the transition map between the char

the transition map between the charts. We will show that such a change of
coordinates is just a reparametrization.
Let Ω ⊂ Rk be open and let f: Ω → Rn be a smooth map with f(Ω) ⊂ S.
Let σ: U → Rn be a chart on S, then the map σ−1 ◦ f, which is defined on
f −1(σ(U)) = {x ∈ Ω | f(x) ∈ σ(U)} ⊂ Rk,
is called the coordinate expression for f with respect to σ.
Lemma 1.8. The set f −1(σ(U)) is open and the coordinate expression is
smooth from this set into U.
Proof. Since f is continuous into S, and σ(U) is open by Corollary 1.7, it
follows that the inverse image f −1(σ(U)) is open. Furthermore, if an element
x0 in this set is given, we let p0 = f(x0) and choose V , W and ϕ: W → V
as in Theorem 1.7. It follows that σ−1 ◦ f = ϕ ◦ f in a neighborhood of x0.
The latter map is smooth, being composed by smooth maps. 
Theorem 1.8. Let S be a manifold in Rn, and let σ1: U1 → Rn and σ2: U2 →
Rn be charts on S. Let
Vi = σi −1(σ1(U1) ∩ σ2(U2)) ⊂ Ui
for i = 1, 2. These are open sets and the transition map
σ
−1
2 ◦ σ1: V1 → V2 ⊂ Rm
is a diffeomorphism.
U1
⊂ Rm
V1
U2
⊂ Rm
V2
σ1 σ2
σ−1
2 ◦ σ1
S ⊂ Rn
σ1(U)
σ2(U)
Proof. Immediate from Lemma 1.8. 

Kết quả (Việt) 1:

bản đồ quá trình chuyển đổi giữa các bảng xếp hạng. Chúng tôi sẽ cho thấy rằng một sự thay đổi củaTọa độ là chỉ là một reparametrization.Để cho Ω ⊂ Rk được mở và cho phép f: Ω → Rn là bản đồ mịn với f(Ω) ⊂ S.Hãy để σ: U → Rn là một biểu đồ trên S, sau đó bản đồ σ−1 ◦ f, được xác định trênf −1(σ(U)) = {x ∈ Ω | f (x) ∈ σ(U)} ⊂ Rk,được gọi là biểu thức tọa độ cho f đối với σ.Bổ đề 1,8. F Đặt −1(σ(U)) là mở và biểu thức tọa độ làtrơn từ đây đặt vào U.Bằng chứng. Kể từ khi f là liên tục vào S, và σ(U) được mở bởi hệ luỵ 1.7, nósau rằng nghịch đảo hình ảnh f −1(σ(U)) là mở. Hơn nữa, nếu một phần tửx 0 trong thiết lập này được đưa ra, chúng tôi cho p0 = f(x0) và chọn V, W và ϕ: W → Vnhư trong định lý 1.7. Nó sau đó σ−1 ◦ f = ϕ ◦ f trong một khu phố của x 0.Bản đồ sau được mịn màng, được sáng tác bởi mịn bản đồ. Định lý 1,8. Giả sử S là một đa tạp trong Rn, và σ1 cho: U1 → Rn và σ2: U2 →Rn là bảng xếp hạng trên S. LetVi = σi −1(σ1(U1) ∩ σ2(U2)) ⊂ giao diện người dùngcho tôi = 1, 2. Đây là tập mở và chuyển tiếp bản đồΣ−12 ◦ σ1: V1 → V2 ⊂ Rmlà một diffeomorphism.U1⊂ RmV1U2⊂ RmV2Σ1 Σ2Σ−12 ◦ Σ1S ⊂ RnΣ1(U)Σ2(U)Bằng chứng. Ngay lập tức từ bổ đề 1,8. 

Kết quả (Việt) 2:

bản đồ quá trình chuyển đổi giữa các bảng xếp hạng. Chúng tôi sẽ cho thấy một sự thay đổi của
tọa độ chỉ là một reparametrization.
Hãy Ω ⊂ Rk được mở và để cho f: Ω → là một bản đồ trơn Rn với f (Ω) ⊂ S.
Hãy σ: U → Rn là một biểu đồ trên S , sau đó các ◦ f đồ σ-1, được xác định trên
f -1 (σ (U)) = {x ∈ Ω | f (x) ∈ σ (U)} ⊂ Rk,
được gọi là biểu thức phối hợp cho f đối với σ. với
Bổ đề 1.8. Các thiết lập f -1 (σ (U)) mở cửa và sự biểu hiện phối hợp là
mịn từ bộ này sang U.
Proof. Vì f là liên tục vào S, và σ (U) được mở bởi luỵ 1.7, nó
sau đó các hình ảnh f nghịch -1 (σ (U)) đang mở. Hơn nữa, nếu một phần tử
x0 trong bộ này được đưa ra, chúng ta để cho p0 = f (x0) và chọn V, W và φ: W → V
như trong định lý 1.7. Nó sau đó σ-1 ◦ f = φ ◦ f trong một khu phố của x0.
Các bản đồ thứ hai được mịn, được sáng tác bởi các bản đồ trơn tru. ?
Định lý 1.8. S là một đa tạp trong Rn, và để σ1: U1 → Rn và σ2: U2 →
Rn là bảng xếp hạng trên S. Hãy
Vi = σi -1 (σ1 (U1) ∩ σ2 (U2)) ⊂ Ui
cho i = 1, 2. Đây là bộ mở và bản đồ chuyển
σ
-1
2 ◦ σ1: V1 V2 → ⊂
Rm. là một diffeomorphism
U1
⊂ Rm
V1
U2
⊂ Rm
V2
σ1 σ2
σ-1
2 ◦ σ1
S ⊂ Rn
σ1 (U)
σ2 (U)
Proof. Ngay lập tức từ Bổ đề 1.8. ?