Abstract manifolds 17Proof. The con

Abstract manifolds 17
Proof. The conditions in Definition 2.1.1 are easily verified. 
A subset A of a topological space is always assumed to carry the topology
of Lemma 2.1.2, unless otherwise is mentioned. It is called the induced (or
relative) topology, and the open sets are said to be relatively open.
If A ⊂ X is a subset and f is a map A → Y , then f is said to be continuous
at x ∈ A, if it is continuous with respect to the induced topology. It is easily
seen that if f: X → Y is continuous at x ∈ A, then the restriction f|A: A → Y
is also continuous at x.
Definition 2.1.5. Let X and Y be topological spaces, and let A ⊂ X and
B ⊂ Y . A map f: A → B which is continuous, bijective and has a continuous
inverse is called a homeomorphism (compare Definition 1.2.1).
Finally, we mention the following important property of a topological
space, which is often assumed in order to exclude some rather peculiar topological spaces.
Definition 2.1.6. A topological space X is said to be Hausdorff if for every
pair of distinct points x, y ∈ X there exist disjoint neighborhoods of x and y.
Every metric space is Hausdorff, because if x and y are distinct points,
then their mutual distance is positive, and the open balls centered at x and
y with radius half of this distance will be disjoint by the triangle inequality.
On the other hand, equipped with the trivial topology (see example 2.1.3),
a set of at least two elements is not a Hausdorff topological space.
2.2 Abstract manifolds
Let M be a Hausdorff topological space, and let m ≥ 0 be a fixed natural
number.
Definition 2.2.1. An m-dimensional smooth atlas of M is a collection
(Oi)i∈I of open sets Oi in M such that M = ∪i∈IOi, together with a collection (Ui)i∈I of open sets in Rm and a collection of homeomorphisms, called
charts, σi: Ui → Oi = σi(Ui), with the following property of smooth transition on overlaps:
For each pair i, j ∈ I the map σj −1 ◦ σi is smooth from the open set
σ−1
i (Oi ∩ Oj) ⊂ Rm to Rm.
Example 2.2 Let S ⊂ Rn be an m-dimensional manifold in Rn (see Definition 1.6.1), which we equip with an atlas as in Definition 1.6.2 (as mentioned
below the definition, such an atlas exists). It follows from Corollary 1.7 that
for each chart σ the image O = σ(U) is open in S and σ: U → O is a homeomorphism. Furthermore, it follows from Theorem 1.8 that the transition
maps are smooth. Hence this atlas on S is a smooth atlas according to
Definition 2.2.1

Kết quả (Việt) 1:

Trừu tượng đa tạp 17Bằng chứng. Các điều kiện trong định nghĩa 2.1.1 dễ dàng xác minh. Một tập con A của một không gian tôpô luôn luôn giả định để thực hiện cấu trúc liên kếtcủa bổ đề 2.1.2, trừ khi nếu không được đề cập. Nó được gọi là các gây ra (hoặccấu trúc liên kết tương đối), và các tập mở được gọi là tương đối mở.Nếu một ⊂ X là một tập hợp con và f là một bản đồ A → Y, sau đó f được gọi là liên tụctại x ∈ A, nếu nó là liên tục đối với tô pô gây ra. Nó là dễ dàngthấy rằng nếu f: X → Y là liên tục tại x ∈ A, sau đó hạn chế f| ÐÁP: Y →cũng là liên tục tại x.Định nghĩa 2.1.5. Cho X và Y là tôpô, và cho một ⊂ X vàB ⊂ Y. A bản đồ f: A → B mà là liên tục, song ánh và có một liên tụcnghịch đảo được gọi là một phép đồng phôi (so sánh định nghĩa 1.2.1).Cuối cùng, chúng tôi đề cập đến tài sản quan trọng sau đây của một tô pôkhông gian, mà thường được giả định để loại trừ một số không gian tô pô khá đặc biệt.Định nghĩa 2.1.6. Một không gian tôpô X được gọi là Hausdorff nếu cho mỗiCặp điểm phân biệt x, y ∈ X có tồn tại các khu vực lân cận của x và y.Mọi không gian metric là Hausdorff, bởi vì nếu x và y là điểm khác biệt,sau đó khoảng cách lẫn nhau của họ là tích cực, và quả cầu mở Trung tâm tại x vày với bán kính một nửa khoảng cách này sẽ được các bằng bất đẳng thức tam giác.Mặt khác, được trang bị với tôpô nhỏ (xem ví dụ 2.1.3),một tập các phần tử ít nhất hai không phải là một không gian tôpô Hausdorff.2.2 trừu tượng đa tạpGiả sử M là một không gian tôpô Hausdorff, và để cho m ≥ 0 là một thiên nhiên cố địnhsố.Định nghĩa 2.2.1. Một bản đồ mịn chiều m m là một bộ sưu tậpI∈I (Oi) của mở bộ Oi trong M như vậy rằng M = ∪i∈IOi, cùng với một bộ sưu tập (giao diện người dùng), các tập mở trong Rm i∈I và một bộ sưu tập của homeomorphisms, được gọi làbảng xếp hạng, σi: giao diện người dùng → Oi = σi(Ui), với tài sản sau đây của các chuyển đổi suôn sẻ trên Chông:Cho mỗi cặp i, j ∈ I σi ◦ bản đồ σj −1 là trơn từ tập mởΣ−1i (Oi ∩ Oj) ⊂ Rm để Rm.Ví dụ 2.2 cho S ⊂ Rn là một đa tạp chiều m trong Rn (xem định nghĩa 1.6.1), mà chúng tôi trang bị với một bản đồ như trong định nghĩa 1.6.2 (như đã đề cậpdưới đây định nghĩa, một bản đồ như vậy tồn tại). Nó sau từ hệ luỵ 1.7 màcho mỗi biểu đồ σ hình O = σ(U) đang mở trong S và σ: U → O là một phép đồng phôi. Hơn nữa, nó theo định lý 1.8 mà quá trình chuyển đổibản đồ được trơn tru. Vì thế này bản đồ trên S là một bản đồ mịn theoĐịnh nghĩa 2.2.1

Kết quả (Việt) 2:

Tóm tắt đa tạp 17
Proof. Các điều kiện trong định nghĩa 2.1.1 có thể dễ dàng xác minh. ?
Một tập con A của một không gian tôpô luôn luôn giả định chở các cấu trúc liên kết
của Bổ đề 2.1.2, trừ trường hợp được đề cập. Nó được gọi là gây ra (hoặc
thân nhân) cấu trúc liên kết, và các bộ mở được cho là tương đối cởi mở.
Nếu A ⊂ X là một tập hợp con và f là một bản đồ A → Y thì f được cho là liên tục
tại x ∈ A, nếu nó là liên tục đối với các cấu trúc liên kết cảm ứng với. Nó có thể dễ dàng
thấy rằng nếu f: X → Y là liên tục tại x ∈ A, sau đó những hạn chế f | A: A →
Y. Cũng là liên tục tại x
Định nghĩa 2.1.5. Cho X và Y là các không gian topo, và để cho A ⊂ X và
B ⊂ Y. Một bản đồ f: A → B mà là liên tục, song ánh và có một liên tục
nghịch đảo được gọi là một đồng phôi (so sánh Định nghĩa 1.2.1).
Cuối cùng, chúng tôi đề cập đến các tài sản quan trọng sau đây của một topo
không gian, mà thường được giả định để loại trừ một số không gian tôpô khá đặc biệt.
Định nghĩa 2.1.6. Một không gian tôpô X được cho là Hausdorff nếu với mọi
cặp khác biệt điểm x, y ∈ X có tồn tại các khu phố chia của x và y.
Mỗi không gian metric là Hausdorff, bởi vì nếu x và y là các điểm riêng biệt,
sau đó khoảng cách lẫn nhau của họ là quả bóng tích cực, và mở trung tâm tại x và
y với bán kính nửa khoảng cách này sẽ được tách rời bởi các bất đẳng thức tam giác.
Mặt khác, được trang bị với các cấu trúc liên kết tầm thường (xem ví dụ 2.1.3),
một bộ ít nhất hai yếu tố không phải là một không gian tôpô Hausdorff.
2.2 Sự đa dạng Abstract
Gọi M là một không gian tôpô Hausdorff, và để cho m ≥ 0 là một tự nhiên cố định
số.
Định nghĩa 2.2.1. Một m chiều atlas mịn của M là một bộ sưu tập
(Oi) i∈I của bộ mở Oi tại M sao cho M = ∪i∈IOi, cùng với một bộ sưu tập (Ui) i∈I của bộ mở trong Rm và một bộ sưu tập của homeomorphisms, gọi là
bảng xếp hạng, σi: Ui → Oi = σi (Ui), với các tài sản sau đây của quá trình chuyển đổi trơn tru trên chồng chéo:
Đối với mỗi cặp i, j ∈ I các σj đồ -1 ◦ σi là mịn từ tập mở
σ- 1
i (Oi ∩ Oj) ⊂ Rm để Rm.
Ví dụ 2.2 Hãy S ⊂ Rn được một đa tạp m chiều trong Rn (xem Định nghĩa 1.6.1), mà chúng tôi trang bị với một tập bản đồ như trong định nghĩa 1.6.2 (như đã đề cập
dưới đây định nghĩa, chẳng hạn một atlas tồn tại). Sau đó từ luỵ 1.7 mà
cho mỗi biểu đồ σ hình ảnh O = σ (U) là mở trong S và σ: U → O là một đồng phôi. Hơn nữa, nó sau từ Định lý 1.8 rằng việc chuyển đổi
bản đồ được mịn màng. Do đó atlas này vào S là một tập bản đồ trơn theo
Định nghĩa 2.2.1