p = (a + bi)(a − bi),so p is compos

p = (a + bi)(a − bi),
so p is composite in Z[i].
The first primes in Z
+ which are sums of two squares are 2, 5, 13, 17, and 29:
2 = 12 + 12
, 5 = 12 + 22
, 13 = 22 + 32
, 17 = 12 + 42
, 29 = 22 + 52
.
Therefore each of these prime numbers is composite in Z[i], e.g. 29 = (2 + 5i)(2 − 5i).
This is a Gaussian prime factorization, since the factors have prime norm (and thus are
themselves prime in Z[i]). The factorization of 2 is special, since its prime factors are unit
multiples of each other: 1 − i = −i(1 + i). In other words,
2 = −i(1 + i)
2
.
Corollary 9.3. If a prime p in Z
+ is composite, and p 6= 2, then up to unit multiple p has
exactly two Gaussian prime factors, which are conjugate and have norm p.
Proof. By Theorem 9.2, when p is composite we have
p = a
2 + b
2 = (a + bi)(a − bi)
for some a, b ∈ Z. Since a + bi and a − bi have prime norm p, they are prime in Z[i]. Could
they be unit multiples? We consider all four ways this could happen and show each one
leads to a contradiction.
If a+bi = a−bi, then b = 0 and p = a
2
, which is a contradiction. If a+bi = −(a−bi), then
a = 0 and we get a contradiction again. If a+bi = i(a−bi), then b = a and p = a
2+a
2 = 2a
2
,
but p 6= 2. We have a contradiction. The final case, when a + bi = −i(a − bi), again implies
the contradiction p = 2a
2
.
Corollary 9.4. If a prime p in Z
+ satisfies p ≡ 3 mod 4, then it is not a sum of two
squares in Z and it stays prime in Z[i].
Proof. Once we show p is not a sum of two squares in Z, it is prime in Z[i] by Theorem 9.2.
We consider the squares modulo 4: the only squares are 0 and 1. Adding them together
modulo 4 gives us 0 (= 0 + 0), 1(= 1 + 0 or 0 + 1), and 2(= 1 + 1). We can’t get 3, so any
number which is ≡ 3 mod 4 is not a sum of two squares in Z.
We now know how 2 factors into Gaussian primes and how any prime p in Z
+ with
p ≡ 3 mod 4 factors in Z[i] (it doesn’t factor). What about the primes p ≡ 1 mod 4?
The first such primes are 5, 13, 17, and 29. These are primes we saw earlier among the
sums of two squares, so they are all composite in Z[i] by Theorem 9.2 and they factor into
conjugate Gaussian primes by Theorem 9.3. Is every prime p ≡ 1 mod 4 a sum of two
squares? Numerical evidence suggests it is true, so we make the
Conjecture 9.5. For a prime p in Z
+, the following conditions are equivalent:
(1) p = 2 or p ≡ 1 mod 4,
(2) p = a
2 + b
2
for some a, b ∈ Z.

Kết quả (Việt) 1:

p = (a + bi) (một − bi),Vì vậy, p là hợp số trong Z [i].Các số nguyên tố đầu tiên trong Z+ đó là khoản tiền của hai hình vuông là 2, 5, 13, 17, và 29:2 = 12 + 12, 5 = 12 + 22, 13 = 22 + 32, 17 = 12 + 42, 29 = 22 + 52.Do đó mỗi người trong số các số nguyên tố là hỗn hợp trong Z [i], ví dụ: 29 = (2 + 5i) (2 − 5i).Đây là một số nguyên tố Gauss factorization, kể từ khi các yếu tố có đắc tiêu chuẩn (và do đóbản thân nguyên tố trong Z[i]). Factorization 2 là đặc biệt, kể từ khi các yếu tố chính của nó là đơn vịbội số của nhau: 1 − tôi = −i (1 + i). Nói cách khác,2 = −i (1 + i)2.Hệ luỵ 9.3. Nếu một số nguyên tố p trong Z+ là hỗn hợp, và p 6 = 2, sau đó đến các đơn vị này có nhiều pchính xác hai yếu tố nguyên tố Gauss, được liên hợp và có mức p.Bằng chứng. Bởi định lý 9.2, khi p là hợp số chúng ta cóp = một2 + b2 = (a + bi)(a − bi)Đối với một số a, b ∈ Z. Kể từ khi một + bi và − bi có chuẩn nguyên tố p, họ là thủ tướng chính phủ trong Z [i]. Có thểhọ là đơn vị bội? Chúng tôi xem xét tất cả bốn cách này có thể xảy ra và cho mỗi mộtdẫn đến mâu thuẫn.Nếu a + bi = a−bi, sau đó b = 0 và p = một2, mà là một mâu thuẫn. Nếu a + bi = −(a−bi), sau đómột = 0 và chúng tôi nhận được một mâu thuẫn một lần nữa. Nếu a + bi = i(a−bi), sau đó b = một và p = một2 + một2 = 2a2,nhưng p 6 = 2. Chúng tôi có một mâu thuẫn. Trường hợp cuối cùng, khi a + bi = −i (một − bi), ngụ ý một lần nữamâu thuẫn p = 2a2.Hệ luỵ 9.4. Nếu một số nguyên tố p trong Z+ thỏa mãn p ≡ 3 mod 4, sau đó nó không phải là một tổng của haihình vuông trong Z và nó được thủ tướng chính phủ trong Z [i].Bằng chứng. Một khi chúng ta thấy p không phải là một tổng của hai ô vuông trong Z, đó là thủ tướng trong Z [i] của định lý 9.2.Chúng tôi xem xét các hình vuông theo modulo 4: các ô vuông chỉ có 0 và 1. Thêm chúng lại với nhaumodulo 4 cho chúng ta 0 (= 0 + 0), 1 (= 1 + 0 hoặc 0 + 1) và 2 (= 1 + 1). Chúng tôi không thể nhận được 3, vì vậy bất kỳsố là ≡ 3 mod 4 không phải là một tổng của hai ô vuông trong Z.Chúng tôi bây giờ biết làm thế nào 2 yếu tố vào các số nguyên tố Gauss và làm thế nào bất kỳ số nguyên tố p trong Z+ vớip ≡ 3 mod 4 yếu tố trong Z [i] (nó không yếu tố). Điều gì về số nguyên tố p ≡ 1 mod 4?Việc đầu tiên các số nguyên tố là 5, 13, 17, và 29. Đây là những nguyên tố mà chúng ta đã thấy trước đó trong số cáctổng của hai ô vuông, để họ có tất cả hỗn hợp trong Z [i] của định lý 9.2 và họ yếu tố vàoliên hợp số nguyên tố Gauss của định lý 9.3. Là mọi nguyên tố p ≡ 1 mod 4 một tổng hợp của haihình vuông? Số bằng chứng cho thấy đó là sự thật, do đó, chúng tôi thực hiện cácPhỏng đoán 9.5. Đối với một số nguyên tố p trong Z+ Các điều kiện sau đây là tương đương:(1) p = 2 hoặc p ≡ 1 mod 4,(2) p = một2 + b2Đối với một số a, b ∈ Z.

Kết quả (Việt) 2:

p = (a + bi) (a - bi),
nên p là hợp trong Z [i].
Các số nguyên tố đầu tiên trong Z
+ đó là khoản hai hình vuông là 2, 5, 13, 17, và 29:
2 = 12 + 12
, 5 = 12 + 22
, 13 = 22 + 32
, 17 = 12 + 42
, 29 = 22 + 52
.
Do đó mỗi số nguyên tố là hợp trong Z [i], ví dụ: 29 = (2 + 5I) ( 2 -. 5I)
Đây là một nguyên tố Gaussian, vì những yếu tố có định mức nguyên tố (và do đó là
bản thân chính trong Z [i]). Phân tích nhân của 2 là đặc biệt, kể từ khi thừa số nguyên tố của nó là đơn vị
bội số của nhau: 1 - i = i (1 + i). Nói cách khác,
2 = -i (1 + i)
2
.
Hệ luỵ 9.3. Nếu một p nguyên tố trong Z
+ là composite, và p 6 = 2, sau đó lên đến đơn vị nhiều p có
đúng hai yếu tố chính Gaussian, mà là liên hợp và có mức p.
Proof. Bởi lý 9.2, khi p là hợp chúng ta có
p = a
2 + b
2 = (a + bi) (a - bi)
đối với một số a, b ∈ Z. Vì a + bi và a - bi có thủ tiêu p, họ là nguyên tố trong Z [i]. Có thể
họ là đơn vị bội? Chúng tôi xem xét tất cả bốn cách này có thể xảy ra và hiển thị mỗi một
dẫn đến một mâu thuẫn.
Nếu a + bi = a-bi, sau đó b = 0 và p = a
2
, đó là một mâu thuẫn. Nếu a + bi = - (a-bi), sau đó
a = 0 và chúng tôi có được một mâu thuẫn nữa. Nếu a + bi = i (a-bi), sau đó b = a và p = a
2 + a
2 = 2a
2
,
nhưng p 6 = 2. Chúng tôi có một mâu thuẫn. Các trường hợp cuối cùng, khi a + bi = -i (a - bi), một lần nữa ám chỉ
sự mâu thuẫn p = 2a
2
.
Hệ luỵ 9.4. Nếu một p nguyên tố trong Z
+ thỏa mãn p ≡ 3 mod 4, sau đó nó không phải là một tổng của hai
hình vuông trong Z và nó vẫn thủ trong Z [i].
Chứng minh. . Một khi chúng ta thấy p không phải là một tổng của hai hình vuông trong Z, nó là số nguyên tố trong Z [i] bởi Định lý 9.2
Chúng tôi xem xét các hình vuông modulo 4: các ô vuông chỉ là 0 và 1. Thêm chúng lại với nhau
theo modulo 4 cho chúng ta 0 ( = 0 + 0), 1 (= 1 + 0 hoặc 0 + 1), và 2 (= 1 + 1). Chúng ta không thể có được 3, vì vậy bất kỳ
số đó là ≡ 3 mod 4 không phải là một tổng của hai hình vuông trong Z.
Bây giờ chúng ta biết làm thế nào 2 yếu tố nguyên tố Gaussian và làm thế nào bất kỳ p nguyên tố trong Z
+ với
p ≡ 3 mod 4 yếu tố trong Z [i] (nó không phải là nhân tố). Gì về các số nguyên tố p ≡ 1 mod 4?
Các số nguyên tố đầu tiên như vậy là 5, 13, 17, và 29. Đây là những số nguyên tố chúng ta đã thấy trong các
khoản tiền của hai hình vuông, vì vậy tất cả chúng đều hỗn hợp trong Z [i] bởi Định lý 9.2 và họ yếu tố thành
số nguyên tố Gaussian liên hợp của Định lý 9.3. Từng thủ p ≡ 1 mod 4 một tổng của hai
hình vuông? Bằng chứng bằng số cho thấy nó là đúng, vì vậy chúng tôi thực hiện các
phỏng đoán 9.5. Đối với một p nguyên tố trong Z
+, các điều kiện sau là tương đương:
(1) p = 2 hoặc p ≡ 1 mod 4,
(2) p = a
2 + b
2
cho một số a, b ∈ Z.