Exercises1. Which of these relation

Exercises
1. Which of these relations on {0, 1, 2, 3} are equivalence
relations? Determine the properties of an equivalence re
lation that the others lack.
a) {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}
b) {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}
c) {(0, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}
d) {(0, 0), (1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2),
(3, 3)}
e) {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0),
(2, 2), (3, 3)}
2. Which of these relations on the set of all people are equiv
alence relations? Determine the properties of an equiva
lence relation that the others lack.
a) {(a, b) | a and b are the same age}
b) {(a, b) | a and b have the same parents}
c) {(a, b) | a and b share a common parent}
d) {(a, b) | a and b have met}
e) {(a, b) | a and b speak a common language}
3. Which of these relations on the set of all functions fromZ
to Z are equivalence relations? Determine the properties
of an equivalence relation that the others lack.
a) {(f, g) | f (1) = g(1)}
b) {(f, g) | f (0) = g(0) or f (1) = g(1)}
c) {(f, g) | f (x) − g(x) = 1 for all x ∈ Z}
d) {(f, g) | for some C ∈ Z, for all x ∈ Z, f (x) −
g(x) = C}
e) {(f, g) | f (0) = g(1) and f (1) = g(0)}
4. Define three equivalence relations on the set of students
in your discrete mathematics class different from the re
lations discussed in the text. Determine the equivalence
classes for each of these equivalence relations.
5. Define three equivalence relations on the set of buildings
on a college campus. Determine the equivalence classes
for each of these equivalence relations.
6. Define three equivalence relations on the set of classes of
fered at your school. Determine the equivalence classes
for each of these equivalence relations.
7. Show that the relation of logical equivalence on the set
of all compound propositions is an equivalence relation.
What are the equivalence classes of F and of T?
8. Let R be the relation on the set of all sets of real numbers
such that S R T if and only if S and T have the same
cardinality. Show that R is an equivalence relation. What
are the equivalence classes of the sets {0, 1, 2} and Z?
9. Suppose that A is a nonempty set, and f is a function that
has A as its domain. Let R be the relation on A consisting
of all ordered pairs (x, y) such that f (x) = f (y).
a) Show that R is an equivalence relation on A.
b) What are the equivalence classes of R?
10. Suppose that A is a nonempty set and R is an equivalence
relation on A. Show that there is a function f with A as its
domain such that (x, y) ∈ R if and only if f (x) = f (y).
11. Show that the relation R consisting of all pairs (x, y) such
that x and y are bit strings of length three or more that
agree in their first three bits is an equivalence relation on
the set of all bit strings of length three or more.
12. Show that the relation R consisting of all pairs (x, y) such
that x and y are bit strings of length three or more that
agree except perhaps in their first three bits is an equiva
lence relation on the set of all bit strings of length three
or more.
13. Show that the relation R consisting of all pairs (x, y) such
that x and y are bit strings that agree in their first and third
bits is an equivalence relation on the set of all bit strings
of length three or more.
14. Let R be the relation consisting of all pairs (x, y) such
that x and y are strings of uppercase and lowercase En
glish letters with the property that for every positive in
teger n, the nth characters in x and y are the same letter,
either uppercase or lowercase. Show that R is an equiva
lence relation.
15. Let R be the relation on the set of ordered pairs of posi
tive integers such that ((a, b), (c, d)) ∈ R if and only if
a + d = b + c. Show that R is an equivalence relation.
16. Let R be the relation on the set of ordered pairs of posi
tive integers such that ((a, b), (c, d)) ∈ R if and only if
ad = bc. Show that R is an equivalence relation.
17. (Requires calculus)
a) Show that the relation R on the set of all differentiable
functions from R to R consisting of all pairs (f, g)
such that f(x) = g(x) for all real numbers x is an
equivalence relation.
b) Which functions are in the same equivalence class as
the function f (x) = x2?
18. (Requires calculus)
a) Let n be a positive integer. Show that the relation
R on the set of all polynomials with real-valued
coefficients consisting of all pairs (f, g) such that
f(n)(x) = g(n)(x) is an equivalence relation. [Here
f(n)(x) is the nth derivative of f (x).]
b) Which functions are in the same equivalence class as
the function f (x) = x4, where n = 3?
19. Let R be the relation on the set of all URLs (or Web ad
dresses) such that x R y if and only if the Web page at
x is the same as the Web page at y. Show that R is an
equivalence relation.
20. Let R be the relation on the set of all people who have
visited a particular Web page such that x R

Kết quả (Việt) 1:

Bài tập1. những quan hệ {0, 1, 2, 3} có tương đương khôngquan hệ? Xác định các thuộc tính của một tương đương táilation mà những người khác thiếu.a) {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}b) {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}c) {(0, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}d) {(0, 0), (1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2)(3, 3)}e) {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0),(2, 2) (3, 3)}2. những quan hệ trên tập hợp của tất cả mọi người có equivalence quan hệ? Xác định các thuộc tính của một equivalence mối quan hệ với những người khác thiếu.a) {(a, b) | một và b có cùng tuổi}b) {(a, b) | một và b có cùng phụ huynh}c) {(a, b) | một và b chia sẻ một phụ huynh thường}d) {(a, b) | một và b đã gặp}e) {(a, b) | một và b nói một ngôn ngữ phổ biến}3. mà trong số các mối quan hệ trên tập hợp của tất cả các chức năng fromZđến Z có quan hệ tương đương không? Xác định các thuộc tínhmột quan hệ tương đương với những người khác thiếu.a) {(f, g) | f (1) = g(1)}b) {(f, g) | f (0) = f (1) hay g(0) = g(1)}c) {(f, g) | f (x) − g(x) = 1 cho tất cả x ∈ Z}d) {(f, g) | cho một số C ∈ Z, cho tất cả x ∈ Z, f (x) −g(x) = C}e) {(f, g) | f (0) = f (1) và g(1) = g(0)}4. xác định ba mối quan hệ tương đương trên các thiết lập của học sinhtrong lớp học toán học rời rạc của bạn khác nhau từ relations thảo luận trong văn bản. Xác định sự tương đươngCác lớp học cho mỗi người trong các mối quan hệ tương đương.5. xác định ba mối quan hệ tương đương trên các thiết lập của tòa nhàtrên khuôn viên trường đại học. Xác định các lớp học tương đươngĐối với mỗi của những mối quan hệ tương đương.6. xác định ba mối quan hệ tương đương trên tập hợp các lớp học củafered tại trường học của bạn. Xác định các lớp học tương đươngĐối với mỗi của những mối quan hệ tương đương.7. thấy rằng mối quan hệ hợp lý tương đương trên tập hợpTất cả các đề xuất hợp chất là một quan hệ tương đương.Lớp tương đương của F và T là gì?8. Hãy để R là mối quan hệ trên tập hợp tất cả các tập số thựcmà S R T nếu và chỉ nếu S và T có cùng mộtcardinality. Thấy rằng R là một mối quan hệ tương đương. Cái gìcó các lớp học tương đương của tập {0, 1, 2} và Z?9. giả sử A là một bộ nonempty và f là một hàm màcó A như tên miền của mình. Giả sử R là mối quan hệ trên một bao gồmcủa tất cả các cặp (x, y) như vậy đã ra lệnh rằng f (x) = f (y).a) R là một mối quan hệ tương đương trên A. Hiển thịb) lớp tương đương của R là gì?10. giả sử A là một bộ nonempty và R là một tương đươngmối quan hệ trên A. Hiển thị rằng đó là một hàm f với một như của nótên miền như vậy đó (x, y) ∈ R nếu và chỉ nếu f (x) = f (y).11. cho thấy rằng quan hệ R bao gồm tất cả các cặp (x, y) như vậyx và y là các chuỗi bit của chiều dài ba hoặc nhiều hơn màđồng ý trong lần đầu tiên của ba bit là một mối quan hệ tương đương trênCác thiết lập của tất cả các chuỗi bit của chiều dài ba hoặc nhiều hơn.12. cho thấy rằng quan hệ R bao gồm tất cả các cặp (x, y) như vậyx và y là các chuỗi bit của chiều dài ba hoặc nhiều hơn màđồng ý ngoại trừ có lẽ trong của ba bit đầu tiên là một equivalence liên quan trên các thiết lập của tất cả các chuỗi bit của chiều dài bahoặc hơn.13. cho thấy rằng quan hệ R bao gồm tất cả các cặp (x, y) như vậyx và y là các chuỗi bit đồng ý trong lần đầu tiên và thứ ba của họbit là một mối quan hệ tương đương trên tập hợp tất cả các chuỗi bitchiều dài ba hoặc nhiều hơn.14. giả sử R là mối quan hệ bao gồm tất cả các cặp (x, y) như vậyx và y là các chuỗi chữ hoa và chữ thường english chữ cái với các tài sản đó cho mỗi tích cực ởteger n, ký tự thứ n trong x và y là cùng một lá thư,chữ hoa hoặc chữ thường. R là một equivalence mối quan hệ.15. giả sử R là mối quan hệ trên tập lệnh các cặp posihoạt động cùng nguyên như vậy mà ((a, b), (c, d)) ∈ R nếu và chỉ nếua + d = b + c. Hiển thị R là một mối quan hệ tương đương.16. giả sử R là mối quan hệ trên tập lệnh các cặp posihoạt động cùng nguyên như vậy mà ((a, b), (c, d)) ∈ R nếu và chỉ nếuAD = bc. Thấy rằng R là một mối quan hệ tương đương.17. (yêu cầu tính toán)a) cho thấy rằng quan hệ R trên tập hợp của tất cả khả vichức năng R R bao gồm tất cả các cặp (f, g)sao cho f (x) = g (x) với mọi số thực x là mộtquan hệ tương đương.b) có chức năng là lớp tương đương tương tự nhưhàm số f (x) = x2?18. (yêu cầu tính toán)a) cho n là số nguyên dương. Thấy rằng mối quan hệR trên tập hợp tất cả các đa thức với giá trị thựcHệ số bao gồm tất cả các cặp (f, g) như vậy màf(n)(x) = g(n)(x) là một mối quan hệ tương đương. [Ở đâyf(n)(x) là hàm f (x), nth.]b) có chức năng là lớp tương đương tương tự nhưhàm số f (x) = x4, trong trường hợp n = 3?19. giả sử R là mối quan hệ trên tập hợp tất cả các URL (hoặc trang Web quảng cáoÁo dài) sao cho x R y nếu và chỉ nếu các trang Web trang tạix là giống như các trang Web tại y. Hiển thị R là mộtquan hệ tương đương.20. giả sử R là mối quan hệ trên tập hợp tất cả những người cótruy cập bản đặc biệt Trang Web như vậy mà x R

Kết quả (Việt) 2:

Bài tập
1. Mà trong các mối quan hệ trên {0, 1, 2, 3} tương đương
quan hệ? Xác định các tính chất của một sự tương đương tái
lation mà những người khác không có.
A) {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}
b) {(0, 0), ( 0, 2), (2, 0), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}
c) {(0, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}
d) {(0, 0), (1, 1), (1, 3), (2, 2) , (2, 3), (3, 1), (3, 2),
(3, 3)}
e) {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0 ), (1, 1), (1, 2), (2, 0),
(2, 2), (3, 3)}
2. Mà trong các mối quan hệ trên các thiết lập của tất cả mọi người đều equiv
quan hệ alence? Xác định các thuộc tính của một equiva
bạo liên quan mà những người khác không có.
A) {(a, b) | a và b là cùng tuổi}
b) {(a, b) | a và b có cùng cha mẹ}
c) {(a, b) | một và chia sẻ cha mẹ chung} b
d) {(a, b) | a và b đã gặp}
e) {(a, b) | a và b nói một ngôn ngữ phổ biến}
3. Mà trong các mối quan hệ trên tập tất cả các chức năng fromZ
đến Z là quan hệ tương đương? Xác định các thuộc tính
của một quan hệ tương đương mà những người khác không có.
A) {(f, g) | f (1) = g (1)}
b) {(f, g) | f (0) = g (0) hoặc f (1) = g (1)}
c) {(f, g) | f (x) - g (x) = 1 với mọi x ∈ Z}
d) {(f, g) | cho một số C ∈ Z, với mọi x ∈ Z, f (x) -
g (x) = C}
e) {(f, g) | f (0) = g (1) và f (1) = g (0)}
4. Xác định ba quan hệ tương đương trên tập của các học sinh
trong lớp toán rời rạc của bạn khác nhau từ việc tái
qui thảo luận trong văn bản. Xác định sự tương đương
lớp học cho mỗi người trong các mối quan hệ tương đương.
5. Xác định ba quan hệ tương đương trên tập các tòa nhà
trên một khuôn viên đại học. Xác định các lớp tương đương
cho mỗi người trong các mối quan hệ tương đương.
6. Xác định ba quan hệ tương đương trên tập các lớp của
fered tại trường học của bạn. Xác định các lớp tương đương
cho mỗi người trong các mối quan hệ tương đương.
7. Cho thấy rằng các mối quan hệ tương đương logic trên các thiết lập
của tất cả các mệnh đề phức hợp là một quan hệ tương đương.
Các lớp tương đương của F và T là gì?
8. Hãy R là quan hệ trên các thiết lập của tất cả các bộ số thực
mà SRT khi và chỉ khi S và T có cùng
cardinality. Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương. Những gì
các lớp tương đương của bộ {0, 1, 2} và Z là?
9. Giả sử rằng A là một tập hợp khác rỗng, và f là một chức năng mà
có như một phạm vi của nó. Hãy R là quan hệ trên A bao gồm
tất cả các cặp có thứ tự (x, y) sao cho f (x) = f (y).
A) Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương trên A.
b) các lớp tương đương của R là gì ?
10. Giả sử rằng A là một tập hợp khác rỗng và R là một tương đương
liên quan trên A. Hiện rằng có một hàm f với A như của
miền như vậy đó (x, y) ∈ R nếu và chỉ nếu f (x) = f (y) .
11. Chứng minh rằng quan hệ R gồm tất cả các cặp (x, y) sao
cho x và y là chuỗi bit độ dài ba hoặc nhiều hơn mà
đồng ý của họ ba bit đầu tiên là một quan hệ tương đương trên
tập tất cả các chuỗi bit độ dài ba hoặc nhiều hơn .
12. Chứng minh rằng quan hệ R gồm tất cả các cặp (x, y) sao
cho x và y là chuỗi bit độ dài ba hoặc nhiều hơn mà
đồng ý ngoại trừ có lẽ trong họ ba bit đầu tiên là một equiva
bạo quan hệ trên tập tất cả các chuỗi bit có chiều dài ba
hoặc nhiều hơn.
13. Chứng minh rằng R liên quan bao gồm tất cả các cặp (x, y) sao
cho x và y là chuỗi bit mà đồng ý đầu tiên và thứ ba của họ
bit là một quan hệ tương đương trên tập tất cả các chuỗi bit
có độ dài ba hoặc nhiều hơn.
14. Hãy R là quan hệ bao gồm tất cả các cặp (x, y) sao
cho x và y là chuỗi chữ hoa và chữ thường En
glish chữ cái với tài sản đó cho mỗi tích cực trong
teger n, các ký tự thứ n trong x và y là cùng một lá thư ,
hoặc là chữ hoa hay chữ thường. Chứng minh rằng R là một equiva
mối quan hệ bạo.
15. Hãy R là quan hệ trên tập các cặp có thứ tự của Posi
số nguyên chính kịp thời như vậy mà ((a, b), (c, d)) ∈ R khi và chỉ khi
a + d = b + c. Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương.
16. Hãy R là quan hệ trên tập các cặp có thứ tự của Posi
số nguyên chính kịp thời như vậy mà ((a, b), (c, d)) ∈ R nếu và chỉ nếu
ad = bc. Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương.
17. (Cần phải tính toán)
a) Chứng minh rằng quan hệ R trên tập tất cả các vi
chức năng từ R đến R bao gồm tất cả các cặp (f, g)
cho f? (X) = g? (X) với mọi số thực x là một
quan hệ tương đương.
b) Mà các chức năng có trong các lớp tương đương như
hàm f (x) = x2?
18. (Cần phải tính toán)
a) Hãy n là một số nguyên dương. Cho thấy rằng các mối quan hệ
R trên tập tất cả các đa thức với giá trị thực
hệ số bao gồm tất cả các cặp (f, g) sao cho
f (n) (x) = g (n) (x) là một quan hệ tương đương. [Ở đây
f (n) (x) là đạo hàm thứ n của f (x).]
B) Những chức năng có trong lớp tương đương như
hàm f (x) = x4, trong đó n = 3?
19. Hãy R là quan hệ trên các thiết lập của tất cả các URL (hoặc quảng cáo Web
váy) sao cho x R y khi và chỉ khi các trang web tại
x là giống như các trang web tại y. Chứng minh rằng R là một
quan hệ tương đương.
20. Hãy R là quan hệ trên các thiết lập của tất cả những người đã
đến thăm một trang web cụ thể mà x R