5. ConclusionsGoverning equations f

5. Conclusions

Governing equations for the dynamic response of a tower cranes coupled with the pendulum motion of the payload are derived based on Lagrange s equations including the dissipation function. The tower crane is modeled based on finite element method, while the pendulum motion is represented as a multi-body sys- tem. The derived equations are then simplified by the assumption of small pendulum angle, resulting in a set



of coupled differential equations with nonlinear excitation loads. These equations are essentially represent- ing the coupled engineering problem of structural dynamics and multi-body dynamics are difficult to solve analytically or numerically.
If the crane structure is assumed to be rigid, the derived governing equations correctly degenerate to nonlinear differential equations, which exactly satisfy Newton s Law of Motion for the spherical and planar pendulum motions. It is found the natural period of spherical pendulum equals to that of planar pendulum with the same length.
Based on the exact solution of pure spherical and planar pendulums, a simple first-order perturbation approach is used to further simplify the governing equations for dynamics of tower cranes with flexible structures and the pendulum motion of the payload. This perturbation-based simplification gives a set of solvable coupled equations, which are then computed based on Newmark method with iterative schemes.
Numerical studies are then carried out for a real luffing tower crane with both the spherical and the pla- nar pendulum motions of the payload. It is found the dynamic responses of the tower crane are dominated by the first two natural frequencies of crane structure and the natural frequency of the pendulum for the spherical pendulum motion. For the planar pendulum motion of the payload, the dynamic response is mainly contributed by the first three natural modes and a second harmonic of the pendulum. It is also found that the dynamic amplification factors increase with the increase of the initial pendulum angle and the changes are just slightly nonlinear for the planar pendulum motion of the payload.

Kết quả (Việt) 1:

5. kết luậnQuản phương trình cho phản ứng năng động của một tháp cần cẩu cùng với chuyển động quả lắc của trọng có nguồn gốc dựa trên Lagrange phương trình s bao gồm các chức năng tản. Các cần cẩu tháp mô hình dựa trên phương pháp phần tử finite, trong khi chuyển động quả lắc được thể hiện như một cơ thể đa sys-tem. Các phương trình có nguồn gốc sau đó là simplified của các giả định của con lắc nhỏ góc, dẫn đến một tập hợp differential cùng các phương trình với phi tuyến kích thích vô. Các phương trình cơ bản đại diện cho-ing cùng vấn đề kỹ thuật của động lực học kết cấu và cơ thể đa năng động difficult để giải quyết các phân tích hoặc numerically.Nếu cấu trúc cần cẩu được giả định là cứng nhắc, các phương trình quản lý nguồn gốc chính xác thoái hóa phương trình phi tuyến differential, chính xác đáp ứng Newton s luật chuyển động cho các chuyển động quả lắc mặt cầu và phẳng. Đó là giai đoạn tự nhiên của hình cầu quả lắc bằng với planar lắc với chiều dài tương tự được tìm thấy.Dựa trên các giải pháp chính xác của tinh khiết hình cầu và phẳng pendulums, một phương pháp nhiễu loạn thứ tự vòng đơn giản được sử dụng để tiếp tục đơn giản hóa các phương trình quản lý cho các động thái của cần cẩu tháp với RMIT cơ cấu và chuyển động quả lắc của trọng. Simplification dựa trên nhiễu loạn này cung cấp cho một tập hợp các mức cùng phương trình, sau đó tính toán dựa trên phương pháp Newmark với chương trình lặp đi lặp lại.Số học được sau đó được thực hiện cho một cẩu tháp thực sự luffing với các hình cầu và chuyển động quả lắc pla-nar của trọng. Chúng tôi tìm thấy phản ứng năng động của các cần cẩu tháp chủ yếu là các vòng hai tự nhiên tần số của cấu trúc cần cẩu và tần số tự nhiên của lắc cho chuyển động quả lắc hình cầu. Cho chuyển động quả lắc phẳng trọng, phản ứng năng động chủ yếu là đóng góp của các vòng ba phương thức tự nhiên và hài hòa thứ hai của con lắc. Nó cũng được tìm thấy rằng các yếu tố năng động amplification tăng với sự gia tăng của góc ban đầu lắc và những thay đổi chỉ cần một chút phi tuyến cho chuyển động quả lắc phẳng của trọng.

Kết quả (Việt) 2:

5. Kết luận

chỉnh các phương trình cho phản ứng năng động của một cần cẩu tháp cùng với sự chuyển động lắc của tải trọng được bắt nguồn dựa trên các phương trình Lagrange s bao gồm các chức năng tản. Các cần cẩu tháp được mô hình hóa dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn, trong khi chuyển động con lắc là đại diện như hệ đa cơ thể thống. Các phương trình có nguồn gốc là sau đó fi Simpli ed bởi giả định của góc con lắc nhỏ, dẫn đến một tập hợp



các phương trình erential di ff cùng với vô kích thích phi tuyến. Những phương trình cơ bản là represent- ing các vấn đề kỹ thuật cùng các động thái cấu trúc và động lực đa cơ thể đang di ffi sùng bái để giải quyết phân tích hoặc số lượng.
Nếu cấu trúc cẩu được giả định là cứng nhắc, các phương trình quản bắt nguồn thoái hóa một cách chính xác để phương trình di ff erential phi tuyến, mà chính xác đáp Luật Newton về Chuyển động chuyển động con lắc hình cầu và phẳng. Nó được tìm thấy thời kỳ tự nhiên của con lắc hình cầu bằng với của con lắc phẳng có cùng độ dài.
Dựa trên các giải pháp chính xác trong sạch của con lắc hình cầu và phẳng, đơn giản fi tiếp cận đầu tiên đặt hàng nhiễu loạn được sử dụng để đơn giản hóa hơn nữa các phương trình phối cho động lực của cần cẩu với cấu trúc linh hoạt fl và các chuyển động lắc của tải trọng. Simpli fi cation nhiễu loạn này dựa trên cung cấp cho một tập hợp các phương trình cốt liền tan, sau đó được tính toán dựa trên phương pháp Newmark với các chương trình lặp đi lặp lại.
Nghiên cứu bằng số này sau đó được thực hiện cho một cần cẩu tháp ffi ng ​​lu thực với cả hai hình cầu và các chuyển động nar con lắc pla- của khối hàng. Nó được tìm thấy câu trả lời động của cần cẩu tháp được chi phối bởi các fi đầu tiên hai tần số tự nhiên của cấu trúc cần cẩu và các tần số tự nhiên của con lắc cho sự chuyển động con lắc hình cầu. Đối với các chuyển động con lắc phẳng của các tải trọng, phản ứng năng động chủ yếu là đóng góp của các tiên fi ba chế độ tự nhiên và hài hòa thứ hai của con lắc. Nó cũng được tìm thấy rằng các yếu tố fi cation ampli động tăng cùng với sự gia tăng của các góc con lắc ban đầu và thay đổi chỉ là hơi phi tuyến cho các chuyển động con lắc phẳng của tải trọng.