In mathematical analysis, a modulus

In mathematical analysis, a modulus of continuity is a function ω : [0, ∞] → [0, ∞] used to measure quantitatively the uniform continuity of functions. So, a function f : I → R admits ω as a modulus of continuity if and only if

|f(x)-f(y)|leqomega(|x-y|),

for all x and y in the domain of f. Since moduli of continuity are required to be infinitesimal at 0, a function turns out to be uniformly continuous if and only if it admits a modulus of continuity. Moreover, relevance to the notion is given by the fact that sets of functions sharing the same modulus of continuity are exactly equicontinuous families. For instance, the modulus ω(t) := kt describes the k-Lipschitz functions, the moduli ω(t) := ktα describe the Hölder continuity, the modulus ω(t) := kt(|log(t)|+1) describes the almost Lipschitz class, and so on. In general, the role of ω is to fix some explicit functional dependence of ε on δ in the (ε, δ) definition of uniform continuity. The same notions generalize naturally to functions between metric spaces. Moreover, a suitable local version of these notions allows to describe quantitatively the continuity at a point in terms of moduli of continuity.

A special role is played by concave moduli of continuity, especially in connection with extension properties, and with approximation of uniformly continuous functions. For a function between metric spaces, it is equivalent to admit a modulus of continuity that is either concave, or subadditive, or uniformly continuous, or sublinear (in the sense of growth). Actually, the existence of such special moduli of continuity for a uniformly continuous function is always ensured whenever the domain is either a compact, or a convex subset of a normed space. However, a uniformly continuous function on a general metric space admits a concave modulus of continuity if and only if the ratios

frac{d_Y(f(x),f(x'))}{d_X(x,x')}

are uniformly bounded for all pairs (x, x′) bounded away from the diagonal of X. The functions with the latter property constitute a special subclass of the uniformly continuous functions, that in the following we refer to as the special uniformly continuous functions. Real-valued special uniformly continuous functions on the metric space X can also be characterized as the set of all functions that are restrictions to X of uniformly continuous functions over any normed space isometrically containing X. Also, it can be characterized as the uniform closure of the Lipschitz functions on X.

Kết quả (Việt) 1:

Trong giải tích toán học, một modul liên tục là một chức năng ω: [0, ∞] → [0, ∞] được sử dụng để đo lường định liên tục đều của chức năng. Như vậy, một hàm f: tôi → R thừa nhận ω là một modul liên tục nếu và chỉ nếu |f(x)-f(y)|leqomega(|x-y|),với mọi x và y thuộc phạm vi của f. Kể từ khi moduli liên tục được yêu cầu phải infinitesimal lúc 0, một chức năng chỉ ra là hàm liên tục nếu và chỉ nếu nó thừa nhận một modul liên tục. Hơn nữa, sự liên quan đến khái niệm được đưa ra bởi một thực tế rằng bộ của chức năng chia sẻ mô đun cùng một liên tục chính xác equicontinuous gia đình. Ví dụ, mô đun ω(t): = kt mô tả chức năng k-Lipschitz, moduli ω(t): = ktα mô tả liên tục Hölder, mô đun ω(t): = kt(|log(t)|+1) Mô tả gần Lipschitz lớp, và như vậy. Nói chung, vai trò của ω là để sửa chữa một số phụ thuộc vào chức năng rõ ràng ε trên δ ở (ε, δ) định nghĩa của liên tục đều. Các khái niệm cùng một tổng quát hóa tự nhiên để chức năng giữa không gian metric. Hơn nữa, một phiên bản địa phương phù hợp của các khái niệm cho phép mô tả định tính liên tục tại một điểm trong điều khoản của moduli liên tục.Một vai trò đặc biệt được chơi bởi lõm moduli liên tục, đặc biệt là trong kết nối với thuộc tính phần mở rộng, và với xấp xỉ của hàm liên tục chức năng. Đối với một chức năng giữa không gian metric, là tương đương để thừa nhận một modul liên tục là lõm, hoặc subadditive, hoặc hàm liên tục, hoặc sublinear (theo nghĩa của tăng trưởng). Trên thực tế, sự tồn tại của như vậy moduli đặc biệt của liên tục cho một chức năng hàm liên tục là luôn luôn đảm bảo bất cứ khi nào tên miền là một nhỏ gọn hoặc một tập hợp con lồi của một không gian không. Tuy nhiên, một hàm liên tục đều trên một không gian metric chung thừa nhận một modul lõm liên tục nếu và chỉ nếu các tỷ lệ frac{d_Y(f(x),f(x'))}{d_X(x,x')}thống nhất được bao bọc cho tất cả cặp (x, x′) bị chặn ra khỏi đường chéo của X. Các chức năng với tài sản sau này tạo thành một phân lớp đặc biệt của các chức năng hàm liên tục, rằng ở đây chúng tôi chỉ đến như là các chức năng đặc biệt của hàm liên tục. Giá trị thực đặc biệt hàm liên tục chức năng trên không gian metric X cũng có thể được định nghĩa là tập của tất cả các chức năng là hạn chế để X của các hàm liên tục chức năng hơn bất kỳ không gian không isometrically có chứa X. Ngoài ra, nó có thể được định nghĩa là đóng cửa thống nhất của các chức năng Lipschitz ngày X.

Kết quả (Việt) 2:

Trong phân tích toán học, một mô đun liên tục là một chức năng ω: [0, ∞] → [0, ∞] được sử dụng để đo lường định lượng liên tục thống nhất các chức năng. Vì vậy, một hàm f: I → R ω thừa nhận như là một mô đun liên tục khi và chỉ khi | f (x) -f (y) | leq omega (| xy |), với mọi x và y trong các lĩnh vực f. Kể từ môđun liên tục được yêu cầu phải được vô cùng 0, một chức năng hóa ra là thống nhất liên tục khi và chỉ khi nó thừa nhận một mô đun liên tục. Hơn nữa, sự liên quan đến các khái niệm được đưa ra bởi thực tế là bộ chức năng chia sẻ các mô đun cùng của sự liên tục là các gia đình chính xác equicontinuous. Ví dụ, các ω modulus (t): = kt mô tả các chức năng k-Lipschitz, các ω môđun (t): = ktα mô tả sự liên tục chủ sở hữu, ω modulus (t): = kt (| log (t) | + 1) mô tả các lớp gần như Lipschitz, và như vậy. Nói chung, vai trò của ω là để sửa chữa một số phụ thuộc chức năng rõ ràng của ε δ vào trong (ε, δ) định nghĩa về tính liên tục thống nhất. Các khái niệm tương tự khái quát một cách tự nhiên với chức năng giữa các không gian metric. Hơn nữa, một phiên bản địa phương phù hợp của những ý niệm này cho phép để mô tả định lượng liên tục tại một điểm trong các điều khoản của môđun liên tục. Một vai trò đặc biệt được chơi bởi môđun lõm liên tục, đặc biệt là trong mối liên hệ với các thuộc tính mở rộng, và với xấp xỉ của các chức năng thống nhất liên tục . Đối với một chức năng giữa các không gian metric, nó tương đương với thừa nhận một mô đun liên tục hoặc là lõm, hoặc subadditive, hoặc thống nhất liên tục, hoặc sublinear (trong ý nghĩa của tăng trưởng). Trên thực tế, sự tồn tại của môđun đặc biệt như vậy liên tục cho một chức năng thống nhất liên tục được luôn được đảm bảo bất cứ khi nào các tên miền có thể là một nhỏ gọn, hoặc một tập hợp lồi của một không gian định chuẩn. Tuy nhiên, một chức năng thống nhất liên tục trên một không gian metric chung thừa nhận một modul lõm liên tục khi và chỉ khi các tỷ lệ frac {d_Y (f (x), f (x))} {d_X (x, x ')} là thống nhất giáp cho tất cả các cặp (x, x ') giáp xa đường chéo của X. Các chức năng với các tài sản sau này tạo thành một lớp con đặc biệt của các chức năng thống nhất liên tục, mà trong những điều sau đây, chúng tôi đề cập đến như các chức năng thống nhất liên tục đặc biệt. Giá trị thực chức năng thống nhất liên tục đặc biệt về không gian metric X cũng có thể được mô tả như là tập hợp tất cả các chức năng mà những hạn chế đối với X của các chức năng thống nhất liên tục trong bất kỳ không gian định chuẩn isometrically chứa X. Ngoài ra, nó có thể được mô tả như là việc đóng cửa thống nhất các chức năng Lipschitz trên X.