3.2.2 Darcy’s Law in Three Dimensio

3.2.2 Darcy’s Law in Three Dimensions

Groundwater is not constrained to flow only in one direction as in Darcy’s column. In the real subsurface, groundwater flows in complex three-dimensional patterns. Assuming we describe the geometry of the subsurface with a Cartesian x, y, z coordinate system, there may be components of flow in each of these directions. Darcy’s law for three-dimensional flow is analogous to the definition for one dimension:
∂h
qx = −Kx ∂x
∂h
qy = −Ky ∂y
∂h
qz = −Kz ∂z (3.6)
The x, y, z coordinate system can have any orientation, but it is common to set z vertical and x and y horizontal.
In general three-dimensional flow, q, vs , and hydraulic gradient are all vector quantities (three components), head h is a scalar quantity (one component), and hydraulic conduc- tivity is a tensor quantity (nine components). When the axes of the x, y, z coordinate system coincide with the principal axes of hydraulic conductivity (the directions of great- est, least, and intermediate K ), the K tensor contains only three nonzero terms (Kx , Ky , and Kz ), and the form of Darcy’s law given in Eq. 3.6 applies. A more complex form of Darcy’s law with all nine K tensor components is required when the principal K axes do not coincide with the coordinate axes (see Bear, 1972, for example). In practice, the more complex tensor form of Darcy’s law is almost never needed because it is so much simpler
to align the coordinate system with the principal axes of K .
The vector sum of the three components of specific discharge gives the specific dis- charge vector q , the magnitude of which is given by



| q | =

q2 + q2 + q2

(3.7)

x y z

The three orthogonal specific discharge vector components are illustrated in Figure 3.3. Water flows parallel to the total specific discharge vector.






Figure 3.3 Total
specific discharge vector
q and its components qx ,
qy , and qz .

The hydraulic gradient components are written as partial derivatives (for example,
∂h/∂x) rather than as a common derivative dh/dx, a convention that applies whenever
a variable is a function of more than one variable. In the one-dimensional case, the hydraulic gradient is a derivative written as dh/dx because h varies as a function of x only. In the three-dimensional case, the hydraulic gradient is a partial derivative written
as ∂h/∂x because h varies as a function of the three space variables x, y, and z. In words,
∂h/∂x means the change in h per distance in the x direction, keeping y and z constant. More information about derivatives and partial derivatives is available in Appendix B.

Example 3.3 There are three piezometers in an unconfined sand aquifer as shown in Figure 3.4. The heads at them are hA = 104.56 ft, hB = 104.53 ft, and hC = 103.42 ft. The rate of recharge here is estimated to be 1.25 ft/yr. The average horizontal hydraulic conductivity of the sand based on testing is Kx =
8 ft/day. Assume that in the vicinity of these three piezometers, the vertical
specific discharge qz equals the recharge rate. Estimate the vertical hydraulic conductivity using the heads at wells A and B. Estimate the horizontal specific discharge qx , using heads at wells B and C. Make a scaled vector sketch showing the x and z components of specific discharge, and the total specific discharge vector q (assume that there is no flow in the y direction).
First, convert the recharge rate units to ft/day and assign this to the vertical specific discharge. This would be qz = −1.25 ft/yr = −0.0034 ft/day. qz is negative because flow is downward, in the negative z direction. Use Darcy’s law in the z direction to estimate the vertical hydraulic conductivity:

∂z
Kz = −qz ∂h
zA − zB

= −qz
A − hB



5 ft

= −(−0.0034 ft/day) 0.03 ft
= 0.57 ft/day








Figure 3.4 Vertical
cross-section with three piezometers
(Example 3.3).

Intrinsic Permeability and Conductivity of Other Fluids 45


Darcy’s law in the x direction will give the specific discharge component qx :
∂h
qx = −Kx ∂x
hC − hB

= −Kx
C −


xB
1.11 ft

= 8 ft/day −
120 ft
= 0.074 ft/day

A scaled vector sketch of the specific discharge vector is shown in Figure 3.5. As is often the case in permeable aquifers, flow is nearly horizontal.

Kết quả (Việt) 1:

3.2.2 Darcy luật ba chiều

nước ngầm không bị ràng buộc để flow chỉ theo một hướng như trong cột của Darcy. Trong thực tế bên dưới bề mặt, nước ngầm flows trong mô hình ba chiều phức tạp. Giả sử chúng tôi mô tả hình học của dưới bề mặt với Descartes x, y, z hệ tọa độ, có thể có thành phần của flow trong mỗi người trong số những hướng dẫn này. Darcy của luật cho ba chiều flow là tương tự như definition cho một kích thước:
∂h
qx = −Kx ∂x
∂h
qy = −Ky ∂y
∂h
qz = −Kz ∂z (3,6)
x, y, z hệ tọa độ có thể có bất kỳ hướng, nhưng nó là phổ biến để thiết lập z theo chiều dọc và x và y ngang.
nói chung ba chiều flow, q, vs, và thủy lực gradient là tất cả véc tơ với số lượng (ba thành phần), đầu h là một số lượng vô hướng (một phần), và thủy lực conduc-cao là một số lượng tensor (chín thành phần). Khi các trục x, y, z tọa độ hệ thống trùng với các trục chính tính dẫn điện thủy lực (các hướng dẫn tuyệt vời-EST, ít nhất, và trung gian K), K tensor chứa chỉ có ba điều khoản nonzero (điện, Ky, và Kz), và các hình thức của Darcy của pháp luật được đưa ra trong Eq. 3.6 áp dụng. Một hình thức phức tạp của pháp luật của Darcy với tất cả các thành phần 9 K tensor là cần thiết khi K trục chính không trùng với các trục tọa độ (xem gấu, 1972, ví dụ). Trong thực tế, các hình thức tensor phức tạp hơn của pháp luật của Darcy hầu như không bao giờ cần thiết bởi vì nó là đơn giản hơn rất nhiều
để gắn kết hệ thống phối hợp với các trục chính của K.
Tổng véc tơ của ba thành phần của specific xả cho dis-phí vector q specific, tầm quan trọng đều được đưa ra bởi



| q | =

q2 q2 q2

(3,7)

x y z

trực giao specific ba thành phần vector xả được minh hoạ trong hình 3.3. Nước flows song song với các tất cả specific xả vector.



hình 3.3 tất cả
specific xả vector
q và qx thành phần của nó,
qy, và qz.

các thành phần thủy lực gradient được viết như là một phần derivatives (ví dụ:
∂h/∂x) chứ không phải là như một phổ biến phái sinh dh/dx, một hội nghị áp dụng bất cứ khi nào
một biến là một chức năng của nhiều hơn một biến. Trong trường hợp hết, gradient thủy lực là ký hiệu là dh/dx vì h thay đổi là một hàm của x duy nhất. Trong trường hợp ba chiều, thủy lực gradient là một phái sinh một phần viết lưu
là ∂h/∂x vì h khác nhau như là một chức năng trong ba space biến x, y, và z. Trong lời nói,
∂h/∂x có nghĩa là sự thay đổi trong h mỗi khoảng cách theo hướng x, Giữ y và z liên tục. Các thông tin thêm về phái sinh và một phần derivatives có sẵn trong phụ lục b

ví dụ 3.3 có là ba piezometers trong một unconfined cát aquifer như minh hoạ trong hình 3.4. Những người đứng đầu vào họ Hà = 104.56 ft, hB = 104.53 mét, và hC = 103.42 ft. Mức nạp tiền ở đây được ước tính là 1,25 ft/năm. Là độ dẫn điện thủy lực ngang của cát dựa trên thử nghiệm là điện =
8 ft/ngày. Cho rằng trong vùng lân cận những ba piezometers, dọc
specific xả qz bằng mức nạp tiền. Ước lượng độ dẫn điện thủy lực theo chiều dọc bằng cách sử dụng những người đứng đầu tại wells A và B. ước tính specific ngang xả qx, bằng cách sử dụng người đứng đầu tại wells B và C. thực hiện một phác họa véc tơ thu nhỏ đang hiện x và z thành phần của specific xả, và specific tất cả xả vector q (giả định rằng có là không có flow theo hướng y).
đầu tiên, chuyển đổi đơn vị tốc độ nạp tiền để ft/ngày và chỉ định này để xả thẳng đứng specific. Điều này sẽ là qz = −1.25 ft/năm = −0.0034 ft/ngày. QZ là tiêu cực vì flow là xuống, theo hướng tiêu cực z. Sử dụng pháp luật của Darcy theo hướng z để ước lượng độ dẫn điện thủy lực theo chiều dọc:

∂z
Kz = −qz ∂h
zA − zB

= −qz
− hB



5 ft

= − (−0.0034 ft/ngày) 0.03 ft
= 0.57 ft/ngày


hình 3.4 dọc
ngang với ba piezometers
(Example 3.3).

thấm nội tại và độ dẫn điện của khác chất lỏng 45


Darcy của luật theo hướng x sẽ cung cấp cho specific xả thành phần qx:
∂h
qx = −Kx ∂x
hC − hB

= −Kx
C −


xB
1.11 ft

= 8 ft/ngày −
120 ft
= 0.074 ft/ngày

Một bức phác hoạ vector thu nhỏ của specific xả vector được thể hiện trong hình 3.5. Như thường là trường hợp ở tầng ngậm nước thấm, flow là gần như ngang.