4.6.1 The Cost of Exact CountsTo be

4.6.1 The Cost of Exact Counts
To begin, suppose we want to be able to count exactly the number of 1’s in the last k bits for any k ≤ N. Then we claim it is necessary to store all N bits of the window, as any representation that used fewer than N bits could not work. In proof, suppose we have a representation that uses fewer than N bits to represent the N bits in the window. Since there are 2N sequences of N bits, but fewer than 2N representations, there must be two different bit strings w and x that have the same representation. Since w 6= x, they must differ in at least one bit. Let the last k−1 bits of w and x agree, but let them differ on the kth bit from the right end.
Example 4.10: If w = 0101 and x = 1010, then k = 1, since scanning from the right, they first disagree at position 1. If w = 1001 and x = 0101, then k = 3, because they first disagree at the third position from the right. 2
Suppose the data representing the contents of the window is whatever se- quence of bits represents both w and x. Ask the query “how many 1’s are in the last k bits?” The query-answering algorithm will produce the same an- swer, whether the window contains w or x, because the algorithm can only see their representation. But the correct answers are surely different for these two bit-strings. Thus, we have proved that we must use at least N bits to answer queries about the last k bits for any k. In fact, we need N bits, even if the only query we can ask is “how many 1’s are in the entire window of length N?” The argument is similar to that used above. Suppose we use fewer than N bits to represent the window, and therefore we can find w, x, and k as above. It might be that w and x have the same number of 1’s, as they did in both cases of Example 4.10. However, if we follow the current window by any N −k bits, we will have a situation where the true window contents resulting from w and x are identical except for the leftmost bit, and therefore, their counts of 1’s are unequal. However, since the representations of w and x are the same, the representation of the window must still be the same if we feed the same bit sequence to these representations. Thus, we can force the answer to the query “how many 1’s in the window?” to be incorrect for one of the two possible window contents.

Kết quả (Việt) 1:

4.6.1 chi phí chính xác số lần
để bắt đầu, giả sử chúng ta muốn có thể đếm chính xác số 1 trong các bit k cuối cùng với bất kỳ k ≤ N. Sau đó chúng tôi yêu cầu bồi thường nó là cần thiết để lưu trữ tất cả N bit của cửa sổ, như bất kỳ đại diện sử dụng ít hơn N bit có thể không làm việc. Trong chứng minh, cho rằng chúng tôi có một đại diện sử dụng ít hơn N bit để đại diện cho N bit trong cửa sổ. Kể từ khi có những chuỗi 2N N bit, nhưng ít hơn đại diện 2N, phải có hai different chút dây w và x có cùng một đại diện. Kể từ khi w 6 = x, họ phải differ trong ít nhất một chút. Cho phép các bit k−1 cuối cùng của w và x đồng ý, nhưng cho họ differ trên bit kth từ kết thúc đúng.
4,10 ví dụ: nếu w = 0101 và x = 1010, sau đó k = 1, kể từ khi quét từ bên phải, họ vòng không đồng ý ở vị trí 1. Nếu w = 1001 và x = 0101, sau đó k = 3, vì họ chính không đồng ý ở vị trí thứ ba từ bên phải. 2
giả sử các dữ liệu đại diện cho nội dung của cửa sổ là bất cứ điều gì se-quence bit đại diện cho cả hai w và x. yêu cầu truy vấn "bao nhiêu 1 trong k bit cuối?" Thuật toán trả lời truy vấn sẽ sản xuất tương tự an-swer, cho dù cửa sổ chứa w hoặc x, vì các thuật toán có thể chỉ nhìn thấy đại diện của mình. Nhưng câu trả lời chính xác chắc chắn different cho những hai bit-dây. Vì vậy, chúng tôi đã chứng minh rằng chúng tôi phải sử dụng ít N bit để trả lời các truy vấn về các bit k cuối cùng cho bất kỳ k. Trong thực tế, chúng tôi cần N bit, ngay cả khi truy vấn duy nhất chúng tôi có thể yêu cầu là "bao nhiêu 1 trong cửa sổ toàn bộ chiều dài N?"Các đối số là tương tự như được sử dụng ở trên. Giả sử chúng tôi sử dụng ít hơn N bit để đại diện cho cửa sổ, và do đó chúng tôi có thể nhiều w, x và k nhö ôû phaàn treân. Nó có thể là w và x có cùng số 1, như họ đã làm trong cả hai trường hợp ví dụ 4.10. Tuy nhiên, nếu chúng tôi làm theo cửa sổ hiện bởi bất kỳ bit −k N, chúng tôi sẽ có một tình hình nơi nội dung cửa sổ đúng dẫn đến từ w và x là giống hệt nhau ngoại trừ các bit tận cùng bên trái, và do đó, họ buôn lậu của 1 là bất bình đẳng. Tuy nhiên, kể từ khi đại diện của w và x đều giống nhau, các đại diện của cửa sổ vẫn phải giống nhau nếu chúng ta ăn chút tự giống để đại diện các. Do đó, chúng tôi có thể ép buộc câu trả lời cho truy vấn "bao nhiêu 1 của trong cửa sổ?" là không chính xác cho một trong các nội dung có thể cửa sổ hai.