POINTS ON y = x2AT RATIONAL DISTANC

POINTS ON y = x
2
AT RATIONAL DISTANCE 13
(2) Ui
cannot equal m · Uj + n · Q where m ∈ {−1, 0, 1}, n ∈ Z and i 6 = j .
In particular, Et (Q) must contain a point of infinite order.
Proof. Ui
must be of the form ([u, v, 1], [t, 1]) with u, v 6 = 0 and t 6 = 0. This
immediately gives us the first condition. The second condition must be satisfied in
order for [A] to be a free or almost free orbit. 
Remark 4.22. Observe that the corollary above completely characterizes all
points in H0
that correspond to distinct, non-concyclic sets of points at
rational distance in R. A direct consequence of the two preceding corollaries is
the following:
Corollary 4.23. There are infinitely many sets of 4 distinct, non-concyclic, rational points at rational distance on y = x
2
.
5. Examples
Let R0 be the subset of R consisting of 4-tuples of distinct, non-concyclic points.
The points in R0 in table 5 were found by choosing a pair of positive rational values
x, y such that y 6∈ {x, 1/x,
x−1
x+1
, −
x+1
x−1
}, setting t = g(x) + g(y) and searching for
points in Et (Q). If we let Tt
be the subgroup of points of finite order in Et (Q), then
the theorems in the previous section give very explicit formulas to determine when
U ∈ Tt
and when U + Tt = ±V + Tt
for any U, V ∈ Et (Q). Therefore, producing
elements of HΓ
that correspond to elements of R0
from points in Et (Q) is an easy
(and efficient) matter.
The points shown in the table represent a small fraction of the total list compiled.
Those entries in the table written in bold have all x-coordinates positive and those
that are italicized have one of the x-coordinates equal to the negative of the other.
The entry marked by † gives rise to the example of 5 points at rational distance
with four of the points concyclic mentioned in section 3.
We note that we could have set U = (x, y) ∈ Et (Q) and generated points in H of
the form A = (n1U, n2U, n3U ). If ni ∈ Z, n
i
6 = 0 and ni
6 = ±nj for i 6 = j , then A is a
point in H0 such that ψ
−1
([A]) ∈ R0. Unfortunately, since the height of nU ∈ Et is
quadratic in n, this strategy generally produces points with very large numerators
and denominators. Ideally we would like to find t such that Et
has both large rank
and small regulator. This would give a number of points in H0
that correspond to
elements of R0 with relatively small height.
6. Further Work.
We see three natural progressions of this work. First, we might try to use the
techniques presented here to characterize all 5 tuples (or more) of points on y = x
2
at rational distance. Given some preliminary work on this, it seems plausible that
descriptions similar to those of corollary 4.21 are possible. What is not yet clear
is if such a description will tell us if there are infinitely many 5 tuples of rational
points on y = x
2
at rational distance, a positive, finite number of them, or no such
sets of points on y = x
2
.
Second, we might extend the question to other conics (or other smooth, plane
curves). Again, some preliminary work suggests that the techniques presented here
might be able to answer the question:

Kết quả (Việt) 1:

ĐIỂM trên y = x2TẠI HỢP LÝ KHOẢNG 13(2) giao diện người dùngkhông thể bằng m · UJ + n · Q nơi m ∈ {−1, 0, 1}, n ∈ Z và tôi 6 = j.Đặc biệt, Et (Q) phải có một điểm vô trật tự.Bằng chứng. Giao diện người dùngphải có các hình thức ([u, v, 1], [t, 1]) với bạn, v 6 = 0 và t 6 = 0. Điều nàyngay lập tức cho chúng ta điều kiện đầu tiên. Điều kiện thứ hai phải được hài lòng tronglệnh [A] để có một quỹ đạo miễn phí hoặc gần như miễn phí. Nhận xét 4.22. Quan sát các hệ luỵ trên hoàn toàn đặc trưng tất cảđiểm trong H0mà tương ứng với các điểm khác biệt, bộ concycliccác khoảng cách hợp lý trong R. Một hậu quả trực tiếp của corollaries trước hai làCác tùy chọn sau:Hệ luỵ 4.23. Không có vô nhiều bộ 4 khác biệt, -concyclic, điểm hợp lý tại các khoảng cách hợp lý trên y = x2.5. ví dụHãy để R0 là tập hợp con của R bao gồm 4-tuples phân biệt-concyclic điểm.Các điểm trong R0 trong bảng 5 đã được tìm thấy bằng cách chọn một cặp của các giá trị hợp lý tích cựcx, y như rằng 6∈ y {x, 1 / x,x−1x + 1, −x + 1x−1}, cài đặt t = g(x) + g(y) và tìm kiếmđiểm Et (Q). Nếu chúng ta để cho Ttlà phân nhóm điểm hữu hạn trật tự trong Et (Q), sau đóđịnh lý trong phần trước cung cấp cho các công thức rất rõ ràng để xác định khi nàoU ∈ Ttvà khi U + Tt = ±V + TtĐối với bất kỳ U, V ∈ Et (Q). Do đó, sản xuấtCác yếu tố của HΓmà tương ứng với các yếu tố của R0từ điểm Et (Q) là một cách dễ dàng(và hiệu quả) có vấn đề.Điểm Hiển thị trong bảng đại diện cho một phần nhỏ của tất cả danh sách biên soạn.Những mục trong bảng viết đậm có tất cả x-tọa độ tích cực và nhữngđó nghiêng có một trong tọa độ x bằng các tiêu cực khác.Các mục được đánh dấu bởi † cho tăng đến ví dụ 5 điểm ở khoảng cách hợp lývới bốn concyclic điểm được đề cập trong phần 3.Chúng tôi lưu ý rằng chúng tôi có thể đã đặt U = (x, y) ∈ Et (Q) và tạo ra điểm HCác = mẫu A (n1U, n2U, n3U). Nếu ni ∈ Z, ntôi6 = 0 và ni6 = ±nj cho tôi 6 = j, sau đó là mộtđiểm trong H0 như vậy mà ψ−1R0 ∈ ([A]). Thật không may, kể từ khi chiều cao của nU ∈ Etbậc n, chiến lược này thường tạo ra điểm với rất lớn numeratorsvà denominators. Lý tưởng nhất chúng tôi muốn tìm thấy t như vậy mà Etcó cả xếp hạng lớnvà điều chỉnh nhỏ. Điều này sẽ cung cấp cho một số điểm trong H0mà tương ứng vớiCác yếu tố của R0 với chiều cao tương đối nhỏ.6. tiếp tục làm việc.Chúng tôi thấy ba progressions tự nhiên của công việc này. Trước tiên, chúng tôi có thể cố gắng sử dụng cáckỹ thuật trình bày ở đây để characterize tất cả 5 tuples (hoặc hơn) của tất cả các y = x2ở khoảng cách hợp lý. Đưa ra một số công việc sơ khởi trên này, nó có vẻ chính đáng rằngMô tả tương tự như những hệ luỵ 4.21 là có thể. Những gì không phải là chưa rõ rànglà nếu một mô tả sẽ cho chúng tôi biết nếu có là vô hạn nhiều tuples 5 của hợp lýđiểm trên y = x2ở khoảng cách hợp lý, tích cực, hữu hạn số của họ, hoặc không cótập hợp các điểm trên y = x2.Thứ hai, chúng tôi có thể mở rộng các câu hỏi để conics khác (hoặc khác mịn, máy bayđường cong). Một lần nữa, một số công việc sơ bộ cho thấy các kỹ thuật trình bày ở đâycó thể có thể trả lời câu hỏi:

Kết quả (Việt) 2:

ĐIỂM VỀ y = x
2
AT XA HỢP LÝ 13
(2) Ui
không thể bằng m · Uj + n · Q đó m ∈ {-1, 0, 1}, n ∈ Z và i 6 = j.
Đặc biệt, Et (Q ) phải có một điểm để vô hạn.
Chứng minh. Ui
phải có dạng ([u, v, 1], [t, 1]) với u, v 6 = 0 và t 6 = 0. Điều này
ngay lập tức mang lại cho chúng ta những điều kiện đầu tiên. Điều kiện thứ hai phải được hài lòng trong
Để cho [A] là một quỹ đạo miễn phí hoặc gần như miễn phí. ?
Ghi chú 4.22. Nhận thấy rằng các hệ quả trên hoàn toàn đặc trưng cho tất cả các
điểm trong H0
tương ứng với biệt bộ, không concyclic điểm ở
khoảng cách hợp lý trong R. Một hệ quả trực tiếp của hai hệ quả trên là
như sau:
Hệ luỵ 4,23. Có vô số bộ 4 riêng biệt, không concyclic, điểm hợp lý ở khoảng cách hợp lý trên y = x
2
.
5. Ví dụ
Hãy R0 là tập hợp con của R gồm 4-tuple của biệt điểm, không concyclic.
Các điểm trong R0 trong bảng 5 đã được tìm thấy bằng cách chọn một cặp dương giá trị hợp lý
x, y sao cho y 6∈ {x, 1 / x,
x-1
x + 1
, -
x + 1
x-1
}, đặt t = g (x) + g (y) và tìm kiếm
điểm trong Et (Q). Nếu chúng ta để cho Tt
là nhóm con của điểm về trật tự hữu hạn trong Et (Q), sau đó
các định lý trong phần trước cho công thức rất rõ ràng để xác định khi nào
U ∈ Tt
và khi U + Tt = ± V + Tt
cho bất kỳ U, V ∈ Et (Q). Do đó, sản xuất
các yếu tố của HΓ
tương ứng với các yếu tố của R0
từ điểm trong Et (Q) được một cách dễ dàng
dù (và hiệu quả).
Các điểm trình bày trong bảng đại diện cho một phần nhỏ trong tổng số danh sách biên soạn.
Những mục trong bảng viết in đậm có tất cả các x-tọa độ tích cực và những người
được in nghiêng có một trong các x-tọa độ bằng với tiêu cực của người kia.
các mục được đánh dấu bởi † tăng cho đến ví dụ về 5 điểm ở khoảng cách hợp lý
với bốn điểm concyclic đề cập trong phần 3.
chúng tôi lưu ý rằng chúng ta có thể thiết lập U = (x, y) ∈ Et (Q) và tạo ra điểm trong H
dạng A = (n1U, n2U, n3U). Nếu ni ∈ Z, n
i
6 = 0 và ni
6 = ± NJ cho tôi 6 = j, sau đó A là một
điểm trong H0 mà ψ
-1
([A]) ∈ R0. Thật không may, vì chiều cao của Nu ∈ Et là
bậc hai trong n, chiến lược này thường tạo ra điểm với tử số rất lớn
và mẫu số. Lý tưởng nhất là chúng tôi muốn tìm t mà Et
có cả cấp bậc lớn
và điều chỉnh nhỏ. Điều này sẽ cung cấp cho một số điểm trong H0
tương ứng với
các yếu tố của R0 với chiều cao tương đối nhỏ.
6. Hơn nữa công việc.
Chúng tôi nhìn thấy ba cung tiến tự nhiên của công việc này. Đầu tiên, chúng ta có thể cố gắng sử dụng các
kỹ thuật trình bày ở đây để mô tả tất cả 5 bộ dữ liệu (hoặc nhiều hơn) của các điểm trên y = x
2
ở khoảng cách hợp lý. Với một số công việc sơ bộ về điều này, có vẻ như đáng tin cậy rằng
thiệu tương tự như hệ quả tất yếu 4.21 là có thể. Có gì chưa rõ ràng
là nếu một mô tả như vậy sẽ cho chúng tôi biết nếu có vô hạn 5 tuples của lý trí
điểm trên y = x
2
ở khoảng cách hợp lý, một số hữu hạn tích cực của họ, hoặc không có như vậy
bộ điểm trên y = x
2
.
thứ hai, chúng ta có thể mở rộng các câu hỏi để các đường conic khác (hoặc máy bay, mịn khác
đường cong). Một lần nữa, một số công việc sơ bộ cho thấy các kỹ thuật trình bày ở đây
có thể có thể trả lời các câu hỏi:

Kết quả (Việt) 3:

Trong y học.2.Ở khoảng cách 13 là hợp lý.Giao diện người dùng (2)Không thể là M · UJ + N · Q m − dần phản [1, 0, 1}, n dần phản Z và tôi 6 = J.Đặc biệt là, đợi (q) phải chứa một chút và vô trật tự.Chứng minh.UIPhải là hình thức ((u, V, 1], [t, 1]) và U, V và T - 6, 6 = 0 = 0.Đây.Điều kiện đầu tiên ngay lập tức cho chúng ta.Thứ hai phải thỏa mãn điều kiệnĐặt hàng một quỹ đạo gần như miễn phí hoặc miễn phí.Không bút 4.22.Quan sát trên suy luận hoàn toàn là những đặc điểm củaỞ H0.Corresponds khác, dân số tròn bộ.Trong kết quả trực tiếp của R là trước hai khoảng cách suy luận hợp lý.Giáp các đô thị sau:Suy luận 4.23.Có vô cùng nhiều nhóm 4 người, dân số là hình tròn. Khoảng cách hợp lý, hợp lý, Y = X2..5.Thực tiễn.Để R0 cho R bao gồm bốn khác nhau tập hợp con, không một cung tròn.Ở bảng R0 5 điểm lựa chọn phải tích cực giá trị tìm thấy hợp lý.X, Y, y 6 dần phản {x, 1 / X,X −% 1X + 1., −X + 1.X −% 1], cài đặt, T = g (X) + G (Y) và tìm kiếmGiờ đang chờ (q).Nếu chúng ta làmChờ chút. Là bậc của nhóm con (q), và sau đóỞ một trong phần lý đưa ra rất rõ ràng công thức để xác định khi nào.Anh dần phản TTKhi anh + TT V = ĐâyBất cứ U, V dần phản et (q).Do đó, sản xuất.Nguyên tố H.Nguyên tố này tương ứng với R0Từ giờ đang chờ (q) là một người dễ dàng.(có hiệu lực) của vật chất.Trong bảng điểm những sê - Tổng đại diện cho biên soạn danh sách một phần nhỏ.Ở bàn viết những tác phẩm đều tích cực sự táo bạo của X là tọa độĐó là chữ nghiêng có tọa độ X bằng những tiêu cực.Để tạo ra † vào 5: ví dụ, ở khoảng cách hợp lý.Ở 3 trong phần đề cập đến 4 giờ cung tròn.Chúng ta chú ý tới, chúng ta có thể đưa U (X, y) dần phản et (q) và tạo ra điểm hHình thức = (n1u, n2u, n3u).Nếu ni dần phản Z NTôi6 = 0 và ngu ngốc.6 = Đây NJ - 6 = J, sau đó làỞ H0, thịt.−% 1([]) dần phản R0.Không may là do độ cao khi cô dần phảnHai lần n, chiến lược này thường sẽ tạo ra một phân tử rất lớn.Và mẫu số.Trường hợp lý tưởng, chúng ta muốn tìm.Có hai thứ hạng lớnĐiều chỉnh nhỏ.Trong số đó sẽ cho H0CorrespondsĐộ cao tương đối nhỏ, yếu tố R0.6.Việc làm thêm.Chúng tôi thấy việc đó ba một dãy số tự nhiên.Đầu tiên, chúng ta có thể thử sử dụngTất cả các đặc điểm kỹ thuật của giới thiệu ở đây 5 (hoặc nhiều hơn).: Y = X2.Ở khoảng cách hợp lý.Đối với một số công việc ban đầu, nó dường như là hợp lý.Suy luận tương tự 4.21 được mô tả là có thể.Cái gì cũng không rõ.Nếu đó là miêu tả sẽ nói cho chúng tôi, nếu có vô cùng nhiều năm lý tríTrong y học.2.Ở khoảng cách hợp lý, một nhà hoạt động, hạn chế số lượng, hay không.Y = X trên bộ.2..Thứ hai, chúng ta có thể sẽ kéo dài các đường conic (hay vấn đề khác nhẵn phẳngĐường cong).Tương tự, một số công việc giới thiệu sơ bộ cho thấy, đây là công nghệCó lẽ có thể trả lời câu hỏi này: