(a) ⇒ (b): Suppose f : S1 → X. By h

(a) ⇒ (b): Suppose f : S
1 → X. By hypothesis, there’s a homotopy h : S
1×I →
X from f to a constant map. That is, h0 = f and there is a point x ∈ X such that,
for all s ∈ S
1
, h(s, 1) = x. Because of the latter condition, h factors through the
quotient S
1 × I/S1 × {1}. That is, h is equal to a composition
S
1 × I → S
1 × I/S1 × {1} → X
where the first map is the quotient map.
The pair (S
1 × I/S1 × {1}, S1 × {0}) is homeomorphic to (D2
, S1
). The homeomorphism
is induced by the map Φ : S
1 × I → D2 defined by Φ(a, x) = a · (1 − x),
where we look at a and x as complex numbers. So the second map above gives a
map D2 → X such that the restriction to S
1
is equal to f.

Kết quả (Việt) 1:

(a) ⇒ (b): giả sử f: S1 → X. Bởi giả thuyết, có là một h đồng luân: S1 × TÔI →X từ f để bản đồ liên tục. Có nghĩa là, h0 = f và có một điểm x ∈ X mà,cho tất cả s ∈ S1, h (s, 1) = x. Bởi vì các điều kiện sau, h yếu tố thông qua cácthương S1 × TÔI / S1 × {1}. Đó là, h là tương đương với một thành phầnS1 × TÔI → S1 × TÔI / S1 × {1} → Xnơi bản đồ đầu tiên là bản đồ thương.Cặp (S1 × tôi / S1 × {1}, S1 × {0}) là phôi để (D2, S1). Phép đồng phôigây ra bởi Φ bản đồ: S1 × tôi → D2 xác định bởi Φ (a, x) = một · (1 − x),nơi chúng tôi xem xét một và x là số phức. Vì vậy, bản đồ thứ hai ở trên mang lại cho mộtbản đồ D2 → X sao cho giới hạn S1là tương đương với f.

Kết quả (Việt) 2:

(a) ⇒ (b): Giả sử f: S
1 → X. Theo giả thuyết, có một đồng luân h: S
1 × I →
X từ f đến một bản đồ liên tục. Đó là, h0 = f và có một điểm x ∈ X sao cho,
cho tất cả s ∈ S
1, h (s, 1) = x.
Bởi vì các điều kiện sau này, các yếu tố h qua
thương S
1 × I / S1 × {1}. Đó là, h là tương đương với một thành phần
S
1 × I → S
1 × I / S1 × {1} → X
nơi bản đồ đầu tiên là bản đồ thương.
Các cặp (S
1 × I / S1 × {1}, S1 {0}) × là đồng phôi với
(D2,
S1). Các đồng phôi
được gây ra bởi các Φ bản đồ: S
1 × I → D2 được xác định bởi Φ (a, x) = a · (1 - x),
nơi mà chúng ta nhìn vào một số x và phức tạp. Vì vậy, các bản đồ thứ hai trên cho một
bản đồ D2 → X như vậy mà những hạn chế để S
1
là bằng f.