1 Historical introductionThe fundam

1 Historical introduction
The fundamental idea of the finite element method is the replacement of continuous
functions by piecewise appproximations, usually polynomials.
Although the finite element method itself is relatively new, its development
and success expanding with the arrival and rapid growth of the digital computer,
the idea of piecewise approximation is far from new. Indeed, the early geometers
used ‘finite elements’ to determine an approximate value of π. They did this
by bounding a quadrant of a circle with inscribed and circumscribed polygons,
the straight-line segments being the finite element approximations to an arc of
the circle. In this way, they were able to obtain extremely accurate estimates.
Upper and lower bounds were obtained, and by taking an increasing number of
elements, monotonic convergence to the exact solution would be expected. These
phenomena are also possible in modern applications of the finite element method.
One remark regarding ancient finite elements: Archimedes used these ideas to
determine areas of plane figures and volumes of solids, although of course he did
not have a precise concept of a limiting procedure. Indeed, it was only this fact
which prevented him from discovering the integral calculus some two thousand
years before Newton and Leibniz. The interesting point here is that whilst many
problems of applied mathematics are posed in terms of differential equations,
the finite element solution of such equations uses ideas which are in fact much
older than those used to set up the equations initially.
The modern use of finite elements really started in the field of structural
engineering. Probably the first attempts were by Hrennikoff (1941) and McHenry
(1943), who developed analogies between actual discrete elements, for example
bars and beams, and the corresponding portions of a continuous solid. These
methods belonged to a class of semi-analytic techniques which were used in the
1940s for aircraft structural design. Matrix methods for the solution of such
problems were developed at this time, and it is interesting to note that the
work of Argyris (1955), in an engineering context, introduced a minimization
process which is also the basis of the mathematical underpinning of the finite
element method. With the development of high-speed, jet-powered aircraft,
these semi-analytic methods were soon found to be inadequate and the quest
began for a more reliable approach. A direct approach, based on the principle
of virtual work, was given by Argyris (1955), and in a series of papers he
and his colleagues developed this work to solve very complex problems using
computational techniques (Argyris and Kelsey 1960). At about the same time,
2 The Finite Element Method
Turner et al. (1956) presented the element stiffness matrix, based on displacement
assumptions, for a triangular element, together with the direct stiffness method
for assembling the elements. The term ‘finite element’ was introduced by Clough
(1960) in a paper describing applications in plane elasticity.
The engineers had put the finite element method on the map as a practical
technique for solving their elasticity problems, and although a rigorous mathematical
basis had not been developed, the next few years saw an expansion
of the method to solve a large variety of structural problems. Solutions of
three-dimensional problems required only simple extensions to the basic twodimensional
theory (Argyris 1964). The obvious problem to consider after plane
problems was that of plate bending; here, researchers found their first real
difficulties and the early attempts were not altogether successful. It was not
until some time later that the problems of compatibility were resolved (Bazely
et al. 1965).
One area of application of plate elements was that of modelling thin shells,
and some success was achieved (Clough and Johnson 1968). However, the representation
of a thin shell by a polyhedral surface of flat plates can cause serious
problems in the presence of pronounced bending, and it soon became clear that
shell elements themselves were necessary.
Plate elements presented difficulties to researchers, but these were small
compared with the problems associated with shell elements. The first actual shell
elements developed were axisymmetric elements (Grafton and Strome 1963), and
these were followed by a whole sequence of cylindrical and other shell elements
(Gallagher 1969). Such elements are still being developed, and it is probably fair
to say that this is the only area of linear analysis that still has potential for
further work in the context of finite elements.
The workers in the early 1960s soon turned their attention towards the
solution of non-linear problems. Turner et al. (1960) showed how to use an
incremental technique to solve geometrically non-linear problems, i.e. problems in
which the strains remain small but displacements are large. Stability analysis also
comes into this category and was discussed by Martin (1965). Plasticity problems,
involving non-linear material behaviour, were modelled at this time (Gallagher
et al. 1962) and the method was also applied to the solution of problems in
viscoelasticity (Zienkiewicz et al. 1968).
Besides the static analysis described above, dynamic problems were also
being tackled, and Archer (1963) introduced the concept of the consistent mass
matrix. Both vibration problems (Zienkiewicz et al. 1966) and transient problems
(Koenig and Davids 1969) were considered. Thus the period from its conception
in the early 1950s to the late 1960s saw the method being applied extensively by
the engineering community. With the successes of these practical applications in
the structural field, it was open for engineers in other disciplines (Silvester and
Historical introduction 3
Ferrari 1983) to get hold of the finite element method. An obvious candidate was
fluid mechanics.
Potential flow (Doctors 1970) and Stokes flow were easy to develop
(Atkinson et al. 1970), and it wasn’t long before the appearance of a textbook on
the finite element method in viscous flow problems (Connor and Brebbia 1976).
However, the more general form of the Navier–Stokes equations was much more
difficult, the convection terms yield non-self-adjoint operators and, consequently,
there are no obvious variational principles. The method was extended further
when it was seen to fit in with the method of weighted residuals (Szab´o and
Lee 1969). This then allowed the solution of such problems posed as partial
differential equation boundary-value problems. The method had been well known
for some time; Crandall (1956) had used the term to classify a variety of
numerical approximation techniques, although Galerkin (1915) was the first to
use the method. Probably the first finite element solution of the Navier–Stokes
equations was given by Taylor and Hood (1973). However, problems that had
been encountered using finite differences (Spalding 1972) were apparent in the
finite element approach, and the so-called up-wind approach was brought into
a finite element context (Zienkiewicz, Heinrich et al. 1977). Also, the so-called
finite-volume approach was developed (Jameson and Mavriplis 1986), which has
the important physical property that certain conservation laws are maintained.
The scene was now set for rapid developments in fluid mechanics and other areas
such as heat and mass transfer (Mohr 1992), for diffusion–convection problems,
and for other coupled problems (Elliott and Larsson 1995).
As far as this historical introduction is concerned, this is where we shall
leave the contributions from the engineering community. There are excellent
accounts of applications from the mid 1970s onwards in the texts by Zienkiewicz
and Taylor (2000a,b). Let us return to the early days of the developments: at
the same time as the engineers were pushing forward with the practical aspects
of the method, similar work was being carried out by applied mathematicians,
each group apparently unaware of the work of the other. Courant (1943) gave
a solution to the torsion problem, using piecewise linear approximations over
a triangular mesh, formulating the problem from the principle of minimum
potential energy. Zienkiewicz (1995) noted that Courant had already developed
some of the ideas in the 1920s without taking them further. Similar papers
followed by Polya (1952) and Weinberger (1956). Greenstadt (1959) presented
the idea of considering a continuous region as an assembly of several discrete
parts and making assumptions about the variables in each region, variational
principles being used to find values for these variables. We note here also that
the work of Schoenberg (1946) was very much in the spirit of finite elements, since
the piecewise polynomial approximation led to the development of the theory of
splines.
4 The Finite Element Method
Similar work was being carried out in the physics community. In the late
1940s, Prager and Synge (1947) developed a geometric approach to a variational
principle in elasticity which led to the so-called hypercircle method, which is also
in the spirit of the finite element method. The method is discussed in detail in
the book by Synge (1957). A three-dimensional problem in electrostatics was
solved, using linear tetrahedral elements, by McMahon (1953).
It was some time before Birkhoff et al. (1968) and Zlamal (1968) published
a convergence proof and error bounds in the applied mathematics literature.
However, the first convergence proof in the engineering literature had already
been given by Melosh (1963), who used the principle of minimum potential
energy, and this work was extended by Jones (1964) using Reissner’s variational
principle. Once it was realized that the method could be interpreted in terms of
variational methods, the mathematicians and engineers were brought together
and many extensions of the method to new areas soon followed. In particular,
it was realized that th

Kết quả (Việt) 1:

1 giới thiệu lịch sửÝ tưởng cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn là thay thế liên tụcchức năng của đường appproximations, thường đa thức.Mặc dù phương pháp phần tử hữu hạn chính nó là tương đối mới, phát triển của nóvà thành công mở rộng với xuất hiện và phát triển nhanh chóng của máy tính kỹ thuật số,mục đích của đường xấp xỉ là xa từ mới. Thật vậy, các geometers đầusử dụng 'yếu tố hữu hạn' để xác định một giá trị xấp xỉ số π. Họ đã làm điều nàybởi các giáp ranh một phần tư của một vòng tròn với ghi và đường đa giác,Các phân đoạn may thẳng là xấp xỉ phần tử hữu hạn để một cung củavòng tròn. Bằng cách này, họ đã có thể để có được cực kỳ chính xác ước tính.Giới hạn trên và dưới được lấy, và bằng cách tham gia một số lượng ngày càng tăng củayếu tố, monotonic hội tụ để các giải pháp chính xác sẽ được mong đợi. Đâyhiện tượng là cũng có thể có trong các ứng dụng hiện đại của phương pháp phần tử hữu hạn.Một nhận xét liên quan đến yếu tố hữu hạn cổ đại: Archimedes sử dụng những ý tưởng đểxác định các khu vực của con số máy bay và khối lượng chất rắn, mặc dù tất nhiên ông đã làmkhông có một khái niệm chính xác của một thủ tục hạn chế. Thật vậy, nó đã là chỉ là điều này thực tếmà ngăn cản anh ta từ khám phá tích một số 2.000năm trước khi Newton và Leibniz. Điểm thú vị ở đây là trong khi nhiềuCác vấn đề của toán học ứng dụng được đặt ra trong điều khoản của phương trình vi phân,sử dụng các giải pháp phần tử hữu hạn của các phương trình ý tưởng đó là trong thực tế, nhiềulớn tuổi hơn những người sử dụng để thiết lập các phương trình ban đầu.Việc sử dụng hiện đại của hữu hạn các yếu tố thực sự bắt đầu trong lĩnh vực kết cấukỹ thuật. Có lẽ những nỗ lực đầu tiên bởi Hrennikoff (1941) và McHenry(1943), những người phát triển suy giữa các yếu tố thực sự rời rạc, ví dụquán bar và dầm và các phần tương ứng của một rắn liên tục. Đâyphương pháp thuộc về một lớp kỹ thuật phân tích bán được sử dụng trong cácthập niên 1940 cho thiết kế cấu trúc máy bay. Ma trận phương pháp cho các giải pháp như vậyvấn đề được phát triển tại thời điểm này, và nó là thú vị để lưu ý rằng cáccông việc của Argyris (1955), trong một bối cảnh kỹ thuật, giới thiệu một giảm thiểuquá trình đó cũng là cơ sở của xuyên toán học hữu hạnphương pháp phần tử. Với sự phát triển của tốc độ cao, cung cấp máy bay phản lực máy bay,Các phương pháp phân tích bán sớm được tìm thấy là không đầy đủ và các nhiệm vụbắt đầu cho một cách tiếp cận đáng tin cậy hơn. Một cách tiếp cận trực tiếp, dựa trên nguyên tắclàm việc ảo, đã được đưa ra bởi Argyris (1955), và trong một loạt các giấy tờ ôngvà đồng nghiệp của ông phát triển này làm việc để giải quyết vấn đề rất phức tạp bằng cách sử dụngtính toán kỹ thuật (Argyris và Kelsey 1960). Tại về cùng một lúc,2 phương pháp phần tử hữu hạnTurner et al. (1956) trình bày các yếu tố cứng ma trận, dựa trên trọng lượng rẽ nướcgiả định, cho một yếu tố hình tam giác, cùng với các phương pháp trực tiếp cứngđể lắp ráp các yếu tố. Thuật ngữ 'phần tử hữu hạn' đã được giới thiệu bởi Clough(1960) trong một bài báo mô tả các ứng dụng trong máy bay tính đàn hồi.Các kỹ sư đã đưa phương pháp phần tử hữu hạn trên bản đồ như là một thực tếcác kỹ thuật để giải quyết vấn đề tính đàn hồi của họ, và mặc dù một nghiêm ngặt toán họccơ sở không được phát triển, vài năm tiếp theo đã chứng kiến một sự mở rộngcủa các phương pháp để giải quyết một loạt lớn các vấn đề cơ cấu. Giải pháp củavấn đề ba chiều yêu cầu chỉ đơn giản Tiện ích mở rộng để twodimensional cơ bảnlý thuyết (Argyris năm 1964). Vấn đề rõ ràng để xem xét sau khi máy bayvấn đề là của tấm uốn; ở đây, các nhà nghiên cứu tìm thấy của bất đầu tiênnhững khó khăn và những nỗ lực ban đầu đã không hoàn toàn thành công. Nó đã khôngcho đến khi một số thời gian sau đó các vấn đề về khả năng tương thích được giải quyết (Bazelyet al. 1965).Một khu vực của các ứng dụng của phần tử mảng là của mô hình vỏ mỏng,và một số thành công đã đạt được (Clough và Johnson 1968). Tuy nhiên, các đại diệnvỏ mỏng bởi một bề mặt polyhedral của tấm phẳng có thể gây ra nghiêm trọngCác vấn đề trong presence của phát âm uốn, và nó sớm trở nên rõ ràng rằngyếu tố vỏ mình là cần thiết.Tấm yếu tố trình bày những khó khăn để các nhà nghiên cứu, nhưng đây là nhỏso với các vấn đề liên quan đến yếu tố vỏ. Thực tế vỏ đầu tiênphát triển các yếu tố là yếu tố axisymmetric (Grafton và Strome năm 1963), vàchúng được tiếp nối bởi một chuỗi toàn bộ các vỏ hình trụ và các yếu tố(Gallagher 1969). Các yếu tố vẫn còn đang được phát triển, và nó là có lẽ công bằngđể nói rằng đây là khu vực chỉ của tuyến tính phân tích đó vẫn còn có tiềm năng chocông việc trong bối cảnh của các yếu tố hữu hạn.Người lao động trong đầu những năm 1960 sớm chuyển sự chú ý của họ đối với cácgiải pháp của vấn đề phi tuyến tính. Turner et al. (1960) cho thấy làm thế nào để sử dụng mộtcác kỹ thuật gia tăng để giải quyết vấn đề geometrically phi tuyến tính, tức là vấn đề trongcác chủng vẫn còn nhỏ nhưng displacements là lớn. Phân tích sự ổn định cũngđi vào thể loại này và đã được thảo luận bởi Martin (1965). Vấn đề dẻo,liên quan đến hành vi phi tuyến tính của vật liệu, đã được mô hình vào lúc này (Gallagheret al. 1962) và phương pháp cũng được áp dụng cho các giải pháp của vấn đềviscoelasticity (Zienkiewicz et al. 1968).Bên cạnh việc phân tích tĩnh mô tả ở trên, năng động vấn đề cũngđược giải quyết, và Archer (1963) giới thiệu khái niệm khối lượng phù hợpma trận. Cả hai vấn đề rung (Zienkiewicz et al. 1966) và thoáng qua vấn đề(Koenig và Davids 1969) được coi là. Do đó thời gian từ quan niệm của mìnhđầu những năm 1950 đến cuối thập niên 1960 chứng kiến các phương pháp đang được áp dụng rộng rãi bởicộng đồng kỹ thuật. Với những thành công của các ứng dụng thực tế tronglĩnh vực kết cấu, nó đã được mở cho các kỹ sư trong lĩnh vực khác (Silvester vàGiới thiệu lịch sử 3Ferrari 1983) để có được giữ của các phương pháp phần tử hữu hạn. Một ứng cử viên rõ ràng làcơ học chất lỏng.Tiềm năng lưu lượng (bác sĩ năm 1970) và Stokes dòng chảy đã được dễ dàng để phát triển(Atkinson et al. 1970), và nó đã không lâu trước khi sự xuất hiện của một cuốn sách trênphương pháp phần tử hữu hạn trong vấn đề dòng chảy nhớt (Connor và Brebbia 1976).Tuy nhiên, dạng phương trình Navier-Stokes, tổng quát hơn là nhiều hơn nữakhó khăn, các điều khoản đối lưu năng suất phòng không-tự-lĩnh nhà khai thác và, do đó,không có không có nguyên tắc variational rõ ràng. Các phương pháp đã được mở rộng hơn nữakhi nó được nhìn thấy để phù hợp với phương pháp trọng dư (Szab´o vàLee 1969). Điều này sau đó cho phép các giải pháp của các vấn đề đặt ra như một phầnphương trình vi phân ranh giới-giá trị vấn đề. Các phương pháp đã được nổi tiếngmột thời gian; Crandall (1956) đã sử dụng thuật ngữ để phân loại một sốkỹ thuật số xấp xỉ, mặc dù Galerkin (1915) là người đầu tiênsử dụng các phương pháp. Có lẽ phần tử hữu hạn giải pháp đầu tiên của Navier-Stokesphương trình được đưa ra bởi Taylor và Hood (1973). Tuy nhiên, vấn đề mà đã cógặp bằng cách sử dụng khác biệt hữu hạn (Spalding 1972) là rõ ràng trong cácphương pháp phần tử hữu hạn, và cái gọi là phương pháp mặc-gió đã được đưa vàomột bối cảnh phần tử hữu hạn (Zienkiewicz, Heinrich et al. 1977). Ngoài ra, những cái gọi làcách tiếp cận khối lượng hữu hạn là phát triển (Jameson và Mavriplis năm 1986), trong đó cóCác tài sản vật chất quan trọng rằng một số luật bảo tồn được duy trì.Trong bối cảnh đó bây giờ đã được thiết lập cho sự phát triển nhanh chóng trong cơ học chất lỏng và các khu vực khácchẳng hạn như nhiệt và chuyển khối lượng (Mohr 1992), về những vấn đề phổ biến-đối lưu,và cho khác cùng vấn đề (Elliott và Larsson 1995).Xa như giới thiệu lịch sử này là có liên quan, đây là nơi chúng tôi sẽđể lại những đóng góp từ cộng đồng kỹ thuật. Đó là tuyệt vờitài khoản của các ứng dụng từ giữa những năm 1970 trở đi trong văn bản của Zienkiewiczvà Taylor (2000a, b). Chúng ta hãy trở về những ngày đầu của những phát triển mới: tạiđồng thời các kỹ sư đã đẩy về phía trước với các khía cạnh thực tếcủa phương pháp, tương tự như công việc đã được thực hiện bởi nhà toán học ứng dụng,mỗi nhóm dường như không biết công việc của người kia. Courant (1943) đã chomột giải pháp cho vấn đề xoắn, bằng cách sử dụng piecewise tuyến tính xấp xỉ hơnmột lưới hình tam giác, xây dựng vấn đề từ nguyên tắc tối thiểutiềm năng năng lượng. Zienkiewicz (1995) lưu ý rằng Courant đã đã phát triểndự tất cả hay một số ý tưởng trong thập niên 1920 mà không cần dùng chúng hơn nữa. Tương tự như giấy tờtheo sau Polya (1952) và Weinberger (1956). Greenstadt (1959) trình bàyý tưởng của xem xét một vùng liên tục như là một hội đồng của một số rời rạcbộ phận và làm cho các giả định về các biến trong mỗi vùng, variationalnguyên tắc được sử dụng để tìm giá trị cho các biến này. Chúng tôi cũng lưu ý ở đây màcông việc của Schoenberg (1946) là rất nhiều tinh thần yếu tố hữu hạn, kể từ khiCác đường đa thức xấp xỉ đã dẫn đến sự phát triển của lý thuyếtsplines.4 phương pháp phần tử hữu hạnTương tự như công việc đã được thực hiện trong cộng đồng vật lý. Ở cuốithập niên 1940, Prager và Synge (1947) đã phát triển một phương pháp hình học để một variationalnguyên tắc trong độ đàn hồi dẫn đến phương pháp gọi là hypercircle, cũng làtheo tinh thần của các phương pháp phần tử hữu hạn. Các phương pháp được thảo luận chi tiết trongcuốn sách của Synge (1957). Một vấn đề ba chiều trong electrostatics làgiải quyết, bằng cách sử dụng yếu tố tứ diện tuyến tính, bởi McMahon (1953).Nó đã là một số thời gian trước khi Birkhoff et al. (1968) và Zlamal (1968) xuất bảnmột hội tụ bằng chứng và lỗi giới hạn trong các tài liệu toán học ứng dụng.Tuy nhiên, bằng chứng đầu tiên của hội tụ trong các tài liệu kỹ thuật đãđược đưa ra bởi Melosh (1963), người sử dụng các nguyên tắc tối thiểu tiềm năngnăng lượng, và công việc này đã được mở rộng bởi Jones (1964) bằng cách sử dụng Reissner của variationalnguyên tắc. Một khi nó được nhận ra rằng phương pháp có thể được giải thích vềvariational phương pháp, nhà toán học và kỹ sư đã mang lại với nhauvà rất nhiều mở rộng của các phương pháp để lĩnh vực mới ngay sau đó. Đặc biệt,người ta nhận ra rằng th

Kết quả (Việt) 2:

1 giới thiệu lịch sử
Ý tưởng cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn là việc thay thế liên tục
các chức năng bằng appproximations piecewise, thường là đa thức.
Mặc dù phương pháp phần tử hữu hạn chính nó là tương đối mới, phát triển
và thành công mở rộng với sự xuất hiện và phát triển nhanh chóng của máy tính kỹ thuật số,
ý tưởng của từng phần theo xấp xỉ là xa mới. Thật vậy, các nhà hình học đầu
sử dụng "phần tử hữu hạn" để xác định một giá trị gần đúng của π. Họ đã làm điều này
bởi đường biên của một góc phần tư của một vòng tròn với đa giác ghi và ngoại tiếp,
các đoạn đường thẳng là xấp xỉ phần tử hữu hạn để một vòng cung của
đường tròn. Bằng cách này, họ đã có thể để có được ước tính cực kỳ chính xác.
Vọt trên và thấp hơn đã thu được, và bằng cách lấy một số ngày càng tăng của
các yếu tố, hội tụ đơn điệu với các giải pháp chính xác sẽ được dự kiến. Những
hiện tượng này cũng có thể có trong các ứng dụng hiện đại của phương pháp phần tử hữu hạn.
Một nhận xét ​​về các yếu tố hữu hạn cổ: Archimedes sử dụng những ý tưởng để
xác định các khu vực của các con số máy bay và khối lượng của các chất rắn, mặc dù dĩ nhiên anh
không có một khái niệm chính xác của một thủ tục hạn chế . Thật vậy, nó chỉ thực tế này
mà ngăn cản ông phát hiện ra một số tích phân hai ngàn
năm trước khi Newton và Leibniz. Điểm thú vị ở đây là trong khi nhiều
vấn đề của toán học ứng dụng được đặt ra trong điều kiện của phương trình vi phân,
các giải pháp phần tử hữu hạn của phương trình đó sử dụng những ý tưởng mà thực tế nhiều
tuổi hơn những người sử dụng để thiết lập các phương trình ban đầu.
Việc sử dụng hiện đại của hữu hạn yếu tố thực sự bắt đầu trong lĩnh vực kết cấu
kỹ thuật. Có lẽ là nỗ lực đầu tiên là bởi Hrennikoff (1941) và McHenry
(1943), người đã phát triển tương đồng giữa các yếu tố thực tế rời rạc, ví dụ
thanh và dầm, và các phần tương ứng của một chất rắn liên tục. Những
phương pháp áp đảo thuộc về một lớp học của các kỹ thuật bán phân tích đã được sử dụng trong
những năm 1940 cho máy bay thiết kế kết cấu. Phương pháp ma trận cho các giải pháp như vậy
vấn đề đã được phát triển vào thời gian này, và nó là thú vị để lưu ý rằng
công việc của Argyris (1955), trong một bối cảnh kỹ thuật, giới thiệu một giảm thiểu
quá trình đó cũng là cơ sở nền tảng toán học của hữu hạn
Phương pháp phần tử. Với sự phát triển của tốc độ cao, máy bay phản lực,
các phương pháp bán phân tích bị sớm tìm thấy là không đủ và các nhiệm vụ
bắt đầu cho một cách tiếp cận đáng tin cậy hơn. Một cách tiếp cận trực tiếp, dựa trên các nguyên tắc
của công việc ảo, được đưa ra bởi Argyris (1955), và trong một loạt các giấy tờ ông
và các đồng nghiệp của ông đã phát triển công việc này để giải quyết những vấn đề rất phức tạp bằng cách sử dụng
các kỹ thuật tính toán (Argyris và Kelsey 1960). Tại cùng một thời điểm,
2 phần tử hữu hạn Phương pháp
Turner et al. (1956) trình bày các yếu tố ma trận độ cứng, dựa trên chuyển
giả định, cho một phần tử tam giác, cùng với các phương pháp độ cứng trực tiếp
để lắp ráp các yếu tố. 'Phần tử hữu hạn "thời hạn đã được giới thiệu bởi Clough
(1960) trong một bài báo mô tả các ứng dụng trong máy bay tính đàn hồi.
Các kỹ sư đã đưa phương pháp phần tử hữu hạn trên bản đồ như là một thực tế
kỹ thuật để giải quyết vấn đề độ đàn hồi của họ, và mặc dù một toán học chặt chẽ
cơ sở có không được phát triển, trong vài năm tới đã thấy một sự mở rộng
của các phương pháp để giải quyết một lượng lớn các vấn đề cơ cấu. Các giải pháp của
vấn đề ba chiều chỉ yêu cầu mở rộng đơn giản để các twodimensional cơ bản
lý thuyết (Argyris 1964). Vấn đề rõ ràng để xem xét sau khi máy bay
vấn đề là các tấm uốn; ở đây, các nhà nghiên cứu tìm thấy thực sự đầu tiên của họ
khó khăn và những nỗ lực ban đầu này không hoàn toàn thành công. Nó không phải
cho đến một thời gian sau đó các vấn đề về khả năng tương thích đã được giải quyết (Bazely
et al. 1965).
Một lĩnh vực ứng dụng của các phần tử tấm là của mẫu vỏ mỏng,
và một số thành công đã đạt được (Clough và Johnson 1968). Tuy nhiên, các đại diện
của một lớp vỏ mỏng bằng một bề mặt đa diện của tấm phẳng có thể gây ra nghiêm trọng
vấn đề trong sự hiện diện của phát âm uốn, và nó trở nên rõ ràng rằng
các yếu tố vỏ bản thân là cần thiết.
Yếu tố mảng giới khó khăn cho các nhà nghiên cứu, nhưng đó chỉ là nhỏ
so với các vấn đề liên quan đến các yếu tố vỏ. Vỏ thực tế đầu tiên của
các yếu tố phát triển là yếu tố axisymmetric (Grafton và Strome 1963), và
chúng được theo sau bởi một chuỗi toàn bộ hình trụ và các yếu tố vỏ khác
(Gallagher 1969). Yếu tố này vẫn đang được phát triển, và nó có lẽ là công bằng
để nói rằng đây là khu vực duy nhất của phân tích tuyến tính mà vẫn có tiềm năng cho
công việc hơn nữa trong bối cảnh của phần tử hữu hạn.
Các công nhân trong những năm đầu thập niên 1960 sớm chuyển sự chú ý của họ đối với các
giải pháp các vấn đề phi tuyến tính. Turner et al. (1960) cho thấy làm thế nào để sử dụng một
kỹ thuật gia tăng để giải quyết vấn đề hình học phi tuyến tính, tức là vấn đề trong
đó các chủng vẫn còn nhỏ nhưng chuyển vị lớn. Phân tích sự ổn định cũng
đi vào thể loại này và đã được thảo luận bởi Martin (1965). Vấn đề dẻo,
liên quan đến hành vi vật liệu phi tuyến tính, đã được mô hình tại thời điểm này (Gallagher
et al. 1962) và phương pháp này cũng được áp dụng để giải quyết các vấn đề trong
viscoelasticity (Zienkiewicz et al. 1968).
Bên cạnh đó các phân tích tĩnh mô tả ở trên, vấn đề năng động cũng đã
được giải quyết, và Archer (1963) giới thiệu các khái niệm về khối lượng phù hợp
ma trận. Cả hai vấn đề rung động (Zienkiewicz et al. 1966) và các vấn đề thoáng qua
(Koenig và Davids 1969) được xem xét. Như vậy thời gian từ quan niệm của mình
vào đầu năm 1950 đến cuối những năm 1960 đã thấy phương pháp đang được áp dụng rộng rãi bởi
các cộng đồng công nghệ. Với những thành công của các ứng dụng thực tế trong
lĩnh vực kết cấu, nó đã được mở cho các kỹ sư trong các ngành khác (Silvester và
lịch sử giới thiệu 3
Ferrari 1983) để có được giữ của các phương pháp phần tử hữu hạn. Một ứng cử viên rõ ràng là
cơ học chất lỏng.
Lưu lượng tiềm năng (Doctors 1970) và dòng Stokes đã dễ dàng để phát triển
(Atkinson et al. 1970), và nó đã không lâu trước khi sự xuất hiện của một cuốn sách về
phương pháp phần tử hữu hạn trong vấn đề lưu lượng nhớt ( Connor và Brebbia 1976).
Tuy nhiên, hình thức tổng quát hơn của các phương trình Navier-Stokes đã được nhiều
khó khăn, các điều khoản đối lưu mang lại vận hành không tự liên hợp, và do đó,
không có nguyên tắc biến phân rõ ràng. Phương pháp này đã được mở rộng hơn nữa
khi nó đã được nhìn thấy để phù hợp với phương pháp của dư cân nhắc (Szab'o và
Lee 1969). Điều này sau đó cho phép các giải pháp của các vấn đề đó đặt ra như là một phần
phương trình vi phân ranh giới các vấn đề có giá trị. Phương pháp này đã được biết đến
trong một thời gian; Crandall (1956) đã sử dụng thuật ngữ này để phân loại một loạt các
kỹ thuật xấp xỉ bằng số, mặc dù Galerkin (1915) là người đầu tiên
sử dụng phương pháp này. Có lẽ là giải pháp phần tử hữu hạn đầu tiên của Navier-Stokes
phương trình đã được đưa ra bởi Taylor và Hood (1973). Tuy nhiên, vấn đề mà đã
được gặp phải sử dụng sự khác biệt hữu hạn (Spalding 1972) đã xuất hiện trong các
phương pháp phần tử hữu hạn, và cái gọi là phương pháp lên gió đã được đưa vào
một bối cảnh phần tử hữu hạn (Zienkiewicz, Heinrich et al. 1977). Ngoài ra, cái gọi là
cách tiếp cận hữu hạn âm lượng được phát triển (Jameson và Mavriplis 1986), trong đó có
các tài sản vật chất quan trọng mà luật pháp bảo tồn nhất định được duy trì.
Cảnh tượng được bây giờ thiết lập cho sự phát triển nhanh chóng trong cơ học chất lỏng và các khu vực khác
như nhiệt và khối lượng chuyển nhượng (Mohr 1992), cho các vấn đề khuếch tán đối lưu,
và các vấn đề khác coupled (Elliott và Larsson 1995).
Theo như giới thiệu lịch sử này là có liên quan, đây là nơi mà chúng ta sẽ
rời khỏi sự đóng góp của cộng đồng công nghệ. Có tuyệt vời
tài khoản của các ứng dụng từ những năm 1970 trở đi giữa trong các văn bản của Zienkiewicz
và Taylor (2000a, b). Chúng ta hãy quay trở lại những ngày đầu của sự phát triển: tại
cùng một thời gian như các kỹ sư đã được đẩy về phía trước với các khía cạnh thực tế
của phương pháp, công việc tương tự đã được thực hiện bởi các nhà toán học được áp dụng,
mỗi nhóm dường như không biết gì về công việc của người khác. Courant (1943) đã đưa ra
một giải pháp cho vấn đề xoắn, sử dụng xấp xỉ tuyến tính piecewise trên
một lưới tam giác, xây dựng các vấn đề từ các nguyên tắc tối thiểu
năng lượng tiềm năng. Zienkiewicz (1995) lưu ý rằng Courant đã phát triển
một số ý tưởng trong những năm 1920 mà không cần dùng thêm cho họ. Giấy tờ tương tự
tiếp theo Polya (1952) và Weinberger (1956). Greenstadt (1959) trình bày
ý tưởng của việc xem xét một khu vực liên tục như một hội đồng của một số rời rạc
các bộ phận và làm cho các giả định về các biến trong từng khu vực, biến phân
nguyên tắc được sử dụng để tìm các giá trị cho các biến này. Chúng tôi lưu ý đây cũng là
công việc của Schoenberg (1946) đã được rất nhiều trong tinh thần của các yếu tố hữu hạn, vì
các piecewise xấp xỉ đa thức đã dẫn đến sự phát triển của lý thuyết
splines.
4 phần tử hữu hạn Phương pháp
làm việc tương tự đã được thực hiện trong cộng đồng vật lý. Vào cuối những
năm 1940, Prager và Synge (1947) đã phát triển một phương pháp hình học để một biến phân
nguyên tắc trong độ đàn hồi dẫn đến cái gọi là phương pháp hypercircle, đó cũng là
theo tinh thần của phương pháp phần tử hữu hạn. Phương pháp này được thảo luận chi tiết trong
cuốn sách của Synge (1957). Một vấn đề ba chiều trong tĩnh điện đã được
giải quyết bằng cách sử dụng các yếu tố tứ diện tuyến tính, bởi McMahon (1953).
Đó là một thời gian trước khi Birkhoff et al. (1968) và Zlamal (1968) xuất bản
một tụ giới hạn bằng chứng và lỗi trong văn học toán học ứng dụng.
Tuy nhiên, các bằng chứng hội tụ đầu tiên trong văn học kỹ thuật đã
được đưa ra bởi Melosh (1963), người sử dụng các nguyên tắc tiềm năng tối thiểu
năng lượng, và công việc này đã được mở rộng bởi Jones (1964) sử dụng biến phân Reissner của
nguyên tắc. Một khi nó đã nhận ra rằng phương pháp này có thể được giải thích về
các phương pháp biến phân, các nhà toán học và kỹ sư đã được mang lại với nhau
và nhiều phần mở rộng của phương pháp để các khu vực mới ngay sau đó. Đặc biệt,
nó đã nhận ra rằng thứ