2.1 No Square Is NegativeIn this se

2.1 No Square Is Negative
In this section, we consider some applications of the simplest inequality in algebra:
x2 ≥ 0, for all x ∈ R,
where equality holds if and only if x = 0. We start with an easy example.
Let x be a real number. Prove that 4x−x4 ≤ 3.
This problem was posed to young students, who did not even skim through a
calculus book. Rewrite the inequality as x4 −4x+3 ≥ 0, then complete a square to
obtain x4 −2x2+1+2x2−4x+2 ≥ 0, that is, (x−1)2+2x2−4x+2 ≥ 0. This is the
same as
(x2 −1)2+2(x−1)2 ≥ 0,
which is clearly true.
The second example appeared at the Romanian Mathematical Olympiad in 1981,
proposed by T. Andreescu.
Determine whether there exists a one-to-one function f : R→R with the property
that for all x,
f (x2)−( f (x))2 ≥ 1
4
.
We will show that such functions do not exist. The idea is extremely simple: look
at the two numbers that are equal to their squares, namely x = 0 and x = 1, for which
f (x) and f (x2) are equal. Plugging x = 0 into the relation, we obtain
f (0)−( f (0))2 ≥ 1
4
.
Moving everything to the right side yields
0 ≥

f (0)− 1
2
2
.
This implies f (0) = 12
. Similarly, plugging x = 1 we obtain f (1) = 12
, which is the
same as f (0), and so f cannot be one-to-one.
We list below a number of problems that can be solved by applying similar ideas.
1. The sum of n real numbers is zero and the sum of their pairwise products is also
zero. Prove that the sum of the cubes of the numbers is zero.
2. Let a, b, c, and d be real numbers. Prove that the numbers a−b2, b−c2, c−d2,
and d−a2 cannot all be larger than 14
.
2.1. No Square Is Negative 41
3. Let x,y, z be positive real numbers less than 4. Prove that among the numbers
1
x
+
1
4−y
,
1
y
+
1
4−z
,
1
z
+
1
4−x
there is at least one that is greater than or equal to 1.
4. Find all real solutions to the system of equations
x+y =
√
4z−1,
y+z =
√
4x−1,
z+x =

4y−1.
5. Let x,y be numbers in the interval (0,1) with the property that there exists a
positive number a different from 1 such that
logx a+logy a = 4logxy a.
Prove that x = y.
6. Find all real triples (x,y, z) that satisfy x4+y4+z4−4xyz = −1.
7. Find all triples of real numbers x,y, z satisfying
2xy−z2 ≥ 1,
z−|x+y| ≥−1.
8. Show that if x4+ax3+2x2+bx+1 has a real solution, then a2+b2 ≥ 8.
9. Let a, b, and c be real numbers such that a2 +c2 ≤ 4b. Prove that for all x ∈ R,
x4 +ax3+bx2+cx+1≥ 0.
10. Prove that for all real numbers x,y, z, the following inequality holds:
x2+y2+z2−xy−yz−xz≥ 3
4
(x−y)2.
11. Find the real numbers x1,x2, . . . ,xn satisfying

x1−12+2

x2−22+· · ·+n

xn−n2 =
1
2
(x1 +x2+· · ·+xn).
12. (a) Let a, b, c be nonnegative real numbers. Prove that
ab+bc+ca≥

3abc(a+b+c).
(b) Let a, b, c be nonnegative real numbers such that a+b+c= 1. Prove that
a2+b2+c2+
√
12abc ≤ 1.
42 Chapter 2. Algebra and Analysis
13. Determine f : N→R such that for all k,m,n, one has
f (km)+ f (kn)− f (k) f (mn) ≥ 1.
14. Let a,b,c be the edges of a right parallelepiped and d its diagonal. Prove that
a2b2+b2c2+c2a2 ≥ abcd
√
3.
15. If a1,a2, . . . ,an are real numbers, show that
nΣ
i=1
nΣ
j=1
i j cos(ai−aj) ≥ 0.
2.2 Look at the Endpoints
This section is about inequalities that are proved by using the fact that certain real
functions reach their extrema at the endpoints of the interval of definition. Two kinds
of functions are considered:
• linear functions, which have both extrema at the endpoints of their domain, and
• convex functions, whose maximum is attained on the boundary of the domain.
The main idea is to view an expression as a linear or convex function in each of the
variables separately and use this to bound the expression from above or below.
It is important to remark that a linear function can have interior extrema, but only
if the slope is zero, in which case the extrema are attained at the enpoints as well.
We exemplify these ideas with a problem that appeared at a Romanian Team Selection
Test for the InternationalMathematical Olympiad in 1980.
Given a positive number a, find the maximum of
nΣ
k=1
(a−a1)(a−a2) · · · (a−ak−1)ak(a−ak+1) · · · (a−an),
where a1, a2, . . ., an range independently over the interval [0,a].
For an index k, fix a1,a2, . . . ,ak−1,ak+1, . . . ,an, and think of the given expression
as a function in ak. This function is linear, hence its maximum on the interval [0,a]
is attained at one of the endpoints. Repeating the argument for each variable, we conclude
that the expression reaches its maximum for a certain choice of ak = 0 or a,
k = 1,2, . . . ,n.
If all ak’s are equal to 0, or if two or more ak’s are equal to a, the sum is 0. If one
ak is a and the others are 0, the expression is equal to an; hence this is the desired
maximum.
Here is an example that appeared at the W.L. Putnam Mathematical Competition,
which we solve using convex functions.
2.2. Look at the Endpoints 43
Let n be a natural number and let xi ∈ [0,1], i = 1,2, . . . , n. Find the maximum of
the sum Σi 0, prove that
(a+b+c+d+e)

1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
d
+
1
e

≤ 25+6


p
q
−


q
p
2
.
44 Chapter 2. Algebra and Analysis
9. Prove that if 1 ≤ xk ≤ 2, k = 1,2, . . . ,n, then

nΣ
k=1
xk

nΣ
k=1
1
xk

2
≤ n3.
10. Show that for all real numbers x1,x2, . . . ,xn,
nΣ
i=1
nΣ
j=1
|xi+xj| ≥ n
nΣ
i=1
|xi|.
11. Prove that x2 +y2+z2 ≤ xyz+2 where x,y, z ∈ [0,1].
12. Prove that the area of a triangle lying inside the unit square does not exceed 1/2.
13. Let P = A1A2 · · ·An be a convex polygon. For each side AiAi+1, let Ti be the
triangle of largest area having AiAi+1 as a side and another vertex of the polygon
as its third vertex. Let Si be the area of Ti, and S the area of the polygon. Prove
that ΣSi ≥ 2S.
14. Show that if x,y, z ∈ [0,1], then x2+y2+z2 ≤ x2y+y2z+z2x+1.
15. The numbers x1,x2, . . . ,x1997 belong to the interval [−√1
3 ,
√
3] and sum up to
−318
√
3. Find the greatest possible value of x12
1 +x12
2 +· · ·+x12
1997.
2.3 Telescopic Sums and Products in Algebra
We have already seen in the previous chapter that many sums can be easily computed
by telescoping them, that is, by putting them in the form
nΣ
k=2
[F(k)−F(k−1)].
Indeed, in such a sum the F(k)’s, for k between 2 and n−1, cancel out, giving the
answer F(n)−F(1). The reader might notice the similarity between this method of
summation and the fundamental theorem of calculus and conclude that what we do is
find a discrete antiderivative for the terms of the sum.
A simple example employing the method of telescopic summation is the following.
Compute Σnk
=1 k! · k.
If we write k! · k = k! · (k + 1 − 1) = (k + 1)! − k!, then the sum becomes
Σnk
=1[(k+1)!−k!], which, after cancellations, is equal to (n+1)!−1.
Evaluate the sum
nΣ
k=1
1
(k+1)
√
k+k
√
k+1
.

Kết quả (Việt) 1:

2.1 không Square là tiêu cựcTrong phần này, chúng ta hãy xem xét một số ứng dụng của bất đẳng thức đơn giản trong đại số:x 2 ≥ 0, cho tất cả x ∈ R,nơi bình đẳng giữ khi và chỉ khi x = 0. Chúng tôi bắt đầu với một ví dụ dễ dàng.Cho x là một số thực. Chứng minh rằng ≤ 4x−x4 3.Vấn đề này đã được đặt ra để sinh viên trẻ, những người đã không ngay cả lướt qua mộtcuốn sách tính toán. Viết lại bất bình đẳng như x 4 −4x + 3 ≥ 0, sau đó hoàn thành một hình vuông đểcó được x 4 −2x2 + 1 + 2x2−4x + 2 ≥ 0, có nghĩa là, (x−1) 2 + 2x2−4x + 2 ≥ 0. Đây là cácgiống như(x 2 −1) 2 + 2 (x−1) 2 ≥ 0,đó là sự thật rõ ràng.Ví dụ thứ hai xuất hiện tại Romania Olympic toán năm 1981,đề nghị của T. Andreescu.Xác định cho dù có tồn tại một-một hàm f: R→R với các tài sảnmà với mọi x,f (x 2) − (f (x)) 2 ≥ 14.Chúng tôi sẽ hiển thị rằng chức năng như vậy không tồn tại. Ý tưởng là rất đơn giản: nhìntại hai con số là tương đương với của hình vuông, cụ thể là x = 0 và x = 1, màf (x) và f (x 2) đều được bình đẳng. Cắm x = 0 vào mối quan hệ, chúng tôi có đượcf (0) − (f (0)) 2 ≥ 14.Di chuyển tất cả mọi thứ để sản lượng bên phải0 ≥f (0) − 122.Điều này ngụ ý f (0) = 12. Tương tự, cắm x = 1 chúng ta có được f (1) = 12, đó là cáctương tự như f (0), và f vì vậy không thể được-một.Chúng tôi liệt kê dưới đây một số vấn đề có thể được giải quyết bằng cách áp dụng những ý tưởng tương tự.1. tổng n số thực là zero và tổng của sản phẩm của họ cử cũngZero. Chứng minh rằng tổng của các khối của những con số là 0.2. cho a, b, c, và d là số thực. Chứng minh rằng số điện thoại a−b2, b−c2, c−d2,và d−a2 không thể cấm lớn hơn 14.2.1. không có quảng trường là tiêu cực 413. Hãy để x, y, z là số thực dương chưa đầy 4. Chứng minh rằng trong số những con số1x+14−y,1y+14−z,1z+14−xđó là ít nhất một mà là lớn hơn hoặc bằng 1.4. Tìm tất cả các giải pháp thực tế để hệ thống phương trìnhx + y =√4z−1,y + z =√4X−1,z + x =4Y−1.5. Hãy để x, y là số trong khoảng (0,1) với các tài sản có tồn tại mộttích cực số một khác nhau từ 1 sao chologx một + logy một = 4logxy một.Chứng minh rằng x = y.6. tìm thấy tất cả thực sự triples (x, y, z) đáp ứng x 4 + y4 + z4−4xyz = −1.7. tìm thấy tất cả ba của các số thực x, y, z đáp ứng2xy−z2 ≥ 1,z−|x + y| ≥−1.8. Hiển thị rằng nếu x 4 + ax3 + 2 x 2 + bx + 1 có một giải pháp thực tế, sau đó a2 + b2 ≥ 8.9. Hãy để a, b, và c là các số thực đó a2 + c2 ≤ 4b. Chứng minh cho tất cả x ∈ R,x 4 + ax3 + bx2 + cx + 1≥ 0.10. chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z, Giữ bất đẳng thức sau đây:x 2 + y2 + z2−xy−yz−xz≥ 34(x−y) 2.11. tìm các số thực x 1, x 2,..., xn đáp ứngx1−12 + 2X2−22 + · + nXN−N2 =12(x 1 + x 2 + · + xn).12. (a) cho a, b, c có vô số thực. Chứng minh rằngAB + TCN + ca≥3abc(a+b+c).(b) cho a, b, c có vô số thực như vậy mà một + b + c = 1. Chứng minh rằngA2 + b2 + c2 +√12abc ≤ 1.42 chương 2. Đại số và phân tích13. xác định f: N→R như vậy mà cho tất cả k, m, n, một cóf (km) + f (kn) − f (k) f (mn) ≥ 1.14. để cho a, b, c là các cạnh của một hình khối lục diện đúng và d của nó theo đường chéo. Chứng minh rằnga2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abcd√3.15. nếu a1, a2,..., là một số thực, thấy rằngnΣtôi = 1nΣj = 1Tôi j cos(ai−aj) ≥ 0.2.2 nhìn là hai điểm cuốiPhần này là về sự bất bình đẳng mà được chứng minh bằng cách sử dụng một thực tế rằng một số bấtchức năng tiếp cận của extrema tại là hai điểm cuối của khoảng thời gian định nghĩa. Hai loạichức năng được coi là:• chức năng tuyến tính, có cả hai extrema là hai điểm cuối của tên miền của họ, và• chức năng lồi, có tối đa đạt được trên ranh giới của vùng.Mục đích chính là để xem một biểu hiện như là một hàm tuyến tính hoặc lồi ở mỗi người trong số cácbiến một cách riêng biệt và sử dụng điều này để ràng buộc các biểu hiện từ phía trên hoặc dưới đây.Nó là quan trọng để nhận xét rằng một hàm tuyến tính có thể có nội thất extrema, nhưng chỉNếu dốc là zero, trong trường hợp extrema đang đạt được tại enpoints là tốt.Chúng tôi sao lục các ý tưởng với một vấn đề xuất hiện tại một sự lựa chọn đội tuyển RomaniaKiểm tra cho InternationalMathematical Olympic năm 1980.Đưa ra một số tích cực tìm thấy một, tối đanΣk = 1(a−a1) (a−a2) · (a−ak−1)ak(a−ak+1) · · (a−an),nơi a1, a2,..., một phạm vi độc lập trong khoảng thời gian [0, một].Cho một chỉ số k, sửa chữa a1, a2,..., ak−1, ak + 1,..., an, và suy nghĩ của biểu thức nhất địnhnhư là một chức năng trong ak. Chức năng này là tuyến tính, do đó tối đa của nó trên đoạn [0, một]đạt được tại một trong là hai điểm cuối. Lặp lại các đối số cho mỗi biến, chúng tôi kết luậnbiểu thức đạt tối đa của nó cho một sự lựa chọn nhất định của ak = 0 hoặc một,k = 1,2,..., n.Nếu tất cả ak là bằng 0, hay nếu hai hoặc nhiều ak là tương đương với một, các tổng là 0. Nếu mộtAK là một và những người khác là 0, biểu thức là tương đương với một; do đó đây là mong muốntối đa.Đây là một ví dụ mà xuất hiện tại W.L. Putnam cuộc thi toán học,mà chúng tôi giải quyết bằng cách sử dụng chức năng lồi.2.2. xem xét là hai điểm cuối 43Cho n là một số tự nhiên và để cho xi ∈ [0,1], tôi = 1,2,..., n. tìm tối đaTổng ΣiLưu ý rằng đối với một cố định một, các hàm f (x) = |x−a| là lồi. Vì vậy, nếu chúng ta giữx 2, x 3,..., xn cố định, các biểu thức là một chức năng lồi trong x 1, đang là một số tiền của lồichức năng. Để tối đa hóa nó, người ta phải chọn x 1 là một trong hai điểm cuối của cáckhoảng thời gian. Các đối số tương tự được áp dụng cho những con số khác dẫn đến kết luận rằngtối đa số tiền thu được khi tất cả xi là 0 hoặc 1. Giả sử rằng phọ là 0, và n− p 1. Tổng sau đó là tương đương với p (n− p). Nhìn vào giá trị này làmột chức năng của p, chúng ta suy ra rằng khi n là số chẵn, tối đa đạt được cho p = n/2và bằng n2/4, và khi n là lẻ, tối đa đạt được cho p = (n±1) / 2và là tương đương với (n2 −1) / 4.Dưới đây là những vấn đề khác của loại này.1. Hãy để 0 ≤ a, b, c, d ≤ 1. Chứng minh rằng(1−a) (1−b) (1−c) (1−d) + a + b + c + d ≥ 1.2. The nonnegative numbers a,b,c,A,B,C, and k satisfy a+A= b+B= c+C = k.Prove thataB+bC+cA ≤ k2.3. Let 0 ≤ xk ≤ 1 for all k = 1,2, . . . ,n. Prove thatx1+x2+· · ·+xn−x1x2 · · ·xn ≤ n−1.4. Find the maximum value of the sumSn = a1(1−a2)+a2(1−a3)+· · ·+an(1−a1),where 12≤ ai ≤ 1 for every i = 1,2, . . . ,n.5. Let n ≥ 2 and 0 ≤ xi ≤ 1 for all i = 1,2, . . . ,n. Show that(x1 +x2+· · ·+xn)−(x1x2+x2x3+· · ·+xnx1) ≤n2and determine when there is equality.6. Let a1,a2, . . . ,a19 be real numbers from the interval [−98,98]. Determine theminimum value of a1a2+a2a3+· · ·+a19a1.7. Prove that for numbers a,b,c in the interval [0,1],ab+c+1+bc+a+1+ca+b+1+(1−a)(1−b)(1−c)≤ 1.8. If a,b,c,d,e ∈ [p,q] with p > 0, prove that(a+b+c+d+e)1a+1b+1c+1d+1e≤ 25+6pq−qp2.44 Chapter 2. Algebra and Analysis9. Prove that if 1 ≤ xk ≤ 2, k = 1,2, . . . ,n, thennΣk=1xknΣk=11xk2≤ n3.10. Show that for all real numbers x1,x2, . . . ,xn,nΣi=1nΣj=1|xi+xj| ≥ nnΣi=1|xi|.11. Prove that x2 +y2+z2 ≤ xyz+2 where x,y, z ∈ [0,1].12. Prove that the area of a triangle lying inside the unit square does not exceed 1/2.13. Let P = A1A2 · · ·An be a convex polygon. For each side AiAi+1, let Ti be thetriangle of largest area having AiAi+1 as a side and another vertex of the polygonas its third vertex. Let Si be the area of Ti, and S the area of the polygon. Provethat ΣSi ≥ 2S.14. Show that if x,y, z ∈ [0,1], then x2+y2+z2 ≤ x2y+y2z+z2x+1.15. The numbers x1,x2, . . . ,x1997 belong to the interval [−√13 ,√3] and sum up to−318√3. Find the greatest possible value of x121 +x122 +· · ·+x121997.2.3 Telescopic Sums and Products in AlgebraWe have already seen in the previous chapter that many sums can be easily computedby telescoping them, that is, by putting them in the formnΣk=2[F(k)−F(k−1)].Indeed, in such a sum the F(k)’s, for k between 2 and n−1, cancel out, giving theanswer F(n)−F(1). The reader might notice the similarity between this method ofsummation and the fundamental theorem of calculus and conclude that what we do isfind a discrete antiderivative for the terms of the sum.A simple example employing the method of telescopic summation is the following.Compute Σnk=1 k! · k.If we write k! · k = k! · (k + 1 − 1) = (k + 1)! − k!, then the sum becomesΣnk=1[(k+1)!−k!], which, after cancellations, is equal to (n+1)!−1.Evaluate the sumnΣk=11(k+1)√k+k√k+1.