2. In triangle ABC, AB is the longe

2. In triangle ABC, AB is the longest side. Prove that for any point P in the interior
of the triangle, PA+PB > PC.
3. Find the locus of the points P in the plane of an equilateral triangle ABC that
satisfy
max{PA,PB,PC} =
1
2
(PA+PB+PC).
4. Let ABCD be a rhombus with  A = 120◦ and P a point in its plane. Prove that
PA+PC >
BD
2
.
5. There exists a point P inside an equilateral triangle ABC such that PA = 3,
PB = 4, and PC = 5. Find the side length of the equilateral triangle.
6. Let ABC be an equilateral triangle. Find the locus of the points P in the plane
with the property that PA, PB, and PC are the side lengths of a right triangle.
7. Given a triangle XYZ with side lengths x, y, and z, construct an equilateral triangle
ABC and a point P such that PA = x, PB = y, and PC = z.
8. Using a straightedge and a compass, construct an equilateral triangle with each
vertex on one of three given concentric circles. Determine when the construction
is possible and when not.
9. Let ABC be an equilateral triangle and P a point in its interior. Consider XYZ,
the triangle with XY = PC, YZ = PA, and ZX = PB, and M a point in its interior
such that  XMY =  YMZ =  ZMX = 120◦. Prove that XM+YM+ZM = AB.
10. Find the locus of the points P in the plane of an equilateral triangle ABC for
which the triangle formed with PA, PB, and PC has constant area.

Kết quả (Việt) 1:

2. trong tam giác ABC, AB là phía bên dài nhất. Chứng minh cho bất kỳ điểm P trong nội thấtcủa tam giác, PA + PB > PC.3. tìm locus của điểm P trong mặt phẳng của một tam giác đều ABC màđáp ứngMax {PA, PB, PC} =12(PA + PB + PC).4. giả ABCD là một hình thoi với A = 120◦ và P một điểm trong máy bay của nó. Chứng minh rằngPA + PC >BD2.5. có tồn tại một điểm P bên trong một tam giác đều ABC như vậy mà PA = 3,PB = 4, và PC = 5. Tìm chiều dài bên của tam giác cạnh đều nhau.6. Hãy để ABC là một tam giác đều. Tìm locus của điểm P trong mặt phẳngvới tài sản PA, PB, và máy tính là độ dài cạnh của một tam giác bên phải.7. cho một tam giác XYZ với bên dài x, y, và z, xây dựng một tam giác đềuABC và một điểm P như vậy mà PA = x, PB = y, và PC = z.8. sử dụng một compa và một la bàn, xây dựng một tam giác đều với mỗiđỉnh trên một trong ba cho vòng tròn đồng tâm. Xác định khi xây dựngcó thể và khi không.9. Hãy để ABC là một tam giác đều và P một điểm trong nội thất của nó. Xem xét XYZ,Tam giác với XY = PC, YZ = PA, và ZX = PB, và M một điểm trong nội thất của nónhư vậy mà XMY = YMZ = ZMX = 120◦. Chứng minh rằng XM + YM + ZM = AB.10. tìm locus của điểm P trong mặt phẳng của một tam giác đều ABC choTam giác được hình thành với PA, PB, và PC có diện tích liên tục.

Kết quả (Việt) 2:

2. Trong tam giác ABC, AB là cạnh dài nhất. Chứng minh rằng với bất kỳ điểm P trong nội thất
của tam giác, PA + PB> PC.
3. Tìm quỹ tích các điểm P trong mặt phẳng của một tam giác đều ABC rằng
đáp ứng
tối đa {PA, PB, PC} =
1
2
(PA + PB + PC).
4. Hãy để ABCD là một hình thoi với? A = 120◦ và P là một điểm trong mặt phẳng của nó. Chứng minh rằng
PA + PC>
BD 2. 5. Có tồn tại một điểm P trong một tam giác đều ABC sao cho PA = 3, PB = 4, và PC = 5. Tìm chiều dài cạnh của tam giác đều. 6. Cho ABC là một tam giác đều. Tìm quỹ tích các điểm P trong mặt phẳng với những tài sản mà PA, PB, PC và là chiều dài bên của một tam giác vuông. 7. Cho một tam giác XYZ với độ dài phía x, y, z, xây dựng một tam giác đều ABC và một điểm P sao cho PA = x, PB = y, và PC = z. 8. Sử dụng một thước kẻ và một la bàn, xây dựng một tam giác đều với mỗi đỉnh vào một trong ba vòng tròn đồng tâm nhất định. Xác định khi xây dựng là có thể và khi không. 9. Cho ABC là một tam giác đều và P là một điểm trong nội thất của nó. Hãy xem xét XYZ, các tam giác với XY = PC, YZ = PA, và ZX = PB, và M là một điểm trong nội thất của nó như vậy mà? XMY =? YMZ =? ZMX = 120◦. Chứng minh rằng XM + YM + ZM = AB. 10. Tìm quỹ tích các điểm P trong mặt phẳng của một tam giác đều ABC cho mà tam giác hình thành với PA, PB, PC và có diện tích không đổi.