Fig. 5. First two levels of a searc

Fig. 5. First two levels of a search tree for the restricted variant.



the search tree will have at most children in the restricted variant and children in the unrestricted variant. Fig. 5 illustrates the nodes in the first two levels of a search tree of the restricted variant.

Algorithm 1: IDAStar( , initSolver, LBFunc, probeSolver)

Input: – initial layout
initSolver – heuristic to find initial soltuion LBFunc – lower bound function probeSolver – probe heuristic
1: construct initial solution using initSolver
2: compute lower bound of
3:
4: Convert to its minimum equivalent layout
5: while and
time limit not exceeded do
6:
7: if then
8:
9: end if
10:
11: end while

The approach proposed in this study is an iterative deep- ening A* (IDA*) algorithm. There are two essential features of IDA*. First, it performs multiple iterations of search, and suc- cessive searches explore a larger search region than previous it- erations (hence the term “iterative deepening”). We control the size of the search region using a threshold value (Algorithm
1). Second, each iteration of the search procedure is a tree search organized in a depth-first order (Algorithm 2); this algorithm is essentially a branch and bound.
Algorithm 2 works as follows. Each node in the search tree
has a corresponding cost , where is the number of relocations already made to arrive at that node (known as confirmed relocations) and is an optimistic esti- mation of the minimum number of relocations required to solve the problem from that node (known as identified relocations). We describe how we calculate the value of in Section V-A.

When the value of is greater than the cost of the best so- lution found so far globalBestSol, then can never lead to a solution that is better and need not be explored further (line 12).

Algorithm 2: DFS( , , , , probeSolver)

Input: – current layout
– number of confirmed relocations
– cost threshold
– lower bound function probeSolver – probe heuristic
1: if or time limit exceeded then
2: return 0
3: end if
4:
{Node beyond search frontier}
5: if then
6: if then
7: Use probe heuristic to find solution
8: Update globalBestSol with if is better
9: end if
10: return
11: end if
{Pruning}
12: if then
13: return
14: end if
15: if is empty then
16: return
17: end if
{Branching}
18:
19: for all layouts resulting from relocating one container in do
20: Convert to its minimum equivalent layout
21:
22:
23: end for
24:
25: return nodeLB;

The efficiency of branch and bound can be improved if we can improve the best known solution. We use a greedy heuristic to find a complete solution when the current node seems promising (lines 6–9), which we call probing. We will discuss the impact of probing in detail in Section V-B.
Over the course of the search, the best lower bound for each node is updated as all its children
are evaluated, where





(lines 18–24); nodeLB is the return value of Algorithm 2. The value of nodeLB at the root node is a valid lower bound for the

Kết quả (Việt) 1:

Hình 5. Lần đầu tiên hai cấp độ của một cây tìm kiếm cho các biến thể bị giới hạn.cây tìm kiếm sẽ có ở hầu hết các trẻ em trong phiên bản giới hạn và các trẻ em trong phiên bản không hạn chế. Hình 5 minh hoạ các nút trong lần đầu tiên hai cấp độ của một cây tìm kiếm Phiên bản giới hạn.Thuật toán 1: IDAStar (, initSolver, LBFunc, probeSolver) Đóng góp:-ban đầu bố tríinitSolver-heuristic để tìm ban đầu soltuion LBFunc-ràng buộc thấp hơn chức năng probeSolver-thăm dò heuristic1: xây dựng ban đầu giải pháp bằng cách sử dụng initSolver2: tính toán thấp hơn các ràng buộc của3:4: chuyển đổi để bố trí tối thiểu tương đương5: trong khi vàkhông vượt quá giới hạn thời gian làm6:7: nếu sau đó8:9: kết thúc nếu10:11: Các cuối cùng trong khi Cách tiếp cận được đề xuất trong nghiên cứu này là một thuật toán lặp đi lặp lại sâu-ening A * (IDA *). Không có hai tính năng cần thiết của IDA *. Đầu tiên, nó thực hiện lặp đi lặp lại nhiều tìm kiếm, và suc - cessive tìm kiếm khám phá một khu vực tìm kiếm lớn hơn so với trước đó nó erations (do đó hạn "lặp đi lặp lại sâu sắc"). Chúng tôi kiểm soát kích thước của khu vực tìm kiếm bằng cách sử dụng một giá trị ngưỡng (thuật toán1). thứ hai, lặp đi lặp lại mỗi của các thủ tục tìm là một tìm kiếm cây tổ chức theo một thứ tự đầu tiên chiều sâu (thuật toán 2); thuật toán này là về cơ bản là một chi nhánh và ràng buộc.Thuật toán 2 hoạt động như sau. Mỗi nút trong cây tìm kiếmcó một chi phí tương ứng, nơi được số relocations đã thực hiện để đi đến đó nút (được biết đến như là relocations đã được xác nhận) và là một esti lạc quan mation số tối thiểu relocations cần thiết để giải quyết vấn đề từ nút đó (được gọi là relocations được xác định). Chúng tôi mô tả cách chúng tôi tính toán giá trị của trong phần V-A. Khi giá trị của là lớn hơn chi phí của tốt nhất để-lution tìm thấy cho đến nay globalBestSol, sau đó không bao giờ có thể dẫn đến một giải pháp mà là tốt hơn và không cần phải là khám phá thêm (dòng 12).Thuật toán 2: DFS (,,,, probeSolver)Đóng góp:-bố trí hiện tại-số của relocations đã được xác nhận-chi phí ngưỡng-ràng buộc thấp hơn chức năng probeSolver-thăm dò heuristic1: nếu hoặc giới hạn thời gian vượt quá sau đó2: trở về 03: kết thúc nếu4:{Nút vượt ra ngoài biên giới tìm}5: nếu sau đó6: nếu sau đó7: sử dụng thăm dò heuristic để tìm giải pháp8: Cập Nhật globalBestSol với nếu là tốt hơn9: kết thúc nếu10: trở về11: kết thúc nếu{Cắt tỉa}12: nếu sau đó13: trở về14: kết thúc nếu15: nếu có sản phẩm nào sau đó16: trở về17: kết thúc nếu{Phân nhánh}18:19: cho bố trí tất cả kết quả từ di dời một container tại do20: chuyển đổi để bố trí tối thiểu tương đương21:22:23: kết thúc cho24:25: trở về nodeLB;Hiệu quả của chi nhánh và ràng buộc có thể được cải thiện nếu chúng tôi có thể cải thiện các giải pháp tốt nhất được biết đến. Chúng tôi sử dụng một tham lam heuristic để tìm một giải pháp hoàn chỉnh khi các nút hiện tại có vẻ đầy hứa hẹn (dòng 6-9), mà chúng tôi gọi là thăm dò. Chúng tôi sẽ thảo luận về tác động của thăm dò chi tiết trong phần V-sinhTrong quá trình tìm kiếm, bị ràng buộc dưới tốt nhất cho mỗi nút được Cập Nhật như tất cả các trẻ em của nóđược đánh giá, nơi(dòng 18-24); nodeLB là giá trị trả lại của thuật toán 2. Giá trị của nodeLB tại nút gốc là một ràng buộc thấp hơn giá trị cho các

Kết quả (Việt) 2:

Sung. 5. hai cấp độ đầu tiên của một cây tìm kiếm cho các biến thể bị hạn chế. Cây tìm kiếm sẽ có ở hầu hết trẻ em trong các biến thể hạn chế và trẻ em trong các biến thể không hạn chế. Sung. 5 minh họa các nút trong hai cấp độ đầu tiên của một cây tìm kiếm của các biến thể bị hạn chế. Thuật toán 1: IDAStar (, initSolver, LBFunc, probeSolver) Input: - bố trí ban đầu initSolver - heuristic để tìm soltuion ban đầu LBFunc - ràng buộc thấp hơn chức năng probeSolver - thăm dò Heuristic 1: xây dựng giải pháp ban đầu sử dụng initSolver 2: tính ràng buộc thấp hơn của 3: 4: Chuyển đổi sang bố trí tương đương tối thiểu 5: trong khi và thời hạn không vượt quá làm 6: 7: nếu sau đó 8: 9: kết thúc nếu 10: 11: kết thúc trong khi Phương pháp được đề xuất trong nghiên cứu này là một lặp đi lặp lại sâu, ening A * (IDA *) thuật toán. Có hai tính năng thiết yếu của IDA *. Đầu tiên, nó thực hiện nhiều lần lặp lại tìm kiếm, và tìm kiếm cessive suc- khám phá một khu vực tìm kiếm lớn hơn erations nó- trước (do đó thuật ngữ "sâu lặp đi lặp lại"). Chúng tôi kiểm soát kích thước của khu vực tìm kiếm bằng cách sử dụng một giá trị ngưỡng (Algorithm 1). Thứ hai, mỗi lần lặp của các thủ tục tìm kiếm là một tìm kiếm cây được tổ chức theo một thứ tự độ sâu-đầu tiên (Algorithm 2); thuật toán này thực chất là một chi nhánh và ràng buộc. Thuật toán 2 hoạt động như sau. Mỗi nút trong cây tìm kiếm có một chi phí tương ứng, mà là số lượng di dời đã được thực hiện để đi đến nút đó (gọi là sự định vị xác nhận) và là một thông ước tính lạc quan về số lượng tối thiểu của sự định cần thiết để giải quyết vấn đề từ đó nút (gọi là sự định vị được xác định). Chúng tôi mô tả cách chúng ta tính giá trị của tại Mục VA. Khi giá trị của là lớn hơn chi phí của lution Xô tốt nhất được tìm thấy cho đến nay globalBestSol, sau đó không bao giờ có thể dẫn đến một giải pháp đó là tốt hơn và không cần phải được tìm hiểu thêm (dòng 12). Thuật toán 2: DFS (,,,, probeSolver) Input: - hiện tại bố trí - số lượng di dời xác nhận - ngưỡng chi phí - ràng buộc thấp hơn chức năng probeSolver - thăm dò Heuristic 1: nếu hay thời gian vượt quá giới hạn sau đó 2: return 0 3: kết thúc nếu 4: {Node ngoài tìm kiếm biên giới} 5: nếu sau đó 6: nếu sau đó 7: Sử dụng đầu dò heuristic để tìm giải pháp 8: Cập nhật globalBestSol với nếu là tốt hơn 9: kết thúc nếu 10: trở lại 11: kết thúc nếu {Tỉa} 12: nếu sau đó 13: trở lại 14: kết thúc nếu 15: nếu là trống rỗng, sau 16: trở lại 17: kết thúc nếu {nhánh} 18: 19: cho tất cả sơ đồ kết quả từ chuyển nơi ở một container trong làm 20: Chuyển đổi sang bố trí tương đương tối thiểu của nó 21: 22: 23: kết thúc cho 24: 25: return nodeLB; Hiệu quả của chi nhánh và ràng buộc có thể được cải thiện nếu chúng ta có thể cải thiện các giải pháp nổi tiếng nhất. Chúng tôi sử dụng một heuristic tham lam để tìm một giải pháp hoàn chỉnh khi các nút hiện tại có vẻ đầy hứa hẹn (đường 6-9), mà chúng ta gọi là thăm dò. Chúng tôi sẽ thảo luận về tác động của các thăm dò chi tiết tại mục VB. Trong quá trình tìm kiếm, là tốt nhất ràng buộc thấp hơn cho mỗi nút được cập nhật như tất cả các con của nó được đánh giá, nơi (dòng 18-24); nodeLB là giá trị trở lại của thuật toán 2. Giá trị nodeLB tại nút gốc là một giá trị thấp hơn bound cho