2.2 Look at the EndpointsThis secti

2.2 Look at the Endpoints
This section is about inequalities that are proved by using the fact that certain real
functions reach their extrema at the endpoints of the interval of definition. Two kinds
of functions are considered:
• linear functions, which have both extrema at the endpoints of their domain, and
• convex functions, whose maximum is attained on the boundary of the domain.
The main idea is to view an expression as a linear or convex function in each of the
variables separately and use this to bound the expression from above or below.
It is important to remark that a linear function can have interior extrema, but only
if the slope is zero, in which case the extrema are attained at the enpoints as well.
We exemplify these ideas with a problem that appeared at a Romanian Team Selection
Test for the InternationalMathematical Olympiad in 1980.
Given a positive number a, find the maximum of
nΣ
k=1
(a−a1)(a−a2) · · · (a−ak−1)ak(a−ak+1) · · · (a−an),
where a1, a2, . . ., an range independently over the interval [0,a].
For an index k, fix a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1, . . . ,an, and think of the given expression
as a function in ak. This function is linear, hence its maximum on the interval [0,a]
is attained at one of the endpoints. Repeating the argument for each variable, we conclude
that the expression reaches its maximum for a certain choice of ak = 0 or a,
k = 1,2, . . . ,n.
If all ak’s are equal to 0, or if two or more ak’s are equal to a, the sum is 0. If one
ak is a and the others are 0, the expression is equal to an; hence this is the desired
maximum.
Here is an example that appeared at the W.L. Putnam Mathematical Competition,
which we solve using convex functions.
2.2. Look at the Endpoints 43
Let n be a natural number and let xi ∈ [0,1], i = 1,2, . . . , n. Find the maximum of
the sum Σi 0, prove that
(a+b+c+d+e)

1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
d
+
1
e

≤ 25+6


p
q
−


q
p
2
.
44 Chapter 2. Algebra and Analysis
9. Prove that if 1 ≤ xk ≤ 2, k = 1,2, . . . ,n, then

nΣ
k=1
xk

nΣ
k=1
1
xk

2
≤ n3.
10. Show that for all real numbers x1,x2, . . . ,xn,
nΣ
i=1
nΣ
j=1
|xi+xj| ≥ n
nΣ
i=1
|xi|.
11. Prove that x2 +y2+z2 ≤ xyz+2 where x,y, z ∈ [0,1].
12. Prove that the area of a triangle lying inside the unit square does not exceed 1/2.
13. Let P = A1A2 · · ·An be a convex polygon. For each side AiAi+1, let Ti be the
triangle of largest area having AiAi+1 as a side and another vertex of the polygon
as its third vertex. Let Si be the area of Ti, and S the area of the polygon. Prove
that ΣSi ≥ 2S.
14. Show that if x,y, z ∈ [0,1], then x2+y2+z2 ≤ x2y+y2z+z2x+1.
15. The numbers x1,x2, . . . ,x1997 belong to the interval [−√1
3 ,
√
3] and sum up to
−318
√
3. Find the greatest possible value of x12
1 +x12
2 +· · ·+x12
1997.

Kết quả (Việt) 1:

2.2 nhìn là hai điểm cuốiPhần này là về sự bất bình đẳng mà được chứng minh bằng cách sử dụng một thực tế rằng một số bấtchức năng tiếp cận của extrema tại là hai điểm cuối của khoảng thời gian định nghĩa. Hai loạichức năng được coi là:• chức năng tuyến tính, có cả hai extrema là hai điểm cuối của tên miền của họ, và• chức năng lồi, có tối đa đạt được trên ranh giới của vùng.Mục đích chính là để xem một biểu hiện như là một hàm tuyến tính hoặc lồi ở mỗi người trong số cácbiến một cách riêng biệt và sử dụng điều này để ràng buộc các biểu hiện từ phía trên hoặc dưới đây.Nó là quan trọng để nhận xét rằng một hàm tuyến tính có thể có nội thất extrema, nhưng chỉNếu dốc là zero, trong trường hợp extrema đang đạt được tại enpoints là tốt.Chúng tôi sao lục các ý tưởng với một vấn đề xuất hiện tại một sự lựa chọn đội tuyển RomaniaKiểm tra cho InternationalMathematical Olympic năm 1980.Đưa ra một số tích cực tìm thấy một, tối đanΣk = 1(a−a1) (a−a2) · (a−ak−1)ak(a−ak+1) · · (a−an),nơi a1, a2,..., một phạm vi độc lập trong khoảng thời gian [0, một].Cho một chỉ số k, sửa chữa a1, a2,..., ak−1, ak + 1,..., an, và suy nghĩ của biểu thức nhất địnhnhư là một chức năng trong ak. Chức năng này là tuyến tính, do đó tối đa của nó trên đoạn [0, một]đạt được tại một trong là hai điểm cuối. Lặp lại các đối số cho mỗi biến, chúng tôi kết luậnbiểu thức đạt tối đa của nó cho một sự lựa chọn nhất định của ak = 0 hoặc một,k = 1,2,..., n.Nếu tất cả ak là bằng 0, hay nếu hai hoặc nhiều ak là tương đương với một, các tổng là 0. Nếu mộtAK là một và những người khác là 0, biểu thức là tương đương với một; do đó đây là mong muốntối đa.Đây là một ví dụ mà xuất hiện tại W.L. Putnam cuộc thi toán học,mà chúng tôi giải quyết bằng cách sử dụng chức năng lồi.2.2. xem xét là hai điểm cuối 43Cho n là một số tự nhiên và để cho xi ∈ [0,1], tôi = 1,2,..., n. tìm tối đaTổng ΣiLưu ý rằng đối với một cố định một, các hàm f (x) = |x−a| là lồi. Vì vậy, nếu chúng ta giữx 2, x 3,..., xn cố định, các biểu thức là một chức năng lồi trong x 1, đang là một số tiền của lồichức năng. Để tối đa hóa nó, người ta phải chọn x 1 là một trong hai điểm cuối của cáckhoảng thời gian. Các đối số tương tự được áp dụng cho những con số khác dẫn đến kết luận rằngtối đa số tiền thu được khi tất cả xi là 0 hoặc 1. Giả sử rằng phọ là 0, và n− p 1. Tổng sau đó là tương đương với p (n− p). Nhìn vào giá trị này làmột chức năng của p, chúng ta suy ra rằng khi n là số chẵn, tối đa đạt được cho p = n/2và bằng n2/4, và khi n là lẻ, tối đa đạt được cho p = (n±1) / 2và là tương đương với (n2 −1) / 4.Dưới đây là những vấn đề khác của loại này.1. Hãy để 0 ≤ a, b, c, d ≤ 1. Chứng minh rằng(1−a) (1−b) (1−c) (1−d) + a + b + c + d ≥ 1.2. các vô số a, b, c, A, B, C, và k đáp ứng một + A = b + B = c + C = k.Chứng minh rằngaB + TCN + cA ≤ k2.3. cho 0 ≤ xk ≤ 1 cho tất cả k = 1,2,..., n. chứng minh rằngx 1 + x 2 + · · · + xn−x1x2 · · ·xn ≤ n-1.4. Tìm giá trị tối đa số tiềnSN = a1 (1−a2) + a2 (1−a3) + · · ·+an(1−a1),trong trường hợp 12≤ ai ≤ 1 cho mỗi i = 1,2,..., n.5. Hãy để n ≥ 2 và 0 ≤ xi ≤ 1 cho tất cả tôi = 1,2,..., n. Hiển thị mà(x 1 + x 2 + · + xn) − (x 1 x 2 + x 2 x 3 + · · · + xnx1) ≤n2và xác định khi có là bình đẳng.6. Hãy để a1, a2,..., a19 là số thực từ khoảng thời gian [−98, 98]. Xác định cácgiá trị tối thiểu của a1a2 + a2a3 + · + a19a1.7. chứng minh rằng cho số a, b, c trong khoảng thời gian [0,1],mộtb + c + 1+bc + một + 1+ca + b + 1+(1−a)(1−b) (1−c) ≤ 1.8. nếu a, b, c, d, e ∈ [p, q] với p > 0, chứng minh rằng(a + b + c + d + e)1một+1b+1c+1d+1e≤ 25 + 6pq−qp2.44 chương 2. Đại số và phân tích9. chứng minh rằng nếu 1 ≤ xk ≤ 2, k = 1,2,..., n, sau đónΣk = 1XKnΣk = 11XK2≤ n3.10. Hiển thị đó cho tất cả thực tế số x 1, x 2,..., xn,nΣtôi = 1nΣj = 1|Xi + xj| ≥ nnΣtôi = 1|xi|.11. chứng minh rằng x 2 + y2 + z2 ≤ xyz + 2 trường hợp x, y, z ∈ [0,1].12. chứng minh rằng diện tích của một tam giác nằm bên trong các hình vuông đơn vị không vượt quá 1/2.13. Hãy để P = A1A2 · Một là một đa giác lồi. Đối với mỗi bên AiAi + 1, cho phép Ti cácTam giác của khu vực lớn nhất có AiAi + 1 như là một bên và một đỉnh của đa giáclà đỉnh thứ ba của nó. Cho Si là tích Ti, và S diện tích của đa giác. Chứng minhđó ΣSi ≥ 2.14. Hiển thị rằng nếu x, y, z ∈ [0,1], sau đó x 2 + y2 + z2 ≤ x2y + y2z + z2x + 1.15. các số x 1, x 2,..., x 1997 thuộc về khoảng thời gian [−√13,√3] và số tiền tối đa−318√3. Tìm giá trị lớn nhất có thể của x 121 + x 122 + x 12 ·năm 1997.

Kết quả (Việt) 2:

2.2 Nhìn vào các thiết bị đầu cuối
phần này là về sự bất bình đẳng đó được chứng minh bằng thực tế là một số thực
chức năng đạt cực trị tại các điểm cuối của khoảng thời gian xác định. Hai loại
chức năng đang xem xét:
• chức năng tuyến tính, trong đó có cả hai cực trị tại các điểm cuối của tên miền của mình,
và. • hàm lồi, có tối đa đạt được trên các ranh giới của miền
Ý tưởng chính là để xem một biểu hiện như một đường thẳng hoặc hàm lồi trong từng
biến riêng biệt và sử dụng điều này để ràng buộc các biểu hiện từ phía trên hoặc bên dưới.
Điều quan trọng là phải nhận xét ​​rằng một hàm tuyến tính có thể có cực trị nội thất, nhưng chỉ
nếu độ dốc là số không, trong trường hợp đó các cực trị là đạt được tại các enpoints là tốt.
Chúng tôi minh họa cho những ý tưởng này với một vấn đề xuất hiện ở một Selection Rumani Đội
Kiểm tra cho InternationalMathematical Olympic vào năm 1980.
Với một số dương a, tìm tối đa
nΣ
k = 1
(a-a1) (a-a2 ) · · · (a-ak-1) ak (a-ak + 1) · · · (a-an),
nơi a1, a2,. . ., Một phạm vi độc lập trong khoảng [0, a].
Đối với một chỉ số k, sửa chữa a1, a2,. . . , ak-1, ak + 1,. . . , một, và suy nghĩ của các biểu thức đã cho
là một chức năng trong ak. Chức năng này là tuyến tính, do đó tối đa của nó trong khoảng [0, a]
là đạt được tại một trong những thiết bị đầu cuối. Lặp đi lặp lại các đối số cho mỗi biến, chúng tôi kết luận
rằng sự biểu đạt tối đa của nó cho một sự lựa chọn nhất định ak = 0 hoặc a,
k = 1,2,. . . ., n
Nếu tất cả của ak là bằng 0, hoặc nếu có hai hoặc nhiều hơn của ak là tương đương với một số tiền là 0. Nếu một
ak là một và những người khác là 0, biểu thức là tương đương với một; do đó điều này là mong muốn
tối đa.
Dưới đây là một ví dụ mà xuất hiện tại cuộc thi toán học Putnam WL,
mà chúng ta giải quyết bằng cách sử dụng hàm lồi.
2.2. Nhìn vào các thiết bị đầu cuối 43
Cho n là một số tự nhiên và để cho xi ∈ [0,1], i = 1,2,. . . , N. Tìm việc tối đa của
tổng ΣiLưu ý rằng với một cố định, hàm f (x) = | x-a | là lồi. Vì vậy, nếu chúng ta giữ
x2, x3,. . . , xn cố định, biểu hiện là một hàm lồi trong x1, là một tổng của lồi
chức năng. Để tối đa hóa nó, người ta phải chọn x1 là một trong những thiết bị đầu cuối của
khoảng thời gian. Lập luận tương tự áp dụng cho các số khác dẫn đến kết luận rằng
tối đa số tiền thu được khi tất cả của xi hoặc là 0 hoặc 1. Giả sử rằng p của
chúng là 0, và n- p là 1. Số là sau đó bằng p (n- p). Nhìn vào giá trị này như là
một chức năng của p, chúng ta suy ra rằng khi n là chẵn thì tối đa là đạt được cho p = n / 2
và bằng N2 / 4, và khi n là số lẻ, tối đa là đạt được cho p = ( n ± 1) / 2
và bằng (-1 n2) / 4.
Ở đây có nhiều vấn đề của loại này.
1. Hãy 0 ≤ a, b, c, d ≤ 1. Chứng minh rằng
(1-a) (1-b) (1-c) (1-d) + a + b + c + d ≥ 1.
2. Những con số không âm a, b, c, A, B, C, và k thoả mãn a + b = A + B = c + C = k.
Chứng minh rằng
aB + BC + cA ≤ k2.
3. Hãy 0 ≤ xk ≤ 1 với mọi k = 1,2,. . . , n. Chứng minh rằng
x1 + x2 + · · · + xn-x1x2 · · · xn ≤ n-1.
4. Tìm giá trị lớn nhất của tổng
Sn = a1 (1-a2) + a2 (1-a3) + · · · + một (1-a1),
nơi mà 12
≤ ai ≤ 1 với mọi i = 1,2,. . . , n.
5. Cho n ≥ 2 và 0 ≤ xi ≤ 1 với mọi i = 1,2,. . . , n. Chứng minh rằng
(x1 + x2 + · · · + xn) - (x1x2 + x2x3 + · · · + xnx1) ≤ n 2 và xác định khi có sự bình đẳng. 6. Hãy a1, a2,. . . , A19 là số thực từ khoảng [-98,98]. Xác định giá trị tối thiểu của a1a2 + a2a3 + · · · + a19a1. 7. Chứng minh rằng với số a, b, c trong khoảng [0,1], một b + c + 1 + b c + a + 1 + c a + b + 1 + (1-a) (1-b) ( 1-c) ≤ 1. 8. Nếu a, b, c, d, e ∈ [p, q] với p> 0, chứng minh rằng (a + b + c d + + e)? 1 a + 1 b + 1 c + 1 d + 1 e? ≤ 25 + 6? p q - q p 2?. 44 Chương 2. Đại số và Phân tích 9. Chứng minh rằng nếu 1 ≤ xk ≤ 2, k = 1,2,. . . , n, sau đó? nΣ k = 1 xk ?? nΣ k = 1 1 xk? 2 ≤ n3. 10. Chứng minh rằng với mọi số thực x1, x2,. . . , xn, nΣ i = 1 nΣ k = 1 | xi + xj | ≥ n nΣ i = 1 | xi |. 11. Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 ≤ xyz + 2 trong đó x, y, z ∈ [0,1]. 12. Chứng minh rằng diện tích của một hình tam giác nằm bên trong các đơn vị vuông không vượt quá 1/2. 13. Cho P = A1A2 · · · An là một đa giác lồi. Đối với mỗi bên AiAi + 1, hãy Ti là tam diện tích lớn nhất có AiAi + 1 như là một bên và một đỉnh của đa giác là đỉnh thứ ba của nó. Hãy để Si là khu vực của Ti, và S là diện tích của đa giác. Chứng minh rằng ΣSi ≥ 2S. 14. Chứng minh rằng nếu x, y, z ∈ [0,1], sau đó x2 + y2 + z2 ≤ x2y + y2z + z2x + 1. 15. Các con số x1, x2,. . . , x1997 thuộc khoảng [-√1 3, √ 3] và tổng hợp lên đến -318 √ 3. Tìm giá trị lớn nhất có thể có của x12 1 + x12 2 + · · · + x12 1997.