13. Suppose that the relation R on

13. Suppose that the relation R on the finite set A is rep
resented by the matrix MR. Show that the matrix that
represents the symmetric closure of R is MR ∨ MRt .
14. Show that the closure of a relation R with respect to a
property P, if it exists, is the intersection of all the rela
tions with property P that contain R.
15. When is it possible to define the “irreflexive closure”
of a relation R, that is, a relation that contains R, is ir
reflexive, and is contained in every irreflexive relation
that contains R?
16. Determine whether these sequences of vertices are paths
in this directed graph.
a) a, b, c, e
b) b, e, c, b, e
c) a, a, b, e, d, e
d) b, c, e, d, a, a, b
e) b, c, c, b, e, d, e, d
f) a, a, b, b, c, c, b, e, d
a b c
e
d
17. Find all circuits of length three in the directed graph in
Exercise 16.
18. Determine whether there is a path in the directed graph in
Exercise 16 beginning at the first vertex given and ending
at the second vertex given.
a) a, b b) b, a c) b, b
d) a, e e) b, d f) c, d
g) d, d h) e, a i) e, c
19. Let R be the relation on the set {1, 2, 3, 4, 5} containing
the ordered pairs (1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 3), (5, 1),
(5, 2), and (5, 4). Find
a) R2. b) R3. c) R4.
d) R5. e) R6. f) R∗.
20. Let R be the relation that contains the pair (a, b) if a
and b are cities such that there is a direct non-stop airline
flight from a to b. When is (a, b) in
a) R2? b) R3? c) R∗?
21. Let R be the relation on the set of all students contain
ing the ordered pair (a, b) if a and b are in at least one
common class and a = b. When is (a, b) in
a) R2? b) R3? c) R∗?

Kết quả (Việt) 1:

13. giả sử rằng mối quan hệ R trên tập hữu hạn A là đại diệnbất bình bởi ma trận MR. Hiển thị có ma trận đóđại diện cho các đối xứng đóng của R là ông ∨ tàu điện ngầm.14. cho thấy rằng việc đóng cửa của một mối quan hệ R quan đến mộtbất động sản P, nếu nó tồn tại, là giao điểm của tất cả relations với bất động sản P chứa R.15. khi có thể để xác định "irreflexive đóng"trong một mối quan hệ R, có nghĩa là, một mối quan hệ có chứa R, là hồng ngoạisuy nghi, và được chứa trong mọi mối quan hệ irreflexivecó chứa R?16. xác định các trình tự của các đỉnh đường dẫntrong biểu đồ hướng dẫn này.a) a, b, c, eb) b, e, c, b, ec) a, a, b, e, d, ed) b, c, e, d, a, a, be) b, c, c, b, e, d, e, df) một, a, b, b, c, c, b, e, db ced17. Tìm tất cả các mạch dài ba đạo diễn đồ thị trongTập thể dục 16.18. xác định cho dù đó là một con đường trong biểu đồ hướng dẫn trongTập 16, bắt đầu từ đỉnh đầu tiên được đưa ra và kết thúctại đỉnh thứ hai được đưa ra.a) a, b b) b c) b, bd) a, e e) b, d, f) c, dg) d, d h) e, một i) e, c19. Hãy để R là mối quan hệ trên tập hợp {1, 2, 3, 4, 5} chứacác cặp đã ra lệnh (1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 3), (5, 1),(5, 2) và (5, 4). Tìm thấya) R2. b) R3. c) R4.d) R5. e) R6. f) R∗.20. giả sử R là mối quan hệ có chứa các cặp (a, b) nếu mộtvà b là các thành phố như vậy mà có là một hãng hàng không không ngừng trực tiếpchuyến bay từ một b. Khi là (a, b) tạia) R2? b) R3? c) R∗?21. let R là mối quan hệ trên tập hợp của tất cả sinh viên chứaing ra lệnh cho cặp (a, b) nếu một và b trong ít nhất một tronglớp học thông thường và a = b. Khi là (a, b) tạia) R2? b) R3? c) R∗?

Kết quả (Việt) 2:

13. Giả sử rằng các quan hệ R trên tập hợp hữu hạn A được đại diện
phẫn nộ bởi ma trận MR. Chứng minh rằng ma trận
đại diện cho việc đóng cửa đối xứng của R là MR ∨ MRT.
14. Chứng tỏ rằng việc đóng cửa của một quan hệ R đối với một với
P tài sản, nếu nó tồn tại, là giao điểm của mọi RELA
tions với tài sản P có chứa R.
15. Khi là nó có thể để xác định "đóng cửa irreflexive"
của một quan hệ R, đó là một mối quan hệ có chứa R, là ir
phản xạ, và được chứa trong mọi mối quan hệ irreflexive
chứa R?
16. Xác định xem những trình tự của các đỉnh là các đường dẫn
trong đồ thị có hướng này.
A) a, b, c, đ
b) b, e, c, b, đ
c) a, a, b, e, d, đ
d) b, c, e, d, a, a, b
đ) b, c, c, b, e, d, e, d
f) a, a, b, b, c, c, b, e, d
một bc
đ
d
17. Tìm tất cả các mạch có độ dài ba trong đồ thị có hướng trong
tập 16.
18. Xác định xem có một con đường trong đồ thị có hướng trong
tập 16, bắt đầu từ đỉnh đầu tiên đưa ra và kết thúc
tại đỉnh thứ hai được đưa ra.
A), bb) b, ac) b, b
d) a, ee) b, df) c, d
g) d, dh) e, ai) e, c
19. Hãy R là quan hệ trên tập {1, 2, 3, 4, 5} chứa
các cặp có thứ tự (1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 3), (5, 1),
(5, 2), và (5, 4). Tìm
một) R2. b) R3. c) R4.
d) R5. e) R6. f) R *.
20. Hãy R là quan hệ có chứa các cặp (a, b) nếu một
và b là thành phố như vậy là có một không ngừng bay trực tiếp
chuyến bay từ a đến b. Khi là (a, b) trong
một) R2? b) R3? c) R *?
21. Hãy R là quan hệ trên các thiết lập của tất cả học sinh có chứa
ing các cặp có thứ tự (a, b) nếu a và b là trong ít nhất một
lớp thông thường và một = b. Khi là (a, b) trong
một) R2? b) R3? c) R *?