Problems for independent study5.136

Problems for independent study

5.136. Prove that the projection of the diameter of a circumscribed circle perpendicular to a side of the triangle to the line that contains the second side is equal to the third side.

5.137. Prove that the area of the triangle with vertices in the centers of the escribed circles of triangle ABC is equal to 2pR.

5.138. An isosceles triangle with base a and the lateral side b, and an isosceles triangle

with base b and the lateral side a are inscribed in a circle of radius R. Prove that if a =6 b, then ab = √5R2.

5.139. The inscribed circle of right triangle ABC is tangent to the hypothenuse AB at point P ; let CH be a height of triangle ABC. Prove that the center of the inscribed circle of triangle ACH lies on the perpendicular dropped from point P to AC.

5.140. The inscribed circle of triangle ABC is tangent to sides CA and AB at points B1 and C1, respectively, and an escribed circle is tangent to the extension of sides at points B2 and C2. Prove that the midpoint of side BC is equidistant from lines B1C1 and B2C2.
5.141. In triangle ABC, bisector AD is drawn. Let O, O1 and O2 be the centers of the circumscribed circles of triangles ABC, ABD and ACD, respectively. Prove that
OO1 = OO2.

5.142. The triangle constructed from a) medians, b) heights of triangle ABC is similar to triangle ABC. What is the ratio of the lengths of the sides of triangle ABC?

5.143. Through the center O of an equilateral triangle ABC a line is drawn. It intersects lines BC, CA and AB at points A1, B1 and C1, respectively. Prove that one of the numbers
1 , 1 and 1 is equal to the sum of the other two numbers.
OA1
OB1 OC1
5.144. In triangle ABC heights BB1 and CC1 are drawn. Prove that if ∠A = 45◦, then
B1C1 is a diameter of the circle of nine points of triangle ABC.
5.145. The angles of triangle ABC satisfy the relation sin2 ∠A + sin2 ∠B + sin2 ∠C = 1.
Prove that the circumscribed circle and the circle of nine points of triangle ABC intersect at a right angle.

Solutions

5.1. Let AC1 = AB1 = x, BA1 = BC1 = y and CA1 = CB1 = z. Then a = y + z, b = z + x and c = x + y.
Subtracting the third equality from the sum of the first two ones we get z = a+b−c . Hence,
2

if triangle ABC is given, then the position of points A1 and B1 is uniquely determined. Similarly, the position of point C1 is also uniquely determined. It remains to notice that the tangency points of the inscribed circle with the sides of the triangle satisfy the relations indicated in the hypothesis of the problem.

Rays COa and COb are the bisectors of the outer angles at vertex C, hence, C lies on line OaOb and ∠OaCB = ∠ObCA. Since COc is the bisector of angle ∠BCA, it follows that ∠BCOc = ∠ACOc. Adding these equalities we get: ∠OaCOc = ∠OcCOb, i.e., OcC is a height of triangle OaObOc. We similarly prove that OaA and ObB are heights of this triangle.

Clearly,

∠BOC = 180◦ − ∠CBO − ∠BCO = 180◦ − ∠B − ∠C = 90◦ + ∠A

2 2 2
and ∠BOaC = 180◦ − ∠BOC, because ∠OBOa = ∠OCOa = 90◦.

5.4. Let AA1, BB1 and CC1 be the bisectors of triangle ABC and O the intersection point of these bisectors. Suppose that x > 1. Then ∠P AB > ∠P AC, i.e., point P lies

Kết quả (Việt) 1:

Vấn đề cho nghiên cứu độc lập5.136. chứng minh rằng chiếu của đường kính của một vòng tròn đường vuông góc với một bên là hình tam giác vào dòng chứa bên thứ hai là tương đương với các bên thứ ba.5.137. chứng minh rằng diện tích của tam giác có đỉnh tại các trung tâm của vòng tròn escribed của tam giác ABC bằng 2pR.5.138. một tam giác isosceles với cơ sở một và phía bên b, và một hình tam giác isoscelesvới cơ sở b và phía bên a được ghi trong một vòng tròn bán kính R. chứng minh rằng nếu một = 6 b, sau đó ab = √5R2.5.139. vòng tròn ghi trong tam giác vuông ABC là tiếp tuyến đến hypothenuse AB tại điểm P; cho CH là một chiều cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng Trung tâm của vòng tròn ghi của tam giác ACH nằm ở trên vuông góc giảm xuống từ điểm P AC.5.140. vòng tròn ghi của tam giác ABC là ốp bên cạnh CA và AB tại điểm B1 và C1, tương ứng, và một vòng tròn escribed là ốp vào phần mở rộng của các bên tại điểm B2 và C2. Chứng minh rằng trung điểm của cạnh BC equidistant từ dòng B1C1 và B2C2.5.141. trong tam giác ABC, bisector quảng cáo được rút ra. Cho O, O1 và O2 là các trung tâm của đường tròn của tam giác ABC, ABD và ACD, tương ứng. Chứng minh rằngOO1 = OO2.5.142. tam giác được xây dựng từ một) số trung vị, b) chiều cao của tam giác ABC là tương tự với tam giác ABC. Tỷ lệ các chiều dài các cạnh của tam giác ABC là gì?5.143. qua tâm O của một tam giác đều ABC một dòng được rút ra. Nó giao cắt đường BC, CA và AB tại điểm A1, B1 và C1, tương ứng. Chứng minh rằng một trong những con số 1, 1 và 1 là bằng tổng của hai số điện thoại.OA1 OB1 OC1 5.144. trong tam giác ABC heights BB1 và CC1 được rút ra. Chứng minh rằng nếu ∠A = 45◦, sau đóB1C1 là đường kính của vòng tròn của chín điểm của tam giác ABC. 5.145. các góc trong tam giác ABC thỏa mãn quan hệ sin2 ∠A + sin2 ∠B + sin2 ∠C = 1.Chứng minh đường tròn và vòng tròn của chín điểm của tam giác ABC cắt nhau tại một góc bên phải.Giải pháp5.1. let AC1 = AB1 = x, BA1 = BC1 = y và CA1 = CB1 = z. Sau đó a = y + z, b = z + x và c = x + y.Trừ bình đẳng thứ ba từ tổng số những người đầu tiên hai ta z = a + b−c. Do đó,2Nếu tam giác ABC được đưa ra, sau đó vị trí của điểm A1 và B1 duy nhất được xác định. Tương tự như vậy, vị trí của điểm C1 cũng duy nhất được xác định. Nó vẫn còn để thông báo các điểm tangency của hình tròn ghi với các cạnh của tam giác đáp ứng các mối quan hệ được chỉ ra trong các giả thuyết của vấn đề. Tia COa và lõi ngô bisectors góc bên ngoài tại đỉnh C, do đó, C nằm trên đường OaOb và ∠OaCB = ∠ObCA. Kể từ khi COc bisector góc ∠BCA, sau đó ∠BCOc = ∠ACOc. Thêm những đẳng chúng tôi nhận được: ∠OaCOc = ∠OcCOb, ví dụ, OcC là chiều cao của tam giác OaObOc. Tương tự như vậy, chúng ta chứng minh rằng OaA và ObB là đỉnh cao của tam giác này. Rõ ràng,∠BOC = 180◦ − ∠CBO − ∠BCO = 180◦ − ∠B − ∠C = 90◦ + ∠A 2 2 2và ∠BOaC = 180◦ − ∠BOC, bởi vì ∠OBOa = ∠OCOa = 90◦.5.4. Hãy AA1, BB1 và CC1 là bisectors của tam giác ABC và O là giao điểm của bisectors những. Giả sử rằng x > 1. Sau đó ∠P AB > ∠P AC, tức là điểm P nằm

Kết quả (Việt) 2:

Vấn đề cho nghiên cứu độc lập

5.136. Chứng minh rằng chiếu của đường kính của một đường tròn ngoại tiếp vuông góc với một mặt của hình tam giác để các dòng có chứa các bên thứ hai là bằng với bên thứ ba.

5,137. Chứng minh rằng diện tích của tam giác với đỉnh ở trung tâm của đường tròn bàng tiếp của tam giác ABC bằng 2pR.

5.138. Một tam giác cân với một cơ sở và phía bên b, và một tam giác cân

với cơ sở b và phía bên một được ghi trong một vòng tròn bán kính R. Chứng minh rằng nếu a = 6 b, sau đó ab = √5R2.

5.139. Các vòng tròn ghi của tam giác vuông ABC cắt tiếp xúc với cạnh huyền AB tại điểm P; để cho CH là một chiều cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng trung tâm của vòng tròn ghi của tam giác ACH nằm trên vuông góc giảm từ điểm P đến AC.

5.140. Các tròn nội tiếp tam giác ABC cắt tiếp xúc với bên CA và AB tại điểm B1 và C1, tương ứng, và một vòng tròn bàng tiếp xúc với đường mở rộng của bên tại điểm B2 và C2. Chứng minh rằng trung điểm của cạnh BC là cách đều đường B1C1 và B2C2.
5,141. Trong tam giác ABC, phân giác AD được rút ra. Hãy O, O1 và O2 là trung tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, ABD và ACD, tương ứng. Chứng minh rằng
OO1 = OO2.

5,142. Các tam giác xây dựng từ một) trung vị, b) chiều cao của tam giác ABC là tương tự như hình tam giác ABC. Tỷ lệ chiều dài của các cạnh của tam giác ABC là gì?

5,143. Thông qua tâm O của một tam giác đều ABC một đường vẽ. Nó cắt đường BC, CA, AB tại các điểm A1, B1 và C1, tương ứng. Chứng minh rằng một trong những số
1, 1 và 1 là bằng tổng của hai số khác.
OA1
OB1 OC1
5,144. Trong tam giác ABC cao BB1 và CC1 được rút ra. Chứng minh rằng nếu ∠A = 45◦, sau đó
B1C1 là một đường kính của vòng tròn chín điểm của tam giác ABC.
5,145. Các góc của tam giác ABC thỏa mãn ∠A quan sin2 + ∠B sin2 + sin2 ∠C = 1.
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp và đường tròn chín điểm của tam giác ABC cắt nhau tại một góc bên phải.

Giải pháp

5.1. Hãy AC1 = AB1 = x, BA1 = BC1 = y và CA1 = CB1 = z. Sau đó a = y + z, b = z + x và c = x + y.
Trừ sự bình đẳng thứ ba từ tổng của hai người đầu tiên chúng tôi có được z = a + b-c. Do đó,
2

nếu tam giác ABC cho trước, thì vị trí của điểm A1 và B1 được xác định duy nhất. Tương tự như vậy, vị trí của điểm C1 cũng được xác định duy nhất. Nó vẫn còn để nhận thấy rằng các điểm tiếp tuyến của đường tròn ghi các cạnh của tam giác thỏa mãn quan hệ chỉ ra trong giả thuyết của vấn đề.

Rays CoA và COB là đường trung của các góc ngoài tại đỉnh C, do đó, C nằm trên đường OaOb và ∠OaCB = ∠ObCA. Từ COC là phân giác của góc ∠BCA, nó sau đó ∠BCOc = ∠ACOc. Thêm những bất bình đẳng, chúng tôi nhận được: ∠OaCOc = ∠OcCOb, tức là, OCC là một chiều cao của tam giác OaObOc. Chúng tương tự như chứng minh rằng OAA và OBB là độ cao của tam giác này.

Rõ ràng,

∠BOC = 180◦ - ∠CBO - ∠BCO = 180◦ - ∠B - ∠C = 90◦ + ∠A

2 2 2
và ∠BOaC = 180◦ - ∠BOC, vì ∠OBOa = ∠OCOa = 90◦.

5.4. Hãy AA1, BB1 và CC1 là đường trung của tam giác ABC và O là giao điểm của các đường trung. Giả sử x> 1. Sau đó ∠P AB> AC ∠P, tức là, điểm P dối