Let us solve a slightly more genera

Let us solve a slightly more general problem. Suppose point O is taken on circle S and H is a rotational homothety with center O. Let us prove that then all lines XX′, where X is a point from S and X′ = H(X), intersect at one point.
Let P be the intersection point of lines X1X1′ and X2X2′. By Problem 19.41 points O, P , X1 and X2 lie on one circle and points O, P , X1′ and X2′ also belong to one circle. Therefore, P is an intersection point of circles S and H(S), i.e., all lines XX′ pass through the distinct from O intersection point of circles S and H(S).

Let O be the center of a rotational homothety sending triangle A1B1C1 to triangle ABC. Let us prove that, for instance, the circumscribed circles of triangles ABC2 and A1B1C2 pass through point O. Under the considered homothety segment AB goes into segment A1B1; therefore, point O coincides with the center of the rotational homothety that maps segment AA1 to segment BB1 (see Problem 19.44). By problem 19.41 the center of the

latter homothety is the second intersection point of the circles circumscribed about triangles ABC2 and A1B1C2 (or is their tangent point).

Kết quả (Việt) 1:

Hãy để chúng tôi giải quyết một vấn đề tổng quát hơn một chút. Giả sử điểm O được thực hiện trên vòng tròn S và H là một homothety quay với Trung tâm O. Chúng ta hãy chứng minh rằng sau đó tất cả các dòng XX′, X là một điểm từ S và X′ = h (x), cắt nhau tại một thời điểm.Cho P là giao điểm của đường X1X1′ và X2X2′. Bởi vấn đề 19,41 điểm O, P, X1 và X2 nằm trên một vòng tròn và điểm O, P, x 1 ' và X2′ cũng thuộc về một vòng tròn. Vì vậy, P là một điểm giao lộ vòng tròn S và H (S), nghĩa là, tất cả các dòng XX′ qua khác biệt từ O giao điểm của vòng tròn S và H (S). Hãy để O là trung tâm của một tam giác gửi quay homothety A1B1C1 cho tam giác ABC. Chúng ta hãy chứng minh rằng, ví dụ, đường tròn của tam giác ABC2 và A1B1C2 vượt qua điểm O. Theo các phân đoạn được coi là homothety AB đi vào phân khúc A1B1; Vì vậy, điểm O trùng với tâm của homothety quay bản đồ phân đoạn AA1 đoạn BB1 (xem vấn đề 19,44). Bởi vấn đề 19,41 là trung tâm của cácsau này homothety là giao điểm thứ hai của vòng tròn định nghĩa về hình tam giác ABC2 và A1B1C2 (hoặc là điểm ốp của họ).

Kết quả (Việt) 2:

Hãy để chúng tôi giải quyết một vấn đề tổng quát hơn một chút. Giả sử điểm O được thực hiện trên vòng tròn S và H là một homothety quay với trung tâm O. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng sau đó tất cả các dòng XX ', trong đó X là một điểm từ S và X' = H (X), cắt nhau tại một điểm.
Hãy P là giao điểm của đường X1X1 'và X2X2'. Bởi vấn đề 19,41 điểm O, P, X1 và X2 nằm trên một đường tròn và các điểm O, P, X1 và X2 'cũng thuộc một đường tròn. Do đó, P là giao điểm của vòng tròn S và H (S), tức là tất cả các dòng xx 'đi qua những khác biệt với điểm O giao điểm của vòng tròn S và H (S).

Hãy để O là trung tâm của một tam giác quay homothety gửi A1B1C1 tam giác ABC. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng, ví dụ, các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC2 và A1B1C2 đi qua điểm O. Theo phân khúc homothety coi AB đi vào phân khúc A1B1; do đó, điểm O trùng với tâm của homothety quay mà các bản đồ phân khúc AA1 phân khúc BB1 (xem vấn đề 19,44). Bởi vấn đề 19,41 trung tâm của

homothety sau là giao điểm thứ hai của vòng tròn circumscribed về tam giác ABC2 và A1B1C2 (hay là điểm tiếp xúc của họ).