We are given a non-negatively weigh

We are given a non-negatively weighted undirected graph G = (V; E) and a set S
of nodes. The goal is to nd a minimum cost subset T of the edges that connects
the nodes in S. Such a T is called a minimum Steiner tree. It is a tree connecting a
set U with S µ U µ V . The art is to choose U as to minimize the cost of the tree.
The minimum spanning tree problem is the special case that S consists of all nodes.
The Steiner tree problem arises naturally in our introductory example. Assume that
some of the islands in T aka-Tuka-land are unihabitated. The goal is to connect all the
inhabitated islands. The optimal solution will in general have some of the uninhabitated islands in the solution.
The Steiner tree problem is NP-complete ??. We show how to construct a solution
which is within a factor two of optimum. We construct an auxiliary complete graph
with node set S: for any pair u and v of nodes in S, the cost of the edge (u; v) in the
auxiliary graph is their shortest path distance in G. Let TA be a minimum spanning
tree of the auxiliary graph. We obtain a Steiner tree of G by replacing every edge of
TA[ps was: T . Ab hier leicht umformuliert] by the path it represents in G. In the ( =
resulting subgraph of G we delete edges from cycles until it the remaining subgraph
is cycle-free. The cost of the resulting Steiner tree is at most the cost of TA.
Theorem 36. The algorithm above constructs a Steiner tr ee which is at most twice
the cost of an optimum Steiner tr ee.
Proof. The algorithm constructs a Steiner tree of cost at most c(TA). It therefore
sufces to show c(TA) · 2c(T
opt), where T
opt is a minimum Steiner tree for S in
G. T o this end, it sufces to show that the auxiliary graph has a spanning tree of cost
2c(T
opt). Figure 11.10 indicates how to construct such a spanning tree. “W alking
once around the Steiner tree” denes a closed path in G of cost 2c(T
opt); observe
that every edge in T
opt occurs exactly twice in this path. Deleting the nodes outside
S in this path gives us a closed path in the auxiliary graph. The cost of this path is at
most 2c(T
opt), because edge costs in the auxilary graph are shortest path distances in
G. The closed path in the auxiliary graph spans S and therefore the auxiliary graph
has a spanning tree of cost at most 2c(T
opt).

Kết quả (Việt) 1:

Chúng tôi có được không-tiêu cực trọng đồ thị vô hướng G = (V; E) và một bộ S
của nút. Mục tiêu là nd chi phí tối thiểu tập con T của các cạnh kết nối
Node S. T như vậy được gọi là một cây Steiner tối thiểu. Đây là một cây kết nối một
đặt U với S µ U µ V. Nghệ thuật là để lựa chọn U là để giảm thiểu chi phí của cây.
Vấn đề cây khung tối thiểu là trường hợp đặc biệt S bao gồm tất cả các nút.
The Steiner cây vấn đề phát sinh tự nhiên trong ví dụ giới thiệu. Cho rằng
một số đảo trong T aka-Tuka-đất là unihabitated. Mục tiêu là để kết nối tất cả các
quần đảo inhabitated. Các giải pháp tối ưu nói chung sẽ có một số của đảo uninhabitated, các giải pháp.
Vấn đề cây Steiner là NP-đầy đủ??. Chúng tôi cho thấy làm thế nào để xây dựng một giải pháp
mà là trong vòng một hai yếu tố của tối ưu. Chúng tôi xây dựng một đồ thị đầy đủ phụ trợ
với nút đặt S: cho bất kỳ cặp bạn và v của nút trong S, chi phí của các cạnh (u; v) trong các
phụ trợ đồ thị là khoảng cách con đường ngắn nhất của họ trong G. Cho TA là một tối thiểu bao trùm
cây của đồ thị phụ trợ. Chúng tôi có được một cây Steiner g bằng cách thay thế mỗi cạnh của
TA [ps là: T. AB hier leicht umformuliert] bởi đường nó đại diện cho G. Trong các (=
gọn kết quả của G xóa đa cung từ các chu kỳ cho đến khi nó còn lại gọn
là chu kỳ miễn phí. Chi phí của cây Steiner kết quả tối đa là chi phí của TA.
định lý 36. Các thuật toán trên xây dựng một ee Steiner tr là tối đa hai lần
chi phí của một tối ưu Steiner tr ee.
bằng chứng. Các thuật toán xây dựng một cây Steiner của chi phí tại hầu hết c(TA). Nó do đó
suf ces để hiển thị c(TA) · 2C(T
Opt), nơi mà T
lựa chọn là một cây Steiner tối thiểu cho S trong
G. T o điều này kết thúc, nó suf ces để hiển thị đồ thị phụ trợ có một cây khung của cost
2c(T
opt). Con số 11,10 cho biết làm thế nào để xây dựng một cây khung. W alking
một lần quanh Steiner cây de nes một con đường đóng g chi phí 2c(T
opt); quan sát
mà mỗi cạnh trong T
lựa chọn xảy ra chính xác hai lần trong con đường này. Xóa các nút bên ngoài
S trong đường dẫn này cho chúng ta một con đường đóng cửa trong biểu đồ phụ trợ. Chi phí của con đường này là tại
hầu hết 2c(T
opt), bởi vì chi phí cạnh trong đồ thị auxilary là khoảng cách con đường ngắn nhất trong
G. Con đường đóng cửa trong đồ thị phụ trợ kéo dài S và do đó biểu đồ phụ trợ
có một cây khung của chi phí tại hầu hết 2c(T
opt).

Kết quả (Việt) 2:

Chúng tôi có được một đồ thị vô hướng trọng không tiêu cực G = (V, E) và một tập S
các nút. Mục đích là để? Nd một tập hợp con chi phí tối thiểu T của các cạnh kết nối
các nút trong S. T như vậy được gọi là cây Steiner tối thiểu. Nó là một cây kết nối một
tập hợp U với S μ μ U V. Nghệ thuật là chọn U để giảm thiểu chi phí của cây.
Các vấn đề kéo dài tối thiểu của cây là trường hợp đặc biệt mà S bao gồm tất cả các nút.
Vấn đề cây Steiner phát sinh một cách tự nhiên trong ví dụ giới thiệu của chúng tôi. Giả sử rằng
một số hòn đảo trong T-hay còn gọi là Tuka đất được unihabitated. Mục đích là để kết nối tất cả các
hòn đảo inhabitated. Giải pháp tối ưu sẽ nói chung có một số hòn đảo uninhabitated trong dung dịch.
Vấn đề cây Steiner là NP-đầy đủ?. Chúng ta thấy làm thế nào để xây dựng một giải pháp
đó là một yếu tố trong hai tối ưu. Chúng ta xây dựng một đồ thị phụ trợ hoàn chỉnh
với nút tập S: cho bất kỳ cặp u và v các nút trong S, chi phí cạnh (u, v) trong
đồ thị phụ trợ là khoảng cách đường đi ngắn nhất trong G. Hãy hỗ trợ kỹ thuật là một spanning tối thiểu
cây của đồ thị phụ trợ. Chúng ta có được một cây Steiner của G bằng cách thay thế mỗi cạnh của
TA [ps là: T. Ab hier leicht umformuliert] là đường dẫn nó đại diện trong G. Trong (=
kết quả đồ thị con của G chúng ta xóa cạnh từ chu kỳ cho đến khi nó là đồ thị con còn lại
là chu kỳ miễn phí. Các chi phí của cây Steiner kết quả là tại hầu hết các chi phí hỗ trợ kỹ thuật .
Định lý 36. Thuật toán trên xây dựng một Steiner tr ee mà là ở hầu hết hai lần
chi phí của một Steiner tối ưu tr ee.
Proof. Các thuật toán xây dựng một cây Steiner chi phí nhiều nhất là c (TA). Do đó,
rừng đặc dụng CES để hiển thị? c (TA) · 2c (T
lựa chọn), trong đó T
lựa chọn là một cây Steiner tối thiểu cho S trong
G. T o đích này, rừng đặc dụng? CES cho thấy đồ thị phụ trợ có một cây bao trùm của chi phí
2c (T
lựa chọn) . Hình 11.10 chỉ ra làm thế nào để xây dựng một cây bao trùm như W alking.?
một lần xung quanh các cây Steiner de nes một con đường đóng trong G, chi phí 2c (T?
lựa chọn); quan sát
rằng tất cả các cạnh trong T
lựa chọn chính xác xảy ra hai lần trong con đường này. Xóa các nút bên ngoài
S trong con đường này cho chúng ta một con đường khép kín trong đồ thị phụ trợ. Các chi phí của con đường này là ở
hầu hết 2c (T
lựa chọn), bởi vì chi phí cạnh trong đồ thị auxilary là khoảng cách đường đi ngắn nhất trong
G. Con đường khép kín trong đồ thị phụ trợ kéo dài S và do đó đồ thị phụ trợ
có một cây bao trùm của chi phí nhiều nhất 2c (T
lựa chọn).