CHAPTER 2THE CALCULUS OF VARIATIONS

CHAPTER 2
THE CALCULUS OF VARIATIONS
The Calculus of Variations is a branch of Mathematics dealing
with optimization of functionals. The variational problem goes back to
the antiquity. The first solution seems to have been that of queen
Dido of Carthage in about 850 B.C. Virgil reported that. hav:fng been
promised all the land lying within the boundaries of a hull's hide. the
clever queen cut the hide into many thin strips. tied them together in
1
such a way as to secure as much land as possible within this boundary.
The solution is of course a circle. This is a typical isoperimetric
probleQ of the Calculus of Variations. However. it was not until the
late seventeenth century that substantial progress was made when
a rigorous solution of the brachistochrone problem was provided by
Newton. dl! 1 'Hospital. John and Jacob Bernouilli in 1696. This problem
consists of determining the shape of a curve joining A to B such that
a frictionless particle sliding along it under the influence of gravity
alone moves from A to B in the shortest time. The solution is a cycloid.
This played an important part in the development of the Calculus of
Variations. 2
In Economics, the use of the Calculus of Variations goes back
to the 1920's with the works of Evans (1924, 1930), Ramsey (1928) and
Hotelling (1931). Evans and Roos attempted to find the optimal price
path for the whole planning period such as to maximize the profit
functional of the monopolist. This is a typical problem of the Calculus of

Kết quả (Việt) 1:

CHƯƠNG 2PHÉP TÍNH BIẾN PHÂNPhép tính biến phân là một nhánh của toán học đối phóvới tối ưu hóa của functionals. Variational vấn đề đi lại chothời cổ đại. Các giải pháp đầu tiên dường như là của nữ hoàngDido của Carthage trong khoảng 850 B.C. Virgil báo cáo mà. hav:fnghứa hẹn tất cả vùng đất nằm trong ranh giới của thân được ẩn. Cácnữ hoàng thông minh cắt ẩn thành nhiều dải mỏng. ràng buộc họ với nhau1một cách để bảo vệ đất càng nhiều càng tốt trong vòng ranh giới này.Các giải pháp tất nhiên là một vòng tròn. Đây là một điển hình isoperimetricprobleQ của phép tính biến phân. Tuy nhiên. nó đã không cho đến khi cáccuối thế kỷ 17 rằng tiến bộ đáng kể đã được thực hiện khimột giải pháp nghiêm ngặt của vấn đề brachistochrone được cung cấp bởiNewton. DL! 1 ' bệnh viện. John và Jacob Bernouilli năm 1696. Vấn đề nàybao gồm việc xác định hình dạng của một đường cong tham gia A đến B sao chomột hạt frictionless trượt dọc theo nó dưới ảnh hưởng của lực hấp dẫnmột mình di chuyển từ A đến B trong thời gian ngắn nhất. Giải pháp là một cycloid.Điều này đóng một phần quan trọng trong sự phát triển của giải tích củaBiến thể. 2Trong kinh tế, việc sử dụng của phép tính biến phân đi trở lạiđến năm 1920 với các tác phẩm của Evans (1924, 1930), Ramsey (1928) vàHotelling (1931). Evans và Roos đã cố gắng để tìm thấy những giá tối ưuCác đường dẫn cho toàn bộ kế hoạch thời gian chẳng hạn như để tối đa hóa lợi nhuậnchức năng của độc. Đây là một vấn đề điển hình của giải tích của

Kết quả (Việt) 2:

CHƯƠNG 2
CÁC tích của các biến
The Calculus của Biến thể là một chi nhánh của Toán học đối phó
với tối ưu hóa của functionals. Các vấn đề biến phân đi trở lại
thời cổ. Giải pháp đầu tiên dường như đã là của nữ hoàng
Dido của Carthage trong khoảng 850 BC Virgil báo cáo đó. hav: PCPNN được
hứa tất cả các vùng đất nằm trong phạm vi ranh giới của ẩn của thân tàu. các
nữ hoàng thông minh cắt ẩn thành nhiều dải mỏng. gắn chúng lại với nhau trong
1
cách như vậy là để bảo đảm càng nhiều đất càng tốt trong vòng ranh giới này.
Các giải pháp tất nhiên là một vòng tròn. Đây là một điển hình isoperimetric
probleQ của Calculus của biến. Tuy nhiên. nó đã không được cho đến
cuối thế kỷ XVII rằng tiến bộ đáng kể đã được thực hiện khi
một giải pháp nghiêm ngặt của các vấn đề brachistochrone được cung cấp bởi
Newton. dl! 1 Bệnh viện '. John và Jacob Bernouilli trong năm 1696. Vấn đề này
bao gồm việc xác định hình dạng của một đường cong tham gia A đến B như vậy mà
một hạt có ma sát trượt dọc theo nó dưới ảnh hưởng của trọng lực
một mình di chuyển từ A đến B trong thời gian ngắn nhất. Giải pháp là một cycloid.
Điều này đóng một phần quan trọng trong sự phát triển của Calculus của
biến. 2
Trong Kinh tế, việc sử dụng các Calculus của Biến thể đi lại
đến năm 1920 với các tác phẩm của Evans (1924, 1930), Ramsey (1928) và
Hotelling (1931). Evans và Roos đã cố gắng để tìm ra mức giá tối ưu
đường dẫn cho các giai đoạn quy hoạch toàn bộ như vậy là để tối đa hóa lợi nhuận
chức năng của nhà độc quyền. Đây là một vấn đề điển hình của Calculus của