235(- iy - i2 (- 6T - 2 6 "= (- lY(

235

(- iy - i2 (- 6T - 2 6 "= (- lY(6') n - 3 26'6"
= (-l Y (b') '' - 326
và kể từ n - 3 là ngay cả điều này là một vuông khi và chỉ khi (- 1)'26 là một hình vuông. Điều này chứng minh (3).
Nó vẫn còn để chứng minh công thức chiều trong trường hợp suy biến. Cho mục đích này, chúng tôi sẽ imbed V trong một không gian chiều hữu hạn W với một hình thức bậc hai mà có một dạng không thoái hóa liên quan đến bilinear và là một phần mở rộng của Q. Để làm điều này chúng tôi viết V = Vj_ EB U cho một số con U. Sau đó hạn chế B để U là không thoái hóa. Bây giờ đặt W = Vj_ EB U EB (V j_) *
nơi (V j_) * là không gian của các chức năng tuyến tính trên Vj_. Cho x = z + y + f nơi
z E Vy E U, và f E (V J_) * và xác định

(55) Q(x) = Q (z) + Q (y) + f (z).

Nó dễ dàng nhìn thấy rằng Q là một hình thức bậc hai ngày W có liên quan đến đối xứng bilinear mẫu B là không thoái hóa. Cho x---. x là bản đồ kinh điển của W vào C (W, Q). Nó sau từ tài sản phổ quát của C (V, Q) mà chúng tôi có một
phép đồng cấu c (V, Q) vào C (W, Q) như vậy rằng x---. x cho x E V. để cho
(giao diện,..., Liên Hiệp Quốc, Liên Hiệp Quốc + tôi '..., uq) là một cơ sở cho W sao cho (u tôi,..., Liên Hiệp Quốc) là một cơ sở cho V. Kể từ khi B là không thoái hóa, yếu tố uj, •••uj, ' ji < • < j 8, 1:: (: s:: (: q, là khác biệt và độc lập tuyến tính. Sau đó điều này cũng đúng với yếu tố giao diện người dùng, •••ui,., ii < • < tôi,, 1:: (: r:: (: n. từ phép đồng cấu C (V, Q) vào
C (W Q-) bản đồ u. •••u. vào U• •••U• yếu tố ii - •••u. ii < • < tôi,,
1 r:: (: n, là độc lập tuyến tính. Do đó mờ C (V, Q) = 2n. D

Kể từ khi bản đồ tôi: x---. x của V vào C (V, Q) là phải, chúng tôi có thể xác định V với con C (V, Q), tương ứng. Vì vậy từ nay trên chúng ta giả sử V c C (V, Q). Nếu U là một con V, sau đó subalgebra C (V, Q) được tạo ra bởi bạn có thể xác định với C (U, Q') nơi Q' là hạn chế của Q để U. Đây là rõ ràng từ phần cuối của giấy tờ chứng minh định lý 4,13. Vì, nếu (giao diện người dùng,..., um) là một cơ sở cho U trên F, sau đó các đối số cho thấy rằng các yếu tố 1, giao diện người dùng, •••u; r,
II < tôi 2 < • < tôi,, 1:: (: r:: (: m, là độc lập tuyến tính và điều này ngụ ý rằng phép đồng cấu kinh điển của C (U, Q') vào C (V, Q) là một monomorphism.
Nó là rõ ràng từ các định nghĩa nếu Q = 0, sau đó C (V, Q) là bên ngoài đại số E (V) được định nghĩa bởi V (p. 141). Kết quả (1) và (2) của định lý 4,13 cho các bằng chứng khác của tài sản của E (V) được bắt nguồn trong bài, trang 411-414.
Chúng tôi nhận xét cuối cùng chứng minh tuyên bố (3) trong định lý 4,13 sản lượng một kết quả mạnh mẽ hơn so với chúng tôi nêu trong định lý này. Chúng tôi nhà nước này như sau

HỆ LUỴ. Cho Q là một hình thức bậc hai ngày một n-chiều không gian vectơ V trên trường F đặc tính không hai như vậy mà các hình thức bilinear liên kết là

236 4. Cấu trúc cơ bản lý thuyết của nhẫn


Phòng Không thoái hóa. T hen C (V, Q) là một đại học giao thông prod tensor của quaternion algebras nếu n là số chẵn và là một đại học giao thông prod tensor của quaternion algebras và Trung tâm của nó nếu n là lẻ. M oreover, các trung tâm C là hai chiều của hình thức F (c) nơi
C2 = (-1) "2-" 61, 6 biệt thức một, và C là một lĩnh vực hoặc một tổng trực tiếp của hai bản sao của F theo như (- 1) "(26) là không hay là một hình vuông ở F.

Bằng chứng đầu tiên tuyên bố sau bởi ind uction trên chiều và bổ đề factorization (bổ đề 5). Để xác định Trung tâm trong trường hợp chiều lẻ, chúng tôi chọn cơ sở trực giao diện (giao diện người dùng, u2,..., u,,) trong trường hợp n = 2v + l. Sau đó u; giao diện người dùng = - uiui cho tôi = f j, mà ngụ ý rằng yếu tố c = u1 u2 • ••u,, commutes với eve;-y u;. Do đó, c là ở giữa và vì c ¢ F l và giữa hai chiều, giữa là F [c]. Chúng tôi có


(56)

= (-1) "TI Q(uJ l = (-l)'T"bl
1

nơi 6 là biệt thức được xác định bởi các cơ sở (u 1, u2,..., u,,). Sau đó F [cJ là một lĩnh vực hoặc một tổng trực tiếp của hai bản sao của F theo như (-1)'2-"6 không phải hoặc là một hình vuông. Kể từ khi n = 2v + 1, điều này giữ nếu và chỉ nếu (-1) "26 là không hay là một
quảng trường. D


Trong phần còn lại của t phần của mình, chúng tôi sẽ cung cấp cho một chỉ dẫn ngắn của một số ứng dụng của Clifford algebras để nghiên cứu các nhóm trực giao. Đối với điều này
mục đích, chúng ta cần phải giới thiệu thậm chí (hoặc thứ hai) Clifford đại số c + (V, Q)
Ông định nghĩa là subalgebra của C (V, Q) được tạo ra bởi tất cả các t prod ucts tia cực tím, u, v E V (có nghĩa là, bởi V 2). Chúng tôi nhớ lại rằng một u vector được gọi là phòng không đẳng hướng nếu Q(u) = f 0. Nếu u1 là phòng không đẳng hướng, sau đó


Do đó


mà cho thấy rằng + c = c + (V, Q) được tạo ra bởi các yếu tố U1U, U E v. Bây giờ chúng tôi có thể viết V = Fu 1 + (Fu 1) J_ và bạn = au 1 + v nơi 1u1 E F và v. Sau đó U 1U = aQ (u1) l + U 1V • nó sau đó c + tạo ra bởi t ông n -1 chiều động Vi = u 1 (Fu 1) J_. Chúng tôi có
(57)
và rf "striction - q (u1) Q để (Fui) J_ là một quadr

Kết quả (Việt) 1:

235

(- iy - i2 (- 6t - 2 6 "= (- ly (6 ') n - 3 26'6"
= (-ly (b')'' - 326
and since n - 3 that even this is one and only when square when... (- 1) '26 is one looks square This stock minh (3)
it is still to Chung Minh formula width in cases Suy variant cho purpose of this,we would gắn vào v in one is not gian width nhiệm hữu hạn w with a Configuration Protocol Bắc Hải, which has a type is not Thoại ciphertext related Bilinear and is a extension of q. To make this we write v = vj_ eb u cho some of the con u. then limit b for u is not Thoại ciphertext. now put w = vj_ eb u eb (v j_) *
where (v j_) * is not gian of the functions tuyến features in the vj_. cho x = zyf where
ZeV yeu, and fe (v j_) * and determined

(55) q (x) = q (z) q (y) f (z).

không có de dang nhin be found that q is one looks expressions Bắc Hải day w are related to against Xung Bilinear template b is not Thoại ciphertext. cho x ---. x is the Map kinh dictionary of w into c (w, q).it is following words assets popular Quất of c (v, q), which we have a
allowed đồng configure c (v, q) on c (w, q) such that x ---. x cho xe v to cho
(interfaces, ..., Liên Hiệp Quốc, Liên Hiệp Quốc me '..., UQ) is one the database cho w sao cho (u me, ..., Liên Hiệp Quốc ) is one the database cho v since when b is not Thoại ciphertext, element uj, • • • uj, 'ji <• that differ and read set tuyến computer. then this are wrong with the element interfaces user name, • • • ui,, ii <• c (w q-) Map u • • • u on u • • • • u • element ii - • • • u ii <• 1 r :: (:... n, . is the ĐỘC set tuyến compute làm then query c (v, q) = 2n d

since when Map me:.. x --- x of v on c (v,q) is not a, we can be with the specified v con c (v, q), match. because of words váy Nay above we assume VCC (v, q). if u be a con v, then subalgebra c (v, q) been made by you may specified with c (u, q ') where q' is the limit of q to u. This is a ambiguous words the end of paper tờ Chung Minh the reasons 4,13. because of, if (interfaces user name, ...,um) is one the database cho u on f, then arguments cho see that the element 1, interfaces user name, • • • u; r,
ii it is ambiguous words. the definition if q = 0, then c (v,q) is the outside Đại the number of e (v) defined bởi v (trang 141). the result (1) and (2) of the reasons for using 4,13 stock others of assets of e (v) is derived in token, trang 411-414.
we nhận XET final Chung Minh declared (3) in the reasons 4,13 Serial amount of one the result powerful tôi over against we the said in the reason of this.we PN nuoc of this as follows

ông Lũy. cho q is one looks expressions Bắc Hải day one n-width is not gian vectơ v above the field f Property has such hai, which the Configuration Protocol Bilinear the link is the

236 4. geometry base reason theory of nhan


room is not Thoại ciphertext. hen t c (v,q) is one Đại Học giao message sản tensor đại số quaternion of If n that even and is a Đại Học giao message sản tensor đại số quaternion and the trung tâm Bạn of it if n is a single. m oreover, the trung tâm Bạn c that hai width of Configuration Protocol f (c) where
c2 = (-1) "2 -" 61, 6 special one expressions,c and be a Lĩnh Vực or a total of direct hai copy of f as such as. (- 1) "(26) is not hay is one looks at the square f

with stock the first declared following bởi ind uction above width and extra problem thừa (plug-in problem 5). Leave the specified trung tâm Bạn in cases Chieu Le, we choose the database direct interfaces (interfaces user name, u2, ..., u,,) In cases n = 2v l. then u; interfaces user name = - uiui cho me = fj which indicated that element c = u1 u2 • • • u,, tiện di chuyển đêm trước with the;-yu;. làm which, that in the middle c and because of c ¢ fl and between Chiểu, middle is the f [c]. we have a


(56)

= (-1) "ti q (uj l = (-l) 't" b
1

where is the special 6 expressions is defined by the database (u 1 , u2, ..., u,,).then f [cj is one Lĩnh Vực or a total of direct hai bản copy of the f as such as (-1) '2 -. "6 not a or is one looks square since when n = 2v 1, this stored if and only if (-1) "26 is not hay be a
Quang Trưởng. d


in the rest of t part of Minh,we would offer for one instructions Short of some of the application of Clifford đại số to Nghiên rescue groups direct giao. For the this
purpose, Chung ta need to Introduction even (or second) Clifford Đại the number of c (v, q)
ong the means of subalgebra c (v, q) been made by all t sản phẩm tia Cực tím, u, vev (that is,bởi v 2). we remember it again that one u vector called is the room is not the direction if q (u) = f 0. if u1 is the room is not the direction, then


làm it


but for any that c = c (v, q) been made by the element u1u, v ue now we may be write v = fu 1 (fu 1) j_ and you = au 1 v where 1u1 ef and vthen u 1u = aq (u1) lu 1V • that then c made by t ong n -1 width dynamic vi = u 1 (fu 1) j_. we have the
(57)
and rf "striction - q (u1) q to (Fui) j_ is one quadr

Kết quả (Việt) 2:

235

(- iy - i2 (- 6T - 2 6 "= (- lY(6') n - 3 26'6"
= (-l Y (b') '' - 326
và kể từ n - 3 là ngay đoàn ban này là một vuông khi và chỉ khi (- 1)'26 là một chuyển vuông. Điều này chứng minh (3).
Nó vẫn còn tiếng chứng minh công ngữ chiều trong trường hợp suy biến. Cho mục đích này, chúng tôi sẽ imbed V trong một không gian chiều hữu hạn W với một chuyển ngữ bậc hai mà có một dạng không thoái hóa liên quan đến bilinear và là một phần mở rộng của Q. để làm Ban này chúng tôi Matrix V = Vj_ EB U cho một số con U. Sau đó hạn chế B tiếng U là không thoái hóa. Bây giờ đặt W = Vj_ EB U EB (V j_) *
nơi (V j_) * là không gian của các chức năng tuyến tính trên Vj_. Cho x = z y f nơi
z E Vy E U, và f E (V J_) * và xác định

(55) Q(x) = Q (z) Q (y) f (z).

Nó dễ dàng nhìn thấy rằng Q là một chuyển ngữ bậc hai ngày W có liên quan đến đối xứng bilinear vị B là không thoái hóa. Cho x---. x là bản đồ kinh điển của W vào C (W, Q). Nó sau từ tài ở phổ quát của C (V, Q) mà chúng tôi có một
phép đồng cấu c (V, Q) vào C (W, Q) như vậy rằng x---. x cho x E V. tiếng cho
(giao diện,..., Liên Hiệp Quốc, Liên Hiệp Quốc tôi '..., uq) là một cơ sở cho W sao cho (u tôi,..., Liên Hiệp Quốc) là một cơ sở cho V. Kể từ khi B là không thoái hóa, yếu tố uj, •••uj, ' ji < • < j 8, 1:: (: s:: (: q, là ông biệt và độc lập tuyến tính. Sau đó ban này cũng đúng với yếu tố giao diện người dùng, •••ui,., ii < • < tôi,, 1:: (: r:: (: n. từ phép đồng cấu C (V, Q) vào
C (W Q-) bản đồ u. •••u. vào U• •••U• yếu tố ii - •••u. ii < • < tôi,,
1 r:: (: n, là độc lập tuyến tính. Làm đó mờ C (V, Q) = 2n. D

Kể từ khi bản đồ tôi: x---. x của V vào C (V, Q) là phải, chúng tôi có Bulgaria xác định V với con C (V, Q), tương ứng. Vì vậy từ nay trên chúng ta giả sử V c C (V, Q). Nếu U là một con V, sau đó subalgebra C (V, Q) được chức ra bởi bạn có Bulgaria xác định với C (U, Q') nơi Q' là hạn chế của Q tiếng U. Đây là rõ ràng từ phần cuối của tập tờ chứng minh định lý 4,13. Vì, nếu (giao diện người dùng,..., UM) là một cơ sở cho U trên F, sau đó các đối số cho thấy rằng các yếu tố 1, giao diện người dùng, •••u; r,
II < tôi 2 < • < tôi,, 1:: (: r:: (: m, là độc lập tuyến tính và ban này ngụ ý rằng phép đồng cấu kinh điển của C (U, Q') vào C (V, Q) là một monomorphism.
Nó là rõ ràng từ các định nghĩa nếu Q = 0, sau đó C (V, Q) là bên ngoài đại số E (V) được định nghĩa bởi V (p. 141). Kết tên (1) và (2) của định lý 4,13 cho các bằng chứng ông của tài ở của E (V) được bắt nguồn trong hai, trang 411-414.
Chúng tôi nhận xét cuối cùng chứng minh tuyên cách (3) trong định lý 4,13 ở lượng một kết tên mạnh mẽ hơn vì vậy với chúng tôi nêu trong định lý này. Chúng tôi nhà nước này như sau

HỆ LUỴ. Cho Q là một chuyển ngữ bậc hai ngày một n-chiều không gian vectơ V trên trường F đặc tính không hai như vậy mà các chuyển ngữ bilinear liên kết là

236 4. Cấu trúc cơ bản lý thuyết của nhẫn


Phòng Không thoái hóa. T hen C (V, Q) là một đại học giao thông prod tensor của quaternion algebras nếu n là số chẵn và là một đại học giao thông prod tensor của quaternion algebras và Trung tâm của nó nếu n là lẻ. M oreover, các trung tâm C là hai chiều của chuyển ngữ F (c) nơi
C2 = (-1) "2-" 61, 6 biệt ngữ một, và C là một lĩnh vực hoặc một tổng rục truyện của hai bản sao của F theo như (- 1) "(26) là không hay là một chuyển vuông ở F.

Bằng chứng đầu tiên tuyên cách sau bởi ind uction trên chiều và bổ đề factorization (bổ đề 5). Để xác định Trung tâm trong trường hợp chiều lẻ, chúng tôi chọn cơ sở rục giao diện (giao diện người dùng, u2,..., u,,) trong trường hợp n = 2v l. Sau đó u; giao diện người dùng = - uiui cho tôi = f j, mà ngụ ý rằng yếu tố c = u1 u2 • ••u,, commutes với eve;-y u;. Do đó, c là ở giữa và vì c ¢ F l và giữa hai chiều, giữa là F [c]. Chúng tôi có


(56)

= (-1) "TI Q(uJ l = (-l)'T" bl
1

nơi 6 là biệt ngữ được xác định bởi các cơ sở (u 1, u2,..., u,,). Sau đó F [cJ là một lĩnh vực hoặc một tổng rục truyện của hai bản sao của F theo như (-1)'2-"6 không phải hoặc là một chuyển vuông. Kể từ khi n = 2v 1, Ban này giữ nếu và chỉ nếu (-1) "26 là không hay là một
quảng trường. D


Trong phần còn lại của t phần của mình, chúng tôi sẽ cung cấp cho một chỉ dẫn ngắn của một số ứng Scholars của Clifford algebras tiếng nghiên cứu các nhóm rục giao. Đối với ban này
mục đích, chúng ta cần phải giới thiệu thậm chí (hoặc thứ hai) Clifford đại số c (V, Q)
còn định nghĩa là subalgebra của C (V, Q) được chức ra bởi tất đoàn các t prod ucts tia cực PTTH, u, v E V (có nghĩa là, bởi V 2). Chúng tôi nhớ lại rằng một u vector được gọi là phòng không đẳng hướng nếu Q(u) = f 0. Nếu u1 là phòng không đẳng hướng, sau đó


làm đó


mà cho thấy rằng c = c (V, Q) được chức ra bởi các yếu tố U1U, U E v. Bây giờ chúng tôi có Bulgaria Matrix V = Fu 1 (Fu 1) J_ và bạn = au 1 v nơi 1u1 E F và v. Sau đó U 1U = aQ (u1) l U 1V • nó sau đó c chức ra bởi t còn n -1 chiều động Vi = u 1 (Fu 1) J_. Chúng tôi có
(57)
và rf "striction - q (u1) Q tiếng (Fui) J_ là một quadr