Prove that lines AA2, BB2 and CC2 a

Prove that lines AA2, BB2 and CC2 also meet at one point, Q (or are parallel).

Such points P and Q are called isotomically conjugate with respect to triangle ABC.

5.78. On sides BC, CA, AB of triangle ABC points A1, B1 and C1 are taken so that lines AA1, BB1 and CC1 intersect at one point, P . Prove that lines AA2, BB2 and CC2 symmetric to these lines through the corresponding bisectors also intersect at one point, Q.


P2RA .
§9. SIMSON’S LINE 107

Such points P and Q are called isogonally conjugate with respect to triangle ABC.

The opposite sides of a convex hexagon are pairwise parallel. Prove that the lines that connect the midpoints of opposite sides intersect at one point.
From a point P perpendiculars P A1 and P A2 are dropped to side BC of triangle ABC and to height AA3. Points B1, B2 and C1, C2 are similarly defined. Prove that lines A1A2, B1B2 and C1C2 either meet at one point or are parallel.

Through points A and D lying on a circle tangents that intersect at point S are drawn. On arc ⌣ AD points B and C are taken. Lines AC and BD meet at point P , lines AB and CD meet at point Q. Prove that line P Q passes through point S.

a) On sides BC, CA and AB of an isosceles triangle ABC with base AB, points A1, B1 and C1, respectively, are taken so that lines AA1, BB1 and CC1 meet at one point.
Prove that

AC1 = sin ∠ABB1 • sin ∠CAA1 . C1B sin ∠BAA1 • sin ∠CBB1
b) Inside an isosceles triangle ABC with base AB points M and N are taken so that ∠CAM = ∠ABN and ∠CBM = ∠BAN . Prove that points C, M and N lie on one line.
5.84. In triangle ABC bisectors AA1, BB1 and CC1 are drawn. Bisectors AA1 and CC1 intersect segments C1B1 and B1A1 at points M and N , respectively. Prove that ∠M BB1 =
∠N BB1.

See also Problems 10.56, 14.7, 14.38.

Kết quả (Việt) 1:

Chứng minh rằng dòng AA2, BB2 và CC2 cũng gặp gỡ tại một điểm, Q (hay là song song).Như vậy điểm P và Q được gọi là isotomically liên hợp với tam giác ABC.5,78. bên cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC điểm A1, B1 và C1 được thực hiện do đó dòng AA1, BB1 và CC1 cắt nhau tại một thời điểm, P. Chứng minh rằng dòng AA2, BB2 và CC2 đối xứng với những dòng thông qua tương ứng bisectors cũng cắt nhau tại một thời điểm, Q. P2RA.§9. SIMSON CỦA DÒNG 107Như vậy điểm P và Q được gọi là isogonally liên hợp với tam giác ABC. Cạnh đối diện của một hình lục giác lồi là cử song song. Chứng minh rằng các đường kết nối midpoints đối diện bên cắt nhau tại một thời điểm. Từ một điểm P perpendiculars P A1 và P A2 được giảm xuống để cạnh BC của tam giác ABC và chiều cao AA3. Điểm B1, B2 và C1, C2 được xác định tương tự như vậy. Chứng minh rằng dòng A1A2, B1B2 và C1C2 gặp gỡ tại một thời điểm hoặc được song song. Thông qua điểm A và D nằm trên một tiếp tuyến vòng tròn cắt nhau tại điểm S được rút ra. Trên vòng cung ⌣ quảng cáo điểm B và C được thực hiện. Dòng AC và BD gặp nhau tại điểm P, dòng AB và CD gặp nhau tại điểm Q. chứng minh rằng dòng P Q đi qua điểm S. a) trên các cạnh BC, CA và AB của một tam giác isosceles ABC với cơ sở AB, điểm A1, B1 và C1, tương ứng, được thực hiện do đó dòng AA1, BB1 và CC1 gặp gỡ tại một thời điểm.Chứng minh rằngAC1 = sin ∠ABB1 • tội lỗi ∠CAA1. C1B sin ∠BAA1 • tội lỗi ∠CBB1b) bên trong một isosceles tam giác ABC với AB căn cứ điểm M và N được lấy như vậy đó ∠CAM = ∠ABN và ∠CBM = ∠BAN. Chứng minh rằng điểm C, M và N nằm trên cùng một dòng.5.84. trong tam giác ABC bisectors AA1, BB1 và CC1 được rút ra. Bisectors AA1 và CC1 giao nhau phân đoạn C1B1 và B1A1 tại các điểm M và N, tương ứng. Chứng minh rằng ∠M BB1 =∠N BB1.Xem thêm vấn đề 10,56, 14.7, 14.38.

Kết quả (Việt) 2:

Chứng minh rằng đường Aa2, BB2 và CC2 cũng gặp nhau tại một điểm, Q (hoặc song song).

Điểm như vậy P và Q được gọi là isotomically liên hợp đối với tam giác ABC. Với

5.78. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC điểm A1, B1 và C1 được lấy sao cho đường AA1, BB1 và CC1 cắt nhau tại một điểm, P. Chứng minh rằng đường Aa2, BB2 và CC2 đối xứng để những dòng này thông qua các đường trung tương ứng cũng cắt nhau tại một điểm, Q.


P2RA.
§9. Simson CỦA ĐƯỜNG DÂY 107

điểm như vậy P và Q được gọi là isogonally liên hợp đối với tam giác ABC với.

Các bên đối diện của một hình lục giác lồi là cặp song song. Chứng minh rằng các đường kết nối các trung điểm của cạnh đối diện giao nhau tại một điểm.
Từ một điểm P vuông góc P A1 và A2 P được giảm xuống bên BC của tam giác ABC và chiều cao Aa3. Điểm B1, B2 và C1, C2 được định nghĩa tương tự. Chứng minh rằng đường A1A2, B1B2 và C1C2 hai gặp nhau tại một điểm hay là song song.

Thông qua điểm A và D nằm trên một đường tiếp tuyến đường tròn cắt nhau tại điểm S được rút ra. Trên vòng cung ⌣ điểm AD B và C được thực hiện. Dòng AC và BD gặp nhau tại điểm P, đường dây AB và CD gặp nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng dòng PQ đi qua điểm S.

a) Trên cạnh BC, CA, AB của một tam giác cân ABC với cơ sở AB, các điểm A1, B1 và C1, tương ứng, được lấy sao cho đường AA1, BB1 và CC1 gặp nhau tại một điểm.
Chứng minh rằng

AC1 = sin ∠ABB1 • tội ∠CAA1. C1B tội ∠BAA1 • tội ∠CBB1
b) Trong một tam giác cân ABC với cơ sở AB điểm M và N được lấy để ∠CAM = ∠ABN và ∠CBM = ∠BAN. Chứng minh rằng điểm C, M và N nằm trên một dòng.
5.84. Trong tam giác ABC đường trung AA1, BB1 và CC1 được rút ra. Đường trung AA1 và CC1 cắt phân đoạn C1B1 và B1A1 tại các điểm M và N tương ứng. Chứng minh rằng ∠M BB1 =
∠N BB1.

Xem thêm vấn đề 10,56, 14,7, 14,38.