BASIS STEP: Suppose that the greedy

BASIS STEP: Suppose that the greedy algorithm managed to schedule just one talk, t1, in
the main lecture hall. This means that no other talk can start at or after e1, the end time of t1.
Otherwise, the first such talk we come to as we go through the talks in order of nondecreasing
end times could be added. Hence, at time e1 each of the remaining talks needs to use the main
lecture hall because they all start before e1 and end after e1. It follows that no two talks can be
scheduled because both need to use the main lecture hall at time e1. This shows that P (1) is
true and completes the basis step.
INDUCTIVE STEP: The inductive hypothesis is that P (k) is true, where k is an arbitrary
positive integer, that is, that the greedy algorithm always schedules the most possible talks
when it selects k talks, where k is a positive integer, given any set of talks, no matter how
many. We must show that P (k + 1) follows from the assumption that P (k) is true, that is, we
must show that under the assumption of P (k), the greedy algorithm always schedules the most
possible talks when it selects k + 1 talks.
Now suppose that the greedy algorithm has selected k + 1 talks. Our first step in completing
the inductive step is to show there is a schedule including the most talks possible that contains
talk t1, a talk with the earliest end time. This is easy to see because a schedule that begins with
the talk ti in the list, where i > 1, can be changed so that talk t1 replaces talk ti. To see this, note
that because e1 ≤ ei, all talks that were scheduled to follow talk ti can still be scheduled.
Once we included talk t1, scheduling the talks so that as many as possible are scheduled
is reduced to scheduling as many talks as possible that begin at or after time e1. So, if we
have scheduled as many talks as possible, the schedule of talks other than talk t1 is an optimal
schedule of the original talks that begin once talk t1 has ended. Because the greedy algorithm
schedules k talks when it creates this schedule, we can apply the inductive hypothesis to conclude
that it has scheduled the most possible talks. It follows that the greedy algorithm has scheduled
the most possible talks, k + 1, when it produced a schedule with k + 1 talks, so P (k + 1) is
true. This completes the inductive step.
We have completed the basis step and the inductive step. So, by mathematical induction we
know that P (n) is true for all positive integers n. This completes the proof of optimality. That is,
we have proved that when the greedy algorithm schedules n talks, when n is a positive integer,
then it is not possible to schedule more than n talks. ▲
CREATIVE USES OF MATHEMATICAL INDUCTION Mathematical induction can often
be used in unexpected ways. We will illustrate two particularly clever uses of mathematical
induction here, the first relating to survivors in a pie fight and the second relating to tilings with
regular triominoes of checkerboards with one square missing.
EXAMPLE 13 Odd Pie Fights An odd number of people stand in a yard at mutually distinct distances.
At the same time each person throws a pie at their nearest neighbor, hitting this person. Use
mathematical induction to show that there is at least one survivor, that is, at least one person
who is not hit by a pie. (This problem was introduced by Carmony [Ca79]. Note that this result
is false when there are an even number of people; see Exercise 75.)
Solution: Let P (n) be the statement that there is a survivor whenever 2n + 1 people stand in
a yard at distinct mutual distances and each person throws a pie at their nearest neighbor. To
prove this result, we will show that P (n) is true for all positive integers n. This follows because
as n runs through all positive integers, 2n + 1 runs through all odd integers greater than or equal
326 5 / Induction and Recursion
to 3. Note that one person cannot engage in a pie fight because there is no one else to throw the
pie at.
BASIS STEP: When n = 1, there are 2n + 1 = 3 people in the pie fight. Of the three people,
suppose that the closest pair are A and B, and C is the third person. Because distances between
pairs of people are different, the distance between A and C and the distance between B and C are
both different from, and greater than, the distance between A andB. It follows that A andB throw
pies at each other, whileC throws a pie at either A orB, whichever is closer. Hence,C is not hit by
a pie. This shows that at least one of the three people is not hit by a pie, completing the basis step.
INDUCTIVE STEP: For the inductive step, assume that P (k) is true for an arbitrary odd
integer k with k ≥ 3. That is, assume that there is at least one survivor whenever 2k + 1 people
stand in a yard at distinct mutual distances and each throws a pie at their nearest neighbor. We
must show that if the inductive hypothesis P (k)is true, then P (k + 1), the statement that there is
at least one sur

Kết quả (Việt) 2:

CƠ SỞ BƯỚC: Giả sử rằng các thuật toán tham lam được quản lý lịch trình chỉ là một chuyện, t1, tại
giảng đường chính. Điều này có nghĩa rằng không có nói chuyện khác có thể bắt đầu từ hoặc sau e1, thời gian kết thúc của t1.
Nếu không, nói chuyện như vậy đầu tiên chúng tôi đến khi chúng tôi đi qua các cuộc đàm phán để các nondecreasing
lần cuối cùng có thể được thêm vào. Do đó, vào thời điểm e1 mỗi cuộc đàm phán còn lại cần phải sử dụng các chính
giảng đường vì tất cả họ đều bắt đầu trước khi e1 và kết thúc sau e1. Nó sau đó không có hai cuộc đàm phán có thể được
dự kiến bởi vì cả hai cần phải sử dụng các giảng đường chính vào thời điểm e1. Điều này cho thấy rằng P (1) là
đúng sự thật và hoàn thành các bước cơ bản.
Bước quy nạp: Giả thuyết quy nạp là P (k) là đúng, với k là một tùy ý
số nguyên dương, đó là, rằng các thuật toán tham lam luôn lịch sự nhất có thể cuộc đàm phán
khi nó chọn cuộc đàm phán k, với k là một số nguyên dương, cho bất kỳ bộ đàm, bất kể có bao
nhiêu. Chúng ta phải thấy rằng P (k + 1) sau từ giả định rằng P (k) là đúng, nghĩa là chúng ta
phải thấy rằng theo giả định của P (k), thuật toán tham lam luôn lịch sự nhất
cuộc đàm phán có thể khi nó chọn k + 1 đàm phán.
Bây giờ giả sử rằng các thuật toán tham lam đã chọn k + 1 đàm phán. Bước đầu tiên của chúng tôi trong việc hoàn thành
các bước quy nạp là để cho thấy có một lịch trình bao gồm hầu hết các cuộc đàm phán có thể chứa
talk t1, một cuộc nói chuyện với thời gian kết thúc sớm nhất. Điều này là dễ thấy vì một lịch trình bắt đầu với
các ti nói chuyện trong danh sách, trong đó i> 1, có thể được thay đổi để nói chuyện t1 thay thế nói ti. Để thấy điều này, lưu ý
rằng vì e1 ≤ ei, tất cả các cuộc đàm phán đã được lên kế hoạch để theo dõi cuộc nói chuyện ti vẫn có thể được sắp xếp.
Khi chúng tôi bao gồm nói chuyện t1, lập lịch trình các cuộc đàm phán để càng nhiều càng tốt được dự kiến
sẽ giảm được thời gian trong khi nhiều cuộc đàm phán như có thể là bắt đầu vào hoặc sau thời gian e1. Vì vậy, nếu chúng ta
đã lên kế hoạch như nhiều cuộc đàm phán càng tốt, lịch trình của các cuộc đàm phán khác hơn là nói chuyện t1 là một tối ưu
lịch trình của các cuộc đàm phán ban đầu mà bắt đầu một lần nói chuyện t1 đã kết thúc. Bởi vì các thuật toán tham lam
lịch k nói khi nó tạo ra lịch trình này, chúng ta có thể áp dụng các giả thuyết quy nạp để kết luận
rằng nó đã lên kế hoạch các cuộc đàm phán có thể nhất. Nó sau đó các thuật toán tham lam đã lên kế hoạch
các cuộc đàm phán có thể nhất, k + 1, khi nó tạo ra một lịch trình với k + 1 đàm phán, do đó P (k + 1) là
đúng. Điều này hoàn thành các bước quy nạp.
Chúng tôi đã hoàn thành các bước cơ bản và các bước quy nạp. Vì vậy, bằng quy nạp toán học, chúng tôi
biết rằng P (n) là đúng cho tất cả các số nguyên dương n. Điều này hoàn thành các giấy tờ chứng minh tính tối ưu. Đó là,
chúng tôi đã chứng minh rằng khi lịch trình thuật toán tham lam n đàm phán, khi n là một số nguyên dương,
sau đó nó không phải là thể lịch hơn cuộc đàm phán n. ▲
SỬ DỤNG CREATIVE HÀNH TOÁN KHỞI toán cảm ứng thường có thể
được sử dụng trong những cách bất ngờ. Chúng tôi sẽ minh họa cho hai công dụng đặc biệt thông minh của toán học
cảm ứng ở đây, là người đầu tiên liên quan đến những người sống sót trong một cuộc chiến bánh và các thứ liên quan đến tilings với
triominoes thường xuyên của Checkerboards với một hình vuông thiếu.
Ví dụ 13 Odd Pie Trận Một số lẻ của người đứng trong một sân ở khoảng cách hai bên khác nhau.
Đồng thời mỗi người ném một chiếc bánh tại xóm gần nhất của họ, đánh người này. Sử dụng
quy nạp toán học để chứng minh rằng có ít nhất một người sống sót, đó là, ít nhất một người
mà không được trúng một chiếc bánh. (Vấn đề này đã được giới thiệu bởi Carmony [Ca79] Lưu ý rằng kết quả này.
Là sai khi có một số thậm chí của nhân dân; xem bài tập 75.)
Giải pháp: Cho P (n) là tuyên bố rằng có một người sống sót bất cứ khi nào 2n + 1 người đứng trong
một bãi ở những khoảng cách lẫn nhau riêng biệt và mỗi người ném một chiếc bánh tại xóm gần nhất của họ. Để
chứng minh kết quả này, chúng ta sẽ thấy rằng P (n) là đúng cho tất cả các số nguyên dương n. Điều này sau vì
khi n chạy qua tất cả các số nguyên dương, 2n + 1 chạy qua tất cả các số nguyên lẻ lớn hơn hoặc bằng
326 5 / cảm ứng và Recursion
đến 3. Lưu ý rằng một người không thể tham gia vào một cuộc chiến bánh vì không có ai khác để ném những
chiếc bánh ít.
CƠ SỞ BƯỚC: Khi n = 1, có 2n + 1 = 3 người trong cuộc chiến bánh. Trong ba người,
giả sử rằng các cặp gần nhất là A và B, và C là người thứ ba. Bởi vì khoảng cách giữa các
cặp người đều khác nhau, khoảng cách giữa A và C và khoảng cách giữa B và C là
cả khác nhau từ, và lớn hơn, khoảng cách giữa A andB. Nó sau đó A andB ném
bánh vào nhau, whileC ném một chiếc bánh ở hai Orb, nào là gần gũi hơn. Do đó, C không phải là hit của
một chiếc bánh. Điều này cho thấy rằng ít nhất một trong ba người không phải là hit của một chiếc bánh, hoàn thành các bước cơ bản.
Bước quy nạp: Đối với các bước quy nạp, cho rằng P (k) là đúng đối với một số lẻ tùy ý
số nguyên k với k ≥ 3. Đó là, giả sử rằng có ít nhất một người sống sót bất cứ khi nào 2k + 1 người
đứng ở một sân ở những khoảng cách lẫn nhau riêng biệt và mỗi ném một chiếc bánh tại xóm gần nhất của họ. Chúng ta
phải thấy rằng nếu giả thuyết quy nạp P (k) là đúng, thì P (k + 1), tuyên bố rằng có
ít nhất một sur