Hãy S = {n ∈ Z + | PNI = 1 i3 6 = (1/4) n2 (n + 1) 2}. (Tập hợp tất cả các số nguyên mà công thức đưa ra là sai mục đích của chúng tôi là để chứng minh rằng S là
trống rỗng . Sử dụng bằng chứng gián tiếp (xem §0d), cho rằng S 6 = ∅. By 3.1 nó sau đó S phải có một yếu tố ít nhất. Hãy k có yếu tố ít nhất này. Kể từ
P1i = 1 i3 = 13 = (1/4) 12 (1 + 1) 2 chúng ta thấy rằng 1 ∈ / S, và vì vậy k 6 = 1. Vì
k ∈ Z + và 6 k = 1, nó sau đó k - 1 cũng là một số nguyên dương Kể từ.
k - 1 <k và k là số nguyên dương ít nhất là trong S, nó sau đó k - 1 ∈ / S.
Như vậy PKI = 1-1 i3 = (1/4) (k - 1). 2k2 Thêm k3 cho cả hai bên của điều này cho
PKI = 1 i3 = (1/4) (k - 1) 2k2 + k3
= (1/4) ((k2 - 2k + 1) k2 + 4k3)
= (1/4) (k4 - 2K3 + k2 + 4k3)
= ( 1/4) (k4 + 2K3 + k2)
= (1/4) k2 (k + 1) 2,
và theo định nghĩa của S, chúng tôi suy luận rằng k / ∈ S. Nhưng đây là một mâu thuẫn,
vì k ∈ S bởi định nghĩa của k. mâu thuẫn này hoàn thành việc chứng minh
rằng S là trống rỗng, đó là những gì chúng tôi phải chứng minh. ...
Các bằng chứng minh họa trong 3.1.1 trên là hơi phức tạp, và được
tự nhiên hơn thể hiện như một bằng chứng trực tiếp bằng cảm ứng, theo cách thông thường. Trong
trường hợp khác, tuy nhiên, ít nhất Nguyên tắc Integer có thể tự nhiên hơn và
dễ dàng hơn để sử dụng hơn so với cảm ứng. Thật vậy, bằng chứng tiếp theo của chúng tôi là một trường hợp tại điểm. Chúng tôi
sử dụng 3.1 để chứng minh định lý Division cho các số nguyên:
3.2 Định lý Ifa ∈ Z và n ∈ Z + sau đó có tồn tại số nguyên độc đáo q và
r với a = qn + r và 0 ≤ r <n.
Pro của. Kể từ khi r có phải là một - qn, định lý có thể được viết lại như sau:
(*) Nếu a ∈ Z và n ∈ Z + sau đó có tồn tại một
. q số nguyên duy nhất như vậy mà 0 ≤ a - qn <n
một Do và n, chúng tôi đầu tiên chứng minh sự tồn tại của aq như vậy
đang được dịch, vui lòng đợi..