As in the case of functions of one

As in the case of functions of one variable, not all stationary points need give extreme values, because of the possibility of points of inflection. In the case of functions of n variables, there is the further possibility that a stationary value may be a saddle point, at which the function takes on a maximum with respect to changes in some of the x-values and a minimum with respect to others. For example, consider the case of a function of two variables. Holding one variable
constant, say x2, it becomes a function of x1 only. If at some x1 = x∗ we have f1(x∗, x¯2) = 0, where x¯2 is the fixed value of x2, then we know from the discussion in chapter 6 that this could correspond to a minimum, a maximum, or a point
of inflection of the function, thought of only as a function of x1. Likewise, if we fix the value of x1 and consider the function only as a function of a single variable, x2, the point at which f2(x¯1, x∗) = 0 could correspond to a minimum, a maximum, or a point of inflection of this function. A further difficulty occurs
when considering the possibility of allowing both x1 and x2 to change in moving away from the point (x∗, x∗). The complications that can arise are similar to
1 2
those associated with the function f(x1, x2) = x2 + x2 − 5x1x2 discussed in
1 2
example 11.24 and figure 11.18. This function appears to possess a minimum
point at (x∗, x∗) = (0, 0) as one changes x1 only or x2 only, with the function being
1 2


convex in each of these two directions.

Kết quả (Việt) 1:

Trong trường hợp các chức năng của một biến, không phải tất cả các điểm cố định cần cho cực giá trị, vì khả năng điểm uốn. Trong trường hợp các chức năng của n biến số, đó là khả năng thêm một giá trị cố định có thể là một điểm yên, mà tại đó các chức năng có tối đa đối với các thay đổi trong một số các giá trị x và tối thiểu đối với những người khác. Ví dụ, hãy xem xét trường hợp của một chức năng của hai biến. Đang nắm giữ một biến««liên tục, nói rằng x 2, nó sẽ trở thành một chức năng của x1 chỉ. Nếu ở một số x1 = x∗ ta f1 (x∗, x¯2) = 0, nơi x¯2 là giá trị cố định của x2, sau đó chúng tôi biết từ cuộc thảo luận trong chương 6 điều này có thể tương ứng mức tối thiểu, tối đa một hoặc một điểmcủa biến tố chức năng, chỉ như là một chức năng của x1. Tương tự như vậy, nếu chúng ta sửa giá trị của x1 và xem xét các chức năng chỉ như là một chức năng của một biến duy nhất, x2, điểm mà f2 (x¯1, x∗) = 0 có thể tương ứng với mức tối thiểu, tối đa, hoặc một điểm uốn của chức năng này. Một khó khăn hơn nữa xảy raKhi xem xét khả năng cho phép cả x1 và x2 để thay đổi trong di chuyển ra khỏi các điểm (x∗, x∗). Các biến chứng có thể phát sinh là tương tự như1 2những liên kết với hàm số f (x1, x2) = x2 + x2 − 5 x 1 x 2 thảo luận1 2Ví dụ 11,24 và hình 11.18. Chức năng này dường như có tối thiểuđiểm (x∗, x∗) = (0, 0) như là một thay đổi x1 chỉ hoặc x2 chỉ, với chức năng1 2 lồi ở mỗi người trong số những hai hướng.

Kết quả (Việt) 2:

Như trong trường hợp của các chức năng của một biến, không phải tất cả các điểm dừng cần cung cấp cho giá trị cực đoan, vì khả năng của điểm uốn. Trong trường hợp của các chức năng của biến n, có khả năng thêm rằng một giá trị cố định có thể là một điểm yên ngựa, mà tại đó các chức năng có trên tối đa đối với những thay đổi trong một số các x-giá trị và tối thiểu đối với những người khác với . Ví dụ, hãy xem xét trường hợp của một chức năng của hai biến. Giữ một biến
liên tục, nói x2, nó trở thành một chức năng duy nhất x1. Nếu tại một số x1 = x * chúng ta có f1 (x *, x2) = 0, nơi x2 là giá trị cố định của x2, sau đó chúng ta biết từ các cuộc thảo luận trong chương 6 rằng điều này có thể tương ứng với một mức tối thiểu, một tối đa, hoặc một điểm
của uốn của các chức năng, suy nghĩ mình chỉ là một chức năng của x1. Tương tự như vậy, nếu chúng ta sửa chữa các giá trị của x1 và xem xét các chức năng chỉ như là một chức năng của một biến duy nhất, x2, điểm mà tại đó f2 (x1, x *) = 0 có thể tương ứng với một mức tối thiểu, tối đa, hoặc một điểm uốn của chức năng này. Một khó khăn nữa xảy ra
khi xem xét khả năng cho phép cả x1 và x2 để thay đổi trong việc di chuyển đi từ điểm (x * x *). Các biến chứng có thể xảy ra tương tự như
1 2
những người liên quan với hàm f (x1, x2) = x2 + x2 - 5x1x2 thảo luận trong
1 2
ví dụ 11,24 và con số 11,18. Chức năng này xuất hiện để có một tối thiểu
điểm tại (x * x *) = (0, 0) là một chỉ hoặc x2 chỉ thay đổi x1, với chức năng là
1 2 lồi trong mỗi hai hướng này.