Suppose nm=mn. Then n1/n=m1/m. Now

Suppose nm=mn. Then n1/n=m1/m. Now the function x↦x1/x reaches its maximum at e, and is otherwise monotone. Thus (assuming n

Kết quả (Việt) 1:

Giả sử nm = mn. Sau đó n1/n = m1/m. Bây giờ là x↦x1 chức năng / x đạt tối đa của nó tại e và là giọng đều đều bằng cách khác. Do đó (giả sử nNếu n = 1 sau đó nm = 1 và như vậy m = 1, do đó, nó là một giải pháp tầm thường.Nếu n = 2 sau đó nm là một sức mạnh của 2, và do đó (kể từ m > 0) m cũng phải có một sức mạnh của 2, nói m = 2k. Sau đó nm = 22k và mn = 22k, vì vậy đó 2 k = 2 k hoặc 2k−1 = k. Bây giờ 23−1 > 3, và để hiển thị một cảm ứng dễ dàng k≤2 đó. Nếu k = 1 sau đó n = m, và k = 2 tương ứng với 24 = 42.Chỉnh sửa: Lên đến nay chúng tôi coi n, m > 0. Chúng tôi bây giờ đi qua tất cả các trường hợp khác. Giải pháp n = m = 0 là tầm thường (giá trị bất cứ điều gì chúng tôi cung cấp cho đến 00).Nếu n = 0 và m≠0 thì nm = 0 trong khi mn = 1, do đó, đây không phải là một giải pháp.Nếu n > 0 và m < 0 sau đó 0Nếu n, m < 0 sau đó (−1) m (−n) m = nm = mn = (−1) n n (−m), vì vậy những gì n, m phải có cùng một tương đương. Việc ngược, chúng tôi nhận được (−n) −m = −n (−m), do đó, −n, −m là một giải pháp cho số nguyên dương. Các giải pháp tích cực chỉ phòng không tầm thường 2,4 sản lượng −2 giải pháp tiêu cực chỉ phòng không tầm thường, −4.

Kết quả (Việt) 2:

Giả sử nm = mn. Sau đó n1 / n = m1 / m. Bây giờ các chức năng x↦x1 / x đạt tối đa tại e, và nếu không đơn điệu. Do đó (giả sử n
Nếu n = 1 thì nm = 1 và do đó m = 1, do đó, nó là một giải pháp tầm thường. Nếu n = 2 thì nm là một sức mạnh của 2, và như vậy (vì m> 0) m cũng phải là một sức mạnh của 2, nói m = 2k. Sau đó nm = 22k và mn = 22k, vì vậy mà 2k = 2k hoặc 2k-1 = k. Bây giờ 23-1> 3, và do đó, một cảm ứng dễ thấy k≤2 đó. Nếu k = 1 thì n = m, và k = 2 tương ứng với 24 = 42. EDIT: Cho đến bây giờ chúng ta coi là n, m> 0. Bây giờ chúng ta đi qua tất cả các trường hợp khác. Các giải pháp n = m = 0 là tầm thường (bất kể giá trị chúng tôi cung cấp đến 00). Nếu n = 0 và m ≠ 0 thì nm = 0 trong khi mn = 1, vì vậy đây không phải là một giải pháp. Nếu n> 0 và m <0 sau đó 0








Nếu n, m <0 thì (-1) m (n) m = nm = mn = (- 1) n (m) n, do đó n, m phải có tính chẵn lẻ cùng. Lấy phần tử nghịch đảo, chúng tôi nhận được (-n) m = (- m) -n, vì vậy -n đó, m là một giải pháp cho các số nguyên dương. Các chỉ không tầm thường tích cực giải pháp 2,4 sản lượng các giải pháp tiêu cực không tầm thường chỉ -2, -4.