Differential FormsOur discussions w

Differential Forms
Our discussions will take place in lRn. We’ll use (x1; : : : ; xn) as coordinates, and write x
for the point (x1; : : : ; xn). We will define a 0-form ! to be simply a function on lRn, so
! = f(x1; : : : ; xn):
That’s all there is to say about 0-forms.
A basic or elementary 1-form in lRn is an expression like dxi, where 1 ≤ i ≤ n. More
generally, a 1-form ! is an expression like
! = F1(x) dx1 + F2(x) dx2 + · · · Fn(x) dxn
2where the Fi are functions of x. You’ve actually encountered 1-forms before, when we did
Green’s theorem. Recall that Green’s Theorem said
∫D (@F @x2 − @F @y1 ) dx dy = ∫@D F1(x; y) dx + F2(x; y) dy:
The integrand on the right is an example of a 1-form.
A differential 1-form is not a passive object, but in fact can be thought of as a kind of
function." The basic 1-form dxi accepts as input a single vector v and outputs vi, the ith
component of v, so
dxi(v) = vi:
A general 1-form ! = F1(x) dx1 + · · · Fn(x) dxn acts on a single input vector v as
!(v) = F1(x)v1 + · · · Fn(x)vn:
You can add two 0-forms in the obvious way (as functions). You can similarly add two
1-forms, e.g.,
(x2 2 dx1 + ex1 dx2) + (2 dx1 − x1 dx2) = (x2 2 + 2) dx1 + (ex1 − x1) dx2:
A basic differential 2-form ! is an expression like
! = dxi ^ dxj
where 1 ≤ i; j ≤ n. The symbol ^ denotes what is called the wedge or exterior product.
Don’t worry too much about what it means (yet); in the end it will mean essentially just
dxidxj, an object suitable to stick under a double integral.
Like 1-forms, 2-forms also act on vectors. A basic two form ! = dxi ^ dxj accepts as
input TWO vectors v1 and v2. The output is the determinant
!(v1; v2) = dxi ^ dxj(v1; v2) = det [ dx dxi j( (v v1 1) ) dx dxi j( (v v2 2) ) ]
Based on the properties for the determinant that we’ve seen, you can immediately conclude that
• dxi ^ dxj = −dxj ^ dxi
• dxi ^ dxi = 0
This raises an interesting question: How many different 2-forms are there in n dimensions?"
If you count all possible combinations for 1 ≤ i; j ≤ n for dxi ^ dxj you get n2, but in fact n
of these are really zero. That leaves n2 − n possible 2-forms, although in some sense there is
only half that many, for the second property above shows that, e.g., dx1 ^dx2 = −dx2 ^dx1.
There are thus only (n2 − n)=2 half this many independent" 2-forms.
A (general) differential 2-form is an expression of the form
! = F12(x)dx1 ^ dx2 + F13(x)dx1 ^ dx3 + · · · Fn−1;n(x)dxn−1 ^ dxn = ∑
1≤i

Kết quả (Việt) 1:

Khác biệt giữa các hình thứcCác cuộc thảo luận sẽ diễn ra tại lRn. Chúng tôi sẽ sử dụng (x1;:::; xn) là tọa độ, và viết xcho các điểm (x1;:::; xn). Chúng tôi sẽ xác định một hình thức 0! để là chỉ đơn giản là một chức năng trên lRn, vì vậy! = f (x1;:::; xn):Đó là tất cả có là để nói về hình thức 0.Một cơ bản hoặc trường tiểu học 1 mẫu trong lRn là một biểu hiện như dxi, nơi 1 ≤ i ≤ n. Thêmnói chung, một 1-hình thức! là một biểu hiện giống như! = F1(x) dx1 + F2(x) dx2 + · · · FN(x) dxn2where Fi chức năng của x là. Bạn thực sự đã gặp phải 1-hình thức trước đó, khi chúng tôi đã làmĐịnh lý Green's. Nhớ lại rằng màu xanh lá cây của định lý nói.∫D (@F @x2 − @F @y1) dx dy = ∫@D F1(x; y) dx + F2 (x; y) dy:Integrand bên phải là một ví dụ về một mẫu 1.Khác biệt 1, hình thức không phải là một đối tượng thụ động, nhưng trong thực tế có thể được dùng như một loại củafunction." Dxi 1-hình thức cơ bản chấp nhận như là đầu vào v véc tơ duy nhất và kết quả đầu ra vi, iththành phần của v, vì vậyDXi(v) = vi:Một chung 1 mẫu! = F1(x) dx1 + · · · FN(x) dxn hoạt động trên một đơn nhập vectơ v như! (v) = F1 (x)v1 + · · · FN (x)vn:Bạn có thể thêm các hình thức 0 hai cách rõ ràng (như chức năng). Tương tự như vậy bạn có thể thêm hai1-hình thức, ví dụ:(x2 2 dx1 + ex1 dx2) + (2 dx1 − x1 dx2) = (x 2 2 + 2) dx1 + dx2 (ex1 − x 1):Một cơ bản differential 2 mẫu! là một biểu hiện giống như! = dxi ^ dxjnơi 1 ≤ i; j ≤ n. Biểu tượng ^ là bắt những gì được gọi là các sản phẩm nêm hoặc bên ngoài.Đừng lo lắng quá nhiều về ý nghĩa của nó (chưa); cuối cùng nó sẽ có nghĩa là về cơ bản chỉdxidxj, một đối tượng phù hợp để dính dưới một tích phân kép.Giống như 1-hình thức, hình thức 2 cũng hành động vector. Một hình thức hai cơ bản! = dxi ^ dxj chấp nhận như làđầu vào HAI vectơ v1 và v2. Đầu ra là định thức! (v1; v2) = dxi ^ dxj (v1; v2) = det [dx dxi j ((v v1 1)) dx dxi j ((v v2 2))]Dựa trên thuộc tính của yếu tố quyết định mà chúng tôi đã nhìn thấy, bạn có thể ngay lập tức kết luận rằng• dxi ^ dxj = −dxj ^ dxi• dxi ^ dxi = 0Điều này làm tăng một câu hỏi thú vị: How nhiều 2-hình thức khác nhau có trong không gian n chiều? "Nếu bạn đếm tất cả các kết hợp có thể cho 1 ≤ i; j ≤ n cho dxi ^ dxj bạn nhận được n2, nhưng trong thực tế nsố này là thực sự không. Đó lá n2 − n có thể 2-hình thức, mặc dù trong một số ý nghĩa đóchỉ có một nửa nhiều, cho tài sản thứ hai ở trên cho thấy rằng, ví dụ như, dx1 ^ dx2 = −dx2 ^ dx1.Như vậy là duy nhất (n2 − n) = 2 nửa nhiều independent "2-hình thức.Một khác biệt (nói chung) 2-hình thức là một biểu hiện của các hình thức! = F12 (x)dx1 ^ dx2 + F13 (x)dx1 ^ dx3 + · · · FN−1; n (x)dxn−1 ^ dxn = ∑1≤iFij (x)dxi ^ dxj:3Notice rằng chúng tôi có thể luôn luôn giả định rằng tôi < j trong tổng số nêu trên, nếu chúng tôi đã có j < tôi chúng ta có thểchỉ đơn giản là trao đổi thứ tự của dxj ^ dxi và thay thế nó bằng −dxi ^ dxj.Bạn có thể đoán như thế nào như vậy một 2 mẫu hành vi trên hai vectơ đầu vào:! (v1; v2) = ∑1≤iFij (x)dxi ^ dxj (v1; v2) = ∑i; j > tôiFij (x)det [dx dxi j ((v v1 1)) dx dxi j ((v v2 2))]Ví dụ 2: cho phép! biểu thị 2 hình thức ba chiều! = (x1 + 2 x 3) dx1 ^ dx2 + x2dx1 ^ dx3:Hãy tính toán! áp dụng cho các vectơ v1 = (1; 3; 3), v2 = (−1; 0; 7). Bạn nhận được! (v1; v2) = (x1 + 2 x 3) det [dx dx1 2 ((v v1 1)) dx dx1 2 ((v v2 2))] + x2 det [dx dx1 3 ((v v1 1)) dx dx1 3 ((v v2 2))]= (x1 + 2 x 3) det [1 3 0 −1] + x2 det [1 3 7 −1]= 3 (x1 + 2 x 3) + 10 x 2 = 3 x 1 + 10 x 2 + 6 x 3:Bây giờ chúng tôi đã sẵn sàng cho định nghĩa của k-hình thức cơ bản: k-hình thức cơ bản! n chiều làmột biểu hiện của các hình thức! = dxi1 ^ dxi2 ^ · · · ^ dxiknơi 1 ≤ ij ≤ n cho tất cả j. Như vậy một k mẫu chấp nhận như là đầu vào k vectơ v1;:::; VK để cung cấp cho đầu ra! (v1;:::; vk) = det266664dxi1(v1) dxi1(v2) · dxi1(VK)dxi2(v1) dxi2(v2) · dxi2(VK)............dxik(v1) dxik(v2) · dxik(VK)377775Bằng cách sử dụng các thuộc tính của yếu tố quyết định mà chúng tôi đã rút ra, nó rất dễ dàng để thấy rằngdxi1 ^ · · · ^ dxij ^ · · · dxik ^ · · · ^ dxim = −dxi1 ^ · · · ^ dxik ^ · · · dxij ^ · · · ^ dxim (1)dxi1 ^ · · · ^ dxij ^ · · · dxij ^ · · · ^ dxim = 0 (2)Cho hai sự kiện trên, nó là thú vị để chiêm ngưỡng how câu hỏi nhiều độc lập k-hình thức cơ bản có n chiều?" Nó không phải là quá khó để tìm ra, vì vậy tôi sẽ để lạinó cho bạn.K (tổng hợp)-mẫu! là một biểu hiện của các hình thức! = ∑1≤I1;:::; ik≤nFi1;:::; ik (x)dxi1 ^ dxi2 ^ · · · ^ dxik: (3)Chấp nhận như một k mẫu k nhập vectơ để sản xuất! (v1;:::; vk) = ∑1≤I1;:::; ik≤nFi1;:::; ik (x)dxi1 ^ dxi2 ^ · · · ^ dxik (v1;:::; vk):4With ký hiệu này, nó rất dễ dàng để xem lý do tại sao một chức năng được gọi là một hình thức 0 | nó không chấp nhận bất kỳnhập vectơ.Lồng ghép các hình thức khác biệt

Kết quả (Việt) 2:

Differential Forms
các cuộc thảo luận của chúng tôi sẽ diễn ra tại LRN. Chúng tôi sẽ sử dụng (x1;:::; xn) là tọa độ, và viết x
cho các điểm (x1;:::; xn). Chúng tôi sẽ xác định một 0-hình thức! đơn giản là một chức năng trên LRN, vì vậy
! = F (x1;:::; xn):
. Đó là tất cả là để nói về 0-hình thức
A 1 dạng cơ bản hoặc tiểu học ở LRN là một biểu hiện như DXi, trong đó 1 ≤ i ≤ n. Nhiều
chung, một 1-hình thức! là một biểu hiện giống như
! = F1 (x) DX1 + F2 (x) DX2 + · · · Fn (x) DXN
2where những Fi là hàm của x. Bạn đã thực sự gặp phải 1 hình thức trước đây, khi chúng tôi đã làm
Định lý Green. Nhớ lại rằng Định lý Green nói
∫D (@F @ x2 - @F @ y1) dx dy = ∫ @ D F1 (x; y) dx + F2 (x; y) dy:
Các tích phân trên bên phải là một ví dụ về một 1-mẫu.
một khác biệt 1 hình thức không phải là một đối tượng thụ động, nhưng trong thực tế có thể được dùng như một loại
chức năng. "các cơ bản 1 dạng DXi chấp nhận như là đầu vào một đơn vector v và đầu ra vi, thứ i
thành phần của v, vì vậy
DXi (v) = vi:
! A chung 1 dạng = F1 (x) DX1 + · · · Fn (x) các hành vi DXN trên v vector đơn đầu vào như
! (v) = F1 (x) v1 + · · · Fn (x) vn:
. Bạn có thể thêm hai 0-hình thức một cách rõ ràng (như các chức năng) Bạn tương tự có thể thêm hai
1-hình thức, ví dụ như,
(x2 2 DX1 + EX1 DX2) + (2 DX1 - x1 DX2) = (x2 2 + 2) DX1 + (EX1 - x1) DX2:
! một khác biệt cơ bản 2 hình thức là một biểu thức như
= DXi ^ dxj!
đó 1 ≤ i; j ≤ n biểu tượng ^ biểu thị là gì. gọi là nêm hoặc sản phẩm bên ngoài.
Đừng lo lắng quá nhiều về những gì nó có nghĩa là (chưa), cuối cùng nó sẽ có nghĩa là về cơ bản chỉ
dxidxj, một đối tượng thích hợp để dính dưới một thể thiếu đôi.
giống như 1 hình thức, 2 hình thức cũng hành động trên vectơ. Một hình thức cơ bản hai! = DXi ^ dxj nhận làm
đầu vào hAI vector v1 và v2. Đầu ra là yếu tố quyết định
(v1; v2)! = DXi ^ dxj (v1; v2) = det [dx DXi j ((v v1 1)) dx DXi j ((v v2 2))]
Dựa trên các thuộc tính cho yếu tố quyết định mà chúng ta đã thấy, bạn ngay lập tức có thể kết luận rằng
• DXi ^ dxj = -dxj ^ DXi
• DXi ^ DXi = 0
Điều này đặt ra một câu hỏi thú vị: bao nhiêu khác nhau 2 hình thức là có trong kích thước n "?
Nếu bạn đếm tất cả các kết hợp có thể cho 1 ≤ i; j ≤ n cho DXi ^ dxj bạn nhận được n2, nhưng trên thực tế n
trong số này là thực sự không Vậy là n2 - n 2 hình thức có thể, mặc dù theo một nghĩa nào đó là.
chỉ có một nửa là nhiều, cho tài sản thứ hai ở trên cho thấy rằng, ví dụ như, DX1 ^ DX2 = -dx2 ^ DX1.
có như vậy, chỉ (n2 - n). = 2 hiệp này nhiều độc lập "2 hình thức
A (nói chung) khác biệt giữa 2 hình thức là một biểu hiện của hình thức
! = F12 (x) DX1 ^ DX2 + F13 (x) DX1 ^ DX3 + · · · Fn-1; n (x) DXN-1 ^ DXN = Σ
1≤iFij (x) DXi ^ dxj:
3Notice rằng chúng tôi luôn luôn có thể giả định rằng i <j trong tổng trên, vì nếu chúng ta có j <i chúng ta có thể
chỉ đơn giản là trao đổi thứ tự của dxj ^ DXi và thay thế nó bằng -dxi ^ dxj.
Bạn có thể đoán như thế nào như 2 hình thức hành vi trên hai vectơ đầu vào:
! (v1; v2) = Σ
1≤iFij (x) DXi ^ dxj (v1; v2) = Σ
i; j> i
fij (x) det [dx DXi j ((v v1 1)) dx DXi j ((v v2 2))]
Ví dụ 2: Hãy ! biểu thị 2 dạng ba chiều
! = (X1 + 2x3) DX1 ^ DX2 + x2dx1 ^ DX3:
Hãy tính toán! áp dụng cho các vector v1 = (1; 3; 3), v2 = (-1; 0; 7). Bạn nhận được
(v1; v2)! = (X1 + 2x3) det [dx DX1 2 ((v v1 1)) dx DX1 2 ((v v2 2))] + x2 det [dx DX1 3 ((v v1 1) ) dx DX1 3 ((v v2 2))]
= (x1 + 2x3) det [1 3 0 -1] + x2 det [1 3 7 -1]
= 3 (x1 + 2x3) + 10x2 = 3x1 + 10x2 + 6x3:
Bây giờ chúng tôi đã sẵn sàng cho các định nghĩa của một k-hình thức cơ bản: một k-hình thức cơ bản! trong n chiều là
một biểu hiện của hình thức
! = Dxi1 ^ ^ DXi2 · · · ^ dxik
đó 1 ≤ ij ≤ n với mọi j. K hạn chẳng hạn chấp nhận như là đầu vào k vectơ v1; :::; vk để cung cấp cho sản lượng
! (v1; :::; vk) = det
266.664
dxi1 (v1) dxi1 (v2) · · · dxi1 (vk)
DXi2 (v1) DXi2 (v2) · · · DXi2 (vk)
...
...
...
...
dxik (v1) dxik (v2) · · · dxik (vk)
377.775
Bằng cách sử dụng các thuộc tính của yếu tố quyết định mà chúng ta đã suy luận, thật dễ dàng để thấy rằng
dxi1 ^ · · · ^ dxij ^ · · · dxik ^ · · · ^ = dxim -dxi1 ^ · · · ^ ^ dxik · · · dxij ^ · · · ^ dxim (1)
dxi1 ^ · · · ^ ^ dxij · · · dxij ^ · · · ^ dxim = 0 (2)
Căn cứ vào hai sự kiện trên, thật thú vị khi chiêm ngưỡng các câu hỏi bao nhiêu độc lập cơ bản k-hình thức đang có trong kích thước n? "nó không quá khó để tìm ra, vì vậy tôi sẽ để lại
nó cho bạn .
! A (tổng hợp) k-hình thức là một biểu thức có dạng
= Σ!
1≤i1; :::; ik≤n
fI1; :::; ik (x) dxi1 ^ ^ DXi2 · · · ^ dxik: ( 3)
một k-hình thức như vậy chấp nhận k vectơ đầu vào để sản xuất
(v1;! :::; vk) = Σ
1≤i1; :::; ik≤n
fI1; :::; ik (x) dxi1 ^ ^ DXi2 · · · ^ dxik (v1; :::; vk):
4With ký hiệu này, thật dễ dàng để xem lý do tại sao một chức năng được gọi là một dạng 0 | nó không chấp nhận bất kỳ
vector đầu vào.
Tích hợp hình thức phân biệt