6. ConclusionsIn this paper, we hav

6. Conclusions
In this paper, we have developed a collocation method for solving nonlinear parabolic partial differential equations with Neumann’s boundary conditions using cubic B-splines basis functions. In the present method, we apply cubic B-splines for spatial variable and its derivatives, which produce a system of first order ordinary differential equations. The resulting system of ordinary differential equations is solved by using SSP-RK3 scheme. The numerical approximate solutions to the nonlinear equations have been computed without transforming the equation and without using the linearization. In four numerical test problems, the performance of this method is shown by computing L1 and L2 error norms for different time
Table 8 Comparison of approximate and exact solutions for t 6 3:0. xt ¼1:0 t ¼2:0 t ¼3:0 Present method Exact Present method Exact Present method Exact 24.00 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 21.00 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00001 1.00001 18.00 1.00000 1.00000 1.00001 1.00001 1.00012 1.00012 15.00 1.00001 1.00001 1.00012 1.00012 1.00245 1.00247 12.00 1.00012 1.00012 1.00246 1.00247 1.04725 1.04743 9.00 1.00246 1.00247 1.04731 1.04743 1.50024 1.50000 6.00 1.04737 1.04743 1.50027 1.50000 1.95258 1.95257 3.00 1.50017 1.50000 1.95257 1.95257 1.99753 1.99753 0.00 1.95256 1.95257 1.99753 1.99753 1.99988 1.99988 3.00 1.99753 1.99753 1.99988 1.99988 1.99999 1.99999 6.00 1.99988 1.99988 1.99999 1.99999 2.00000 2.00000 9.00 1.99999 1.99999 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 12.00 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 15.00 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000
Table 9 L1 and L2 error norms ðh¼0:2; k¼0:001Þ. Errors t ¼1:0 t ¼1:5 t ¼2:0 t ¼2:5 t ¼3:0 L1 2.39E04 2.89E04 3.07E04 2.95E04 2.57E04 L2 2.94E04 3.51E04 3.81E04 3.87E04 3.77E04
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t=2.5
t=2.0
t=3.0
t=0.5
t=1.5
t=1.0
Fig. 5. Approximate solution for t 6 3:0 ðh¼0:2; k¼0:001Þ.
4624 R.C. Mittal, R.K. Jain/Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 17 (2012) 4616–4625
levels. The numerical results produce by the present method are quite satisfactory and good agreement with the exact solutions. The computed results justify the advantage of this method. The proposed method can be extended to solve multi-dimensional parabolic equations.
Acknowledgments
The authors thank the anonymous referees for their time, effort, and comprehensive annotates on the twice revision of the manuscript. One of the authors R.K. Jain thankfully acknowledges the sponsorship under QIP, provided by Technical Education and Training Department, Bhopal (M.P.), India.

Kết quả (Việt) 1:

6. kết luậnTrong bài báo này, chúng tôi đã phát triển một phương pháp collocation để giải quyết các phương trình vi phân riêng phần parabol phi tuyến với điều kiện biên Neumann sử dụng khối B-splines hàm cơ sở. Trong phương pháp hiện nay, chúng tôi áp dụng khối B-splines cho biến không gian và các dẫn xuất của nó, mà sản xuất một hệ thống các phương trình vi phân thông thường của vòng trật tự. Hệ phương trình vi phân thông thường, kết quả giải quyết bằng cách sử dụng lược đồ SSP-RK3. Các giải pháp gần đúng số để các phương trình phi tuyến có được tính không biến đổi phương trình và không có sử dụng linearization. Trong bốn số bài kiểm tra vấn đề, hiệu suất của phương pháp này được thể hiện bằng máy tính chỉ tiêu lỗi L1 và L2 cho thời gian khác nhauBảng 8 so sánh gần đúng và chính xác các giải pháp cho t 6 3:0. XT ¼1:0 t ¼2:0 t ¼3:0 hiện nay phương pháp chính xác hiện nay phương pháp chính xác hiện nay phương pháp chính xác 24,00 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 21.00 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00001 1.00001 18,00 1.00000 1.00000 1.00001 1.00001 1.00012 1.00012 15,00 1.00001 1.00001 1.00012 1.00012 1.00245 1.00247 12,00 1.00012 1.00012 1.00246 1.00247 1.04725 1.04743 9.00 1.00246 1.00247 1.04731 1.04743 1.50024 1.50000 6,00 1.04737 1.04743 1.50027 1.50000 1.95258 1.95257 3,00 1.50017 1.50000 1.95257 1.95257 1.99753 1.99753 0.00 1.95256 1.95257 1.99753 1.99753 1.99988 1.99988 3,00 1.99753 1.99753 1.99988 1.99988 1.99999 1.99999 6,00 1.99988 1.99988 1.99999 1.99999 2.00000 2.00000 9,00 1.99999 1.99999 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 12.00 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 15.00 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000Bảng 9 L1 và L2 lỗi chỉ tiêu ðh¼0:2; k¼0:001Þ. Lỗi t ¼1:0 t ¼1:5 t ¼2:0 t ¼2:5 t ¼3:0 L1 2.39E 04 2.89E 04 3.07E 04 2.95E 04 2.57E 04 L2 2.94E 04 3.51E 04 3.81E 04 3.87E 04 3.77E 04-25 -20-15 -10-5 0 5 10 1511.21.41.61.82t = 2,5t = 2.0t = 3.0t = 0,5t = 1,5t = 1,0Hình 5. Xác định các giải pháp cho t 6 3:0 ðh¼0:2; k¼0:001Þ.4624 R.C. Mittal, trâm Jain/thị phi tuyến Sci Numer Simulat 17 (2012) 4616-4625cấp độ. Sản phẩm số kết quả theo phương pháp hiện nay đang khá thỏa đáng và tốt thỏa thuận với các giải pháp chính xác. Kết quả tính toán biện minh cho các lợi thế của phương pháp này. Các phương pháp được đề xuất có thể được mở rộng để giải quyết các phương trình parabol đa chiều.AcknowledgmentsCác tác giả cảm ơn những người referees vô danh của thời gian, công sức, và toàn diện annotates trên những hai phiên bản của bản thảo. Một trong những tác giả Trâm Jain thankfully thừa nhận tài trợ dưới QIP, được cung cấp bởi giáo dục kỹ thuật và đào tạo tỉnh, Bhopal (TNC), Ấn Độ.

Kết quả (Việt) 2:

6. Kết luận
Trong bài báo này, chúng tôi đã phát triển một phương pháp sắp xếp thứ tự để giải phương trình vi phân từng phần parabol phi tuyến với điều kiện biên Neumann sử dụng B-splines hàm cơ sở khối. Trong phương pháp hiện tại, chúng tôi áp dụng khối B-splines cho biến không gian và các dẫn xuất của nó, trong đó sản xuất một hệ thống fi tự đầu tiên phương trình vi phân thường. Các hệ thống kết quả của phương trình vi phân thường được giải quyết bằng cách sử dụng sơ đồ SSP-RK3. Các giải pháp gần đúng bằng số cho các phương trình phi tuyến đã được tính toán mà không cần chuyển đổi phương trình và không cần dùng tuyến tính. Trong bốn vấn đề kiểm tra số, hiệu suất của phương pháp này được thể hiện bằng cách tính toán các chỉ tiêu lỗi L1 và L2 cho thời gian khác nhau
Bảng 8 So sánh các giải pháp gần đúng và chính xác cho t 6 3: 0. xt ¼1: 0 t ¼2: 0 t ¼3: 0 Trình bày phương pháp chính xác phương pháp hiện tại phương pháp chính xác hiện tại chính xác 24,00 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 21,00 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00001 1,00001 18,00 1,00000 1,00000 1,00001 1,00001 1,00012 1,00012 15,00 1,00001 1,00001 1,00012 ??? 1,00012 1,00245 1,00247? 12,00 1,00012 1,00012 1,00246 1,00247 1,04725 1,04743? 9,00 1,00246 1,00247 1,04731 1,04743 1,50024 1,50000? 6,00 1,04737 1,04743 1,50027 1,50000 1,95258 1,95257? 3,00 1,50017 1,50000 1,95257 1,95257 1,99753 1,99753 0,00 1,95256 1,95257 1,99753 1,99753 1,99988 1,99988 3,00 1,99753 1,99753 1,99988 1,99988 1,99999 1,99999 6,00 1,99988 1,99988 1,99999 1,99999 2,00000 2,00000 9,00 1,99999 1,99999 2,00000 2,00000 2,00000 2,00000 12,00 2,00000 2,00000 2,00000 2,00000 2,00000 2,00000 15,00 2,00000 2,00000 2,00000 2,00000 2,00000 2,00000
Bảng 9 L1 và L2 chỉ tiêu lỗi ðh¼0: 2; k¼0: 001Þ. Lỗi t ¼1: 0 t ¼1: 5 t ¼2: 0 t ¼2: 5 t ¼3:?????? 0 L1 2.39E 04 2.89E 04 3.07E 04 2.95E 04 2.57E 04 L2 2.94E 04 3.51E? 04 3.81E? 04 3.87E? 04 3.77E? 04
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
t = 2,5
t = 2,0
t = 3,0
t = 0,5
t = 1,5
t = 1.0
Hình. 5. Giải pháp ước cho t 6 3: 0 ðh¼0: 2; k¼0:. 001Þ
4624 RC Mittal, RK Jain / Commun phi tuyến Sci numer Simulat 17 (2012) 4616-4625
cấp. Kết quả số sản xuất theo phương pháp hiện nay là thỏa thuận khá khả quan và tốt với các giải pháp chính xác. Các kết quả tính toán biện minh cho những lợi thế của phương pháp này. Phương pháp đề xuất có thể được mở rộng để giải phương trình parabol đa chiều.
Lời cảm ơn
Các tác giả cảm ơn trọng tài vô danh cho thời gian, nỗ lực của họ, và chú thích đầy đủ về việc sửa đổi hai lần bị bản thảo. Một trong những tác giả RK Jain may mắn thừa nhận sự bảo trợ dưới QIP, được cung cấp bởi giáo dục kỹ thuật và đào tạo, Bhopal (MP), Ấn Độ.