Now assume that rk = ek − vk + 2. L

Now assume that rk = ek − vk + 2. Let {ak+1, bk+1} be the edge that is added to Gk to
obtain Gk+1 . There are two possibilities to consider. In the first case, both ak+1 and bk+1 are
already in Gk. These two vertices must be on the boundary of a common region R, or else
it would be impossible to add the edge {ak+1, bk+1} to Gk without two edges crossing (and
Gk+1 is planar). The addition of this new edge splits R into two regions. Consequently, in this
case, rk+1 = rk + 1, ek+1 = ek + 1, and vk+1 = vk. Thus, each side of the formula relating the
number of regions, edges, and vertices increases by exactly one, so this formula is still true. In
other words, rk+1 = ek+1 − vk+1 + 2. This case is illustrated in Figure 10(a).

Kết quả (Việt) 1:

Bây giờ giả sử rằng rk = ek − vk + 2. Hãy để {ak + 1, bk + 1} có các cạnh được thêm vào Gk đểcó được Gk + 1. Không có hai khả năng để xem xét. Trong trường hợp đầu tiên, cả ak + 1 và bk + 1 làđã có trong với Những hai đỉnh phải trên ranh giới của một khu vực phổ biến R, hoặc người nào khácnó sẽ không thể thêm cạnh {ak + 1, bk + 1} để Gk mà hai cạnh vượt qua (vàGK + 1 là hai chiều). Việc bổ sung này cạnh mới chia R thành hai khu vực. Do đó, ở đâytrường hợp, rk + 1 = rk + 1, ek + 1 = ek + 1, và vk + 1 = vk. Vì vậy, mỗi bên liên quan thức tỉnhsố lượng tăng lên vùng, cạnh, và đỉnh bằng chính xác một, nên công thức này là vẫn còn đúng. Ởnói cách khác, rk + 1 = ek + 1 − vk + 1 + 2. Trường hợp này được minh họa trong hình 10(a).

Kết quả (Việt) 2:

Bây giờ giả sử rằng rk = ek - vk + 2. Cho {ak + 1, bk + 1} là cạnh được thêm vào Gk để
có được Gk + 1. Có hai khả năng để xem xét. Trong trường hợp đầu tiên, cả hai ak + 1 và bk + 1 là
đã có trong Gk. Hai đỉnh phải trên ranh giới của một khu vực R phổ biến, nếu không
nó sẽ không thể để thêm các cạnh {ak + 1, bk + 1} để Gk mà hai cạnh qua (và
Gk + 1 là phẳng). Việc bổ sung các cạnh mới này chia tách R thành hai khu vực. Do đó, trong này
trường hợp, rk + 1 = rk + 1, ek + 1 = ek + 1, và vk + 1 = vk. Như vậy, mỗi bên của các công thức liên hệ giữa
số khu vực, cạnh, và đỉnh tăng một cách chính xác, vì vậy công thức này vẫn là sự thật. Trong
Nói cách khác, rk + 1 = ek + 1 - vk + 1 + 2. Trường hợp này được minh họa trong hình 10 (a).