. This section presents methods for conducting compari- sons between groups; that is, testing for statistically significant differences between two populations. As before, the methods presented here are for inter- val and ratio scale variables and are robust. For ordinal scale variables and for extreme nonnormality, nonparametric alternatives should be used.


2.4.1 Testing Differences between Two Means: Independent Samples

Random samples drawn from two populations are used to test the difference between two population means. This section presents the analysis of inde- pendent samples, and the following section presents the analysis of paired observations (or matched pairs experiments). It is assumed that large sam- ples are used to test for the difference between two population means because when sample sizes can be considered sufficiently large, then the distribution of their means can be considered as approximately normally distributed using the central limit theorem. A general rule of thumb suggests
that sample sizes are large if both

n1 u 25 and

n2 u 25 .
There are several hypothesis testing options. The first is a test of whether
the mean of one population is greater than the mean of another population
(a one-tailed test). A second is a test of whether two population means are
equal, assuming lack of a prior intention to prove that one mean is greater
than the other. The most common test for the difference between two pop-
ulation means, Q1 and Q2, is the one presented below where the null hypoth- esis states that the two means are equal

H0 : Q1 Q 2 ! 0
.
H a : Q1 Q 2 { 0

The competing hypotheses for a directional test, that one population mean is larger than another, are

H0 : Q1 Q 2 e 0
.
H a : Q1 Q 2 " 0

The test statistic in both hypothesis testing situations is the same. As a result of the assumption about sample sizes and approximate normality of the populations, the test statistic is Z*, such that

Z* !

X1 X2 Q1 Q 2


, (2.13)
2 s2
1 2
n1 n2

where (Q1 – Q2) is the difference between Q1 and Q2 under the null hypothesis. The expression in the denominator is the standard error of the difference between the two sample means and requires two independent samples. Recall that hypothesis tests and confidence intervals are closely related. A large sample (1 – E)100% confidence interval for the difference between two population means (Q1 – Q2), using independent random samples is


s2 s2
X X s Z

1 2 . (2.14)
1 2 E 2
1 2

When sample sizes are small (n1 e 25 and n2 e 25) and both populations are approximately normally distributed, the test statistic in Equation 2.13 has approximately a t distribution with degrees of freedom given by

¨ s2 2
ª n1 n2 º

df !

©

¨ s2 ¸
© 1 ¹

¹

¨ s2
© 2


2 . (2.15)
¸
¹
ª n1 º
n1 1

ª n2 º
n2 1

In Equations 2.13 and 2.14 it is assumed that

2 and

2 are not equal.
When

2 and

2 are equal, there is an alternative test for the difference
between two population means. This test is especially useful for small
samples as it allows a test for the difference between two population
means without having to use the complicated expression for the degrees
of freedom of the approximate t distribution (Equation 2.15). When two
population variances 2

and 2

are equal, then the variances are pooled
together to obtain a common population variance. This pooled variance,
s2 , is based on the sample variance
2

2 obtained from a sample of size
n1, and a sample variance s2
given by

obtained from a sample of size n2, and is

n 1 s2 n 1 s2
s2 ! 1 1

2 2 . (2.16)
p n n 2
1 2

A test statistic for a difference between two population means with equal population variances is given by

t* !

X1 X2 Q1 Q 2
2 ¨ 1 1 ¸


, (2.17)
s © ¹
ª n1 n2 º

where the term (Q1 – Q2) is the difference between Q1 and Q2 under the null hypothesis. The degrees of freedom of the test statistic in Equation 2.17 are n1 n2 2 , which are the degrees of freedom associated with the pooled estimate of the population variance s2 . The confidence interval for a difference
in population means is based on the t distribution with

n1 n2 2 degrees of
freedom, or on the Z distribution when degrees of freedom are sufficiently
large. A (1 – E)100% confidence interval for the difference between two pop-
ulation means (Q1 – Q2), assuming equal population variances is


¨ 1 1 ¸
X X s t s . (2.18)
1 2 E 2

ª n1 n2 ¹


Example 2.9

Interest is focused on whether the repeal of the NMSL had an effect on the mean speeds on Indiana roads. To test this hypothesis, 744 observa- tions in the before period and 552 observations in the after the repeal period are used. A 5% significance level is used. Descriptive statistics
show that average speeds in the before and after periods are

Xb = 57.65
and

X a = 60.48, respectively. Further, the variances for the before and
after the repeal periods are
competing hypotheses are

2 = 16.4 and

2 = 19.1, respectively. The

H 0 : Q a Q b ! 0
.
H a : Q a Q b { 0

Using Equation 2.13, the test statistic is

X a Xb a b

60 48 57 65 0

Z* !

Q Q . .
!

! 11.89 .
sa

sb

19.1

16.4
2 2

na nb

552

744

The test statistic is much larger than 1.96, the critical value for a two- tailed test at the 5% significance level, and so the null hypothesis is rejected. This result indicates that the mean speed increased after the repeal of the NMSL and that this increase is not likely to have arisen by random chance. Using Equation 2.14, a confidence interval is obtained
s2 s2 19.1 16.4
X X s Z ! 2.83 s 1.96 ! ?2.36, 3.29A .
a b E 2
a b

552

744

Thus, with 95% confidence the increase in speeds from the before to the after period is between 2.36 and 2.29 mph.

Kết quả (Việt) 1:

2.4 so sánh hai quần thểMột ứng dụng rất hữu ích của số liệu thống kê là so sánh các mẫu khác nhau hoặc các nhóm. Thường xuyên trong nghiên cứu giao thông vận tải chúng tôi tìm kiếm để so sánh với số lượng như tốc độ, tỷ lệ tai nạn, hiệu suất vỉa hè, du lịch thời gian, thu hẹp sơn cuộc sống, và như vậy. Phần này trình bày các phương pháp tiến hành compari-con trai giữa nhóm; có nghĩa là, thử nghiệm cho thống kê significant sự khác biệt giữa hai quần thể. Như trước, các phương pháp trình bày ở đây là cho inter-val và tỉ lệ các biến quy mô và là mạnh mẽ. Cho các biến tự quy mô và nhất cực nonnormality, lựa chọn thay thế nonparametric nên được sử dụng.2.4.1 thử nghiệm sự khác biệt giữa hai phương tiện: độc lập mẫuMẫu ngẫu nhiên rút ra từ hai quần thể được sử dụng để kiểm tra sự khác biệt giữa hai dân phương tiện. Phần này trình bày phân tích độc-pendent mẫu, và mục dưới đây trình bày phân tích kết hợp quan sát (hoặc cặp phù hợp thử nghiệm). Người ta cho rằng sam-ples lớn được sử dụng để thử nghiệm cho sự khác biệt giữa hai dân có nghĩa là bởi vì khi kích thước mẫu có thể được coi là sufficiently lớn, sau đó phân phối của họ có nghĩa là có thể được coi là khoảng bình thường phân phối bằng cách sử dụng định lý giới hạn Trung tâm. Một quy luật chung của ngón tay cái cho thấy có mẫu kích thước lớn nếu cả hai N1 u 25 và N2 u 25. Có rất nhiều giả thuyết thử nghiệm tùy chọn. Chính là một thử nghiệm cho dùcó nghĩa là một dân số là lớn hơn có nghĩa là một dân số(một đuôi một thử nghiệm). Một lần thứ hai là một thử nghiệm của cho dù hai dân phương tiệnbằng nhau, nhận thiếu một ý định trước để chứng minh rằng có nghĩa là một trong những là lớn hơnso với khác. Các bài kiểm tra phổ biến nhất cho sự khác biệt giữa hai cửa sổ pop-ulation có nghĩa là, Q1 và Q2, là một trong những trình bày dưới đây nơi vô hypoth-esis nói rằng các phương tiện hai đều được bình đẳngH0: Q1 Q 2! 0.H một: Q1 Q 2 Comments 0Những giả thuyết cạnh tranh cho một bài kiểm tra định hướng, có nghĩa là một dân số là lớn hơn một, làH0: Q1 Q 2 e 0.H một: Q1 Q 2 "0Thống kê thử nghiệm trong cả hai giả thuyết thử nghiệm tình huống là như nhau. Là kết quả của các giả định về kích thước mẫu và tương đối bình thường của các quần thể, số liệu thống kê thử nghiệm là Z *, như vậy mà Z *! X 1 X 2 Q1 Q 2 , (2,13) 2 s21 2 N1 n2trong trường hợp (Q1-Q2) là sự khác biệt giữa Q1, Q2 theo giả thuyết null. Các biểu hiện trong các mẫu số là lỗi tiêu chuẩn của sự khác biệt giữa hai mẫu có nghĩa là và yêu cầu hai mẫu độc lập. Hãy nhớ rằng bài kiểm tra giả thuyết và confidence khoảng được chặt chẽ liên quan. Một khoảng thời gian 100% confidence lớn mẫu (1-E) cho sự khác biệt giữa hai phương tiện dân (Q1-Q2), bằng cách sử dụng mẫu ngẫu nhiên độc lập làS2 s2 X X s Z 1 2. (2,14) 1 2 E 21 2Khi kích thước mẫu là nhỏ (n1 e 25 và n2 e 25) và cả hai quần thể được khoảng bình thường phân phối, thống kê thử nghiệm trong phương trình 2,13 có khoảng một phân phối t với bậc tự do được đưa ra bởi¨ s2 2 ª n1 n2 º DF! ©¨ s2 ¸© 1 ¹ ¹¨ s2© 2 2. (2,15)¸¹ ª n1 º N1 1 ª n2 º N2 1 Trong phương trình 2,13 và 2.14 nó giả định rằng 2 và 2 không phải là không bình đẳng. Khi 2 và 2 đều bình đẳng, đó là một thử nghiệm khác cho sự khác biệt giữa hai dân phương tiện. Thử nghiệm này là đặc biệt hữu ích cho nhỏmẫu vì nó cho phép một thử nghiệm cho sự khác biệt giữa hai dânCác phương tiện mà không cần phải sử dụng các biểu hiện phức tạp cho các cấp bậctự do phân phối gần đúng t (phương trình 2.15). Khi hai dân số chênh lệch 2 và 2 được bằng, sau đó sự chênh lệch được gộp lại với nhau để có được một phương sai dân thường. Này phương sai tới, S2, được dựa trên mẫu phương sai2 2 thu được từ một mẫu kích thước N1, và một mẫu phương sai s2được đưa ra bởi thu được từ một mẫu kích thước n2, và là n 1 s2 n 1 s2 S2! 1 1 2 2. (2,16) p n n 21 2Một thống kê thử nghiệm cho một sự khác biệt giữa hai dân phương tiện với chênh lệch bằng dân được cho bởi t *! X 1 X 2 Q1 Q 2 2 ¨ 1 1 ¸ , (2,17) s © ¹ª n1 n2 ºsự khác nhau giữa Q1, Q2 theo giả thuyết null là thuật ngữ (Q1-Q2). Bậc tự do của số liệu thống kê thử nghiệm trong phương trình 2,17 là n1 n2 2, trong đó có các bậc tự do liên kết với những ước tính dân số phương sai s2. Confidence khoảng thời gian cho một sự khác biệt dân số có nghĩa là dựa trên việc phân phối t với N1 n2 2 độ khác nhau của tự do, hoặc trên phân phối Z khi bậc tự do sufficientlylớn. Một (1-E) 100% confidence khoảng thời gian cho sự khác biệt giữa hai cửa sổ pop -ulation có nghĩa là (Q1-Q2), giả định bằng dân số chênh lệch lਠ1 1 ¸X X s t s. (2,18) 1 2 E 2 ª n1 n2 ¹ Ví dụ 2,9Quan tâm là tập trung vào việc bãi bỏ NMSL có ảnh hưởng đến tốc độ trung bình trên những con đường Indiana. Để thử nghiệm giả thuyết này, 744 observa-tions trong các trước khi thời gian và 552 quan sát trong các sau khi giai đoạn bãi bỏ được sử dụng. Mức 5% significance được sử dụng. Thống kê mô tả Hiển thị là tốc độ trong các trước và sau khi thời gian XB = 57.65 và X một = 60.48, tương ứng. Hơn nữa, chênh lệch cho các trước và sau khi thời gian xóagiả thuyết cạnh tranh 2 = 16.4 và 2 = 19.1, tương ứng. Các H 0: Q Q b! 0.H một: Q Q b {0Sử dụng phương trình 2,13, số liệu thống kê thử nghiệm là X một Xb một b 60 48 57 65 0 Z *! Q Q. .! ! 11.89. sa SB 19.1 16.4 2 2 Na nb 552 744 Thống kê thử nghiệm là lớn hơn nhiều hơn 1,96, thì giá trị quan trọng cho một hai - đuôi thử nghiệm ở mức 5% significance, và vì vậy các giả thuyết null sẽ bị từ chối. Kết quả này chỉ ra rằng có nghĩa là tốc độ tăng lên sau khi xóa NMSL và rằng sự gia tăng này là không có khả năng phát sinh do cơ hội ngẫu nhiên. Sử dụng phương trình 2.14, một khoảng thời gian confidence thu được S2 s2 19,1 16.4X X s Z! 2,83 s 1,96!? 2.36, 3 .29A. một b E 2một b 552 744 Vì vậy, với 95% confidence sự gia tăng tốc độ từ các trước khi đến giai đoạn sau là giữa 2,36 và 2,29 mph.

Kết quả (Việt) 2:

2.4 So sánh hai quần Một ứng dụng rất hữu ích của số liệu thống kê là khi so sánh các mẫu hoặc các nhóm khác nhau. Thường xuyên trong nghiên cứu giao thông vận tải, chúng tôi tìm cách so sánh số lượng như tốc độ, tỷ lệ tai nạn, hiệu suất vỉa hè, thời gian đi lại, cầu thọ sơn, và như vậy. Phần này trình bày phương pháp để thực hiện con trai compari- giữa các nhóm; nghĩa là, việc xét nghiệm khác biệt trọng yếu về mặt thống kê giữa hai quần thể. Như trước đây, các phương pháp trình bày ở đây là cho val và quy mô tỷ lệ biến liên và được mạnh mẽ. Đối với các biến quy mô thứ tự và cho cực nonnormality, lựa chọn thay thế không tham số nên được sử dụng. 2.4.1 Thử nghiệm Sự khác biệt giữa hai phương tiện: Các mẫu độc lập mẫu ngẫu nhiên rút ra từ hai quần thể được sử dụng để kiểm tra sự khác biệt giữa hai dân số có nghĩa. Phần này trình bày các phân tích các mẫu độc lập, và phần sau đây trình bày các phân tích của các quan sát cặp (hoặc khớp cặp thí nghiệm). Người ta cho rằng ples sam- lớn được sử dụng để kiểm tra sự khác biệt giữa hai dân cư là bởi vì khi cỡ mẫu có thể được coi là rừng đặc dụng fi ciently lớn, sau đó phân phối của phương tiện có thể được coi là phân bố khá bình thường bằng cách sử dụng định lý giới hạn trung tâm. Một quy luật chung của ngón tay cái cho thấy rằng cỡ mẫu là lớn nếu cả hai u n1 25 và n2 u 25. Có một số lựa chọn kiểm tra giả thuyết. Việc đầu tiên fi là một thử nghiệm liệu trung bình của một dân số lớn hơn trung bình của quần khác (một thử nghiệm một phía). Một thứ hai là một bài kiểm tra cho dù hai phương tiện dân số là bằng nhau, giả định thiếu một ý định trước để chứng minh rằng một ý nghĩa lớn hơn khác. Các thử nghiệm phổ biến nhất cho sự khác biệt giữa hai pop- phương tiện ulation, Q1 và Q2, là một trong những trình bày dưới đây đường null giả thuyết ESIS rằng hai phương tiện đều bình đẳng H0: Q1 Q 2! 0 . H a: Q1 Q 2 {0 Các giả thuyết cạnh tranh cho một bài kiểm tra hướng, rằng một dân số có nghĩa là lớn hơn một, là H0: Q1 Q 2 e 0 . H a: Q1 Q 2 "0 Các kiểm định thống kê trong cả hai giả thuyết tình huống thử nghiệm là như nhau. Như một kết quả của các giả định về kích cỡ và trạng thái bình thường gần đúng của các quần thể, thống kê kiểm định là Z *, như vậy mà Z *! X1 X2 Q1 Q 2 , (2.13) 2 s2 1 2 n2 n1 nơi (Q1 - Q2) là sự khác biệt giữa Q1 và Q2 theo giả thuyết Các biểu hiện ở mẫu số là sai số chuẩn của sự khác biệt giữa hai phương tiện mẫu và yêu cầu hai mẫu độc lập Nhớ lại rằng các bài kiểm tra giả thuyết và khoảng dence con fi là có liên quan chặt chẽ.. . Một mẫu lớn (1 - E) 100% con fi khoảng dence cho sự khác biệt giữa hai phương tiện dân (Q1 - Q2), sử dụng các mẫu ngẫu nhiên độc lập là s2 s2 XX s Z 1 2 (2.14). 1 2 E 2 1 2 Khi mẫu kích thước nhỏ (n1 e 25 và n2 e 25) và cả hai quần thể được xấp xỉ phân phối chuẩn, kiểm định thống kê trong phương trình 2.13 có xấp xỉ phân phối với mức độ tự do được đưa ra bởi ¨ s2 2 ª n1 n2 º df! © ¨ s2 ¸ © 1 ¹ ¹ ¨ s2 © 2 2. (2.15) ¸ ¹ ª º n1 n1 1 ª º n2 n2 1 trong các phương trình 2.13 và 2.14 nó được giả định rằng 2 và 2 không bằng nhau. Khi 2 và 2 bằng nhau thì sẽ là một bài kiểm tra thay thế cho sự khác biệt giữa hai phương tiện dân . Xét nghiệm này đặc biệt hữu ích cho nhỏ mẫu vì nó cho phép một thử nghiệm cho sự khác biệt giữa hai dân có nghĩa mà không cần phải sử dụng các biểu thức phức tạp đối với các mức độ tự do của phân phối t gần đúng (phương trình 2.15). Khi hai dân phương sai 2 và 2 bằng nhau, sau đó phương sai được gộp lại với nhau để có được một phương sai dân số chung. Sai gộp này, s2, dựa trên mẫu đúng 2 2 thu được từ một mẫu có kích thước n1, và một mẫu sai S2 do thu được từ một mẫu có kích thước n2, và là n 1 n 1 s2 s2 s2! 1 1 2 2. (2.16) PNN 2 1 2 Một thống kê thử nghiệm cho một sự khác biệt giữa hai dân có nghĩa là với dân số bằng phương sai được cho bởi t *! X1 X2 Q1 Q 2 2 1 1 ¨ ¸ , (2.17) s © ¹ ª n1 n2 º nơi hạn (Q1 - Q2) là sự khác biệt giữa Q1 và Q2 theo giả thuyết null. Các bậc tự do thống kê kiểm định trong phương trình 2.17 là n1 n2 2, đó là các mức độ tự do kết hợp với các ước tính gộp của s2 sai dân. Khoảng dence con fi cho một sự khác biệt trong dân số có nghĩa là dựa vào sự phân bố t với n2 n1 2 độ của tự do, hoặc trên các phân phối Z khi bậc tự do là fi rừng đặc dụng ciently lớn. A (1 - E) 100% con fi khoảng dence cho sự khác biệt giữa hai pop- ulation phương tiện (Q1 - Q2), giả sử dân số bằng phương sai là ¨ 1 1 ¸ XX sts. (2.18) 1 2 E 2 ª n1 n2 ¹ Ví dụ 2.9 Lãi suất được tập trung vào việc bãi bỏ các NMSL có ảnh hưởng đến tốc độ trung bình trên đường Indiana. Để kiểm tra giả thuyết này, 744 tions observa- trong giai đoạn trước và 552 quan sát trong giai đoạn sau khi bãi bỏ được sử dụng. Một mức độ trọng yếu fi cance 5% được sử dụng. Thống kê mô tả cho thấy tốc độ trung bình ở trước và sau giai đoạn này là XB = 57,65 và X a = 60,48, tương ứng. Hơn nữa, phương sai cho trước và sau thời kỳ bãi bỏ được giả thuyết cạnh tranh là 2 = 16,4 và 2 = 19,1, tương ứng. The H 0: Q Q b! 0 . H a: Q Q b {0 Sử dụng phương trình 2.13, kiểm định thống kê là một XB X ab 60 48 57 65 0 Z *! QQ. . ! ! 11,89. sa sb 19,1 16,4 2 2 na nb 552 744 Các số liệu thống kê thử nghiệm là lớn hơn nhiều so với 1,96, giá trị quan trọng đối với một bài kiểm tra hai đuôi tại fi trong yếu cấp cance 5%, và do đó, các giả thuyết bị bác bỏ. Kết quả này chỉ ra rằng tốc độ trung bình tăng lên sau khi bãi bỏ các NMSL và rằng sự gia tăng này là không có khả năng phát sinh bởi cơ hội ngẫu nhiên. Sử dụng phương trình 2.14, một con khoảng fi dence thu được s2 s2 19,1 16,4 XX s Z! 2.83 s 1.96! ? 2,36, 3.29A. ab E 2 ab 552 744 Như vậy, với 95% con fi dence sự gia tăng tốc độ từ trước tới giai đoạn sau là giữa 2,36 và 2,29 mph.