This paper presents a frequentist c

This paper presents a frequentist comparison of the performance of con- fidence and credibility intervals for the difference of two proportions from two independent samples. The comparison is carried out considering three frequentist criteria. It was found that the intervals with the best perfor- mance, in terms of coverage probability, are Bayesians; in terms of expected length and variance of the length, the Newcombe interval shows the best performance. As a final remark, it was found that traditional intervals such as the Wald and adjusted Wald have a poor performance.
Key words: Confidence intervals, Credibility intervals, Difference of two proportions..
Resumen
Este artículo presenta una comparación del comportamiento de interva- los de confianza frecuentistas y de credibilidad bayesianos para la diferencia de dos proporciones provenientes de muestras aleatorias independientes. La comparación se lleva cabo considerando tres criterios frecuentistas con los cuales se concluyó que el mejor comportamiento, en términos de la proba- bilidad de cobertura, lo tienen los intervalos bayesianos, y en términos de la longitud esperada y varianza de la longitud el mejor comportamiento está dado por el intervalo frecuentista de Newcombe. Como resultado de esta in- vestigación se encontró que los intervalos frecuentistas más populares como Wald y Wald ajustado tienen un comportamiento deficiente.
Palabras clave: intervalos de confianza, intervalos de credibilidad, diferen- cia de dos proporciones.
aDocente investigadora. E-mail: [e-mail] bDirector. E-mail: [e-mail] cProfesor asociado. E-mail: [e-mail]
63
64 Hanwen Zhang, Hugo Andrés Gutiérrez Rojas & Edilberto Cepeda Cuervo
1. Background
A common problem in practical statistics is estimatig the difference of two proportions by means of interval estimation. This topic is especially important in clinical trials where it is necessary to investigate cure rates of two drugs or treatments. The theoretical background of this research is as follows: suppose that X1,...,Xn1 and Y1,...,Yn2 are two independent samples such that Xi ∼ Bernoulli(p1) and Yj ∼ Bernoulli(p2), with i = 1,...,n1 and j = 1,...,n2. It is necessary to construct a confidence interval or a credibility interval for the difference of the proportions p1 − p2. The most popular method for estimating p1 −p2 by means of frequentist confi- dence interval is the Wald interval, which is presented in most introductory statis- tics textbooks in spite of its poor performance. Many modifications have been made to the Wald interval in order to improve it. One of them is the adjusted Wald interval obtained by widening the Wald interval to increase the coverage probability. This improvement is especially meaningful when the sample sizes are small. Another important interval is the score interval (Wilson 1927), obtained by inverting the score test statistics. This interval was first obtained for one proportion, and thereafter was to be extended to deal with the difference of two proportions. However, in that case, the interval lacks a closed form (Pan 2002) and must be computed by numerical approximations. Agresti & Caffo (2000) analyzed the score interval, and derived the Adding-4 method: add 2 successes and 2 failures to sample observation. A considerable number of authors agree that Agresti and Caffo method has a very good performance (Pan 2002, Correa & Sierra 2003, Agresti et al. 2008). Another interval obtained by modifying the score method is the Newcombe interval (Newcombe 1998a, 1998b), and it seems to have a similar performance to the Agresti and Caffo interval (Correa & Sierra 2003). In the Bayesian approach, Pham-Gia & Turkkan (1993) used the hypergeo- metric Appell function and derived the posterior distribution of p1 −p2 when beta priors are used for each proportion. Given the exact posterior distribution, an exact Bayesian credibility interval for p1 − p2 can be found. However the compu- tational procedures are somewhat tedious, therefore new computational methods such as the Markov Chain Monte Carlo (MCMC), can be used to make it easier to evaluate posterior distributions for p1 − p2, as Agresti & Min (2005) argued. In the literature, many comparisons between confidence intervals have been done (Newcombe 1998a, Newcombe 1998b, Agresti & Caffo 2000, Pan 2002, Correa & Sierra 2003). The aim of this research is to take into account Bayesian credibility intervals jointly with frequentist confidence intervals. After a brief introduction, Section 2 presents some frequentist and Bayesian intervals for p1 −p2. Traditional confidence intervals such as the Wald and adjusted Wald are considered, as well as Bayesian credibility intervals with two noninformative priors. Section 3 deals with the comparison criteria for the considered intervals: the coverage probability, the expected length, and the variance of the length are used in order to evaluate the performance of the intervals. Sect

Kết quả (Việt) 1:

Bài viết này trình bày một frequentist so sánh hiệu suất của khoảng thời gian con-fidence và độ tin cậy cho difference của các tỷ lệ hai từ hai mẫu độc lập. So sánh tiến hành xem xét ba frequentist tiêu chuẩn. Nó được tìm thấy rằng khoảng thời gian với tốt nhất perfor-mance, về phạm vi bảo hiểm xác suất, Bayesians; trong điều kiện độ dài dự kiến và phương sai của chiều dài, khoảng Newcombe cho thấy hiệu suất tốt nhất. Như một nhận xét ngoài, nó đã được tìm thấy khoảng thời gian truyền thống như Wald và điều chỉnh Wald có một hiệu suất kém.Từ khóa: Confidence khoảng thời gian, khoảng tin cậy, Difference của hai tỷ lệ...ResumenEste artículo presenta una comparación del comportamiento de interva los de confianza frecuentistas y de credibilidad bayesianos para la diferencia de dos proporciones provenientes de muestras aleatorias independientes. La comparación se lleva cabo considerando tres criterios frecuentistas con los cuales se concluyó que el mejor comportamiento, en términos de la proba bilidad de cobertura, lo tienen los intervalos bayesianos, y en términos de la longitud esperada y varianza de la longitud el mejor comportamiento está dado por el intervalo frecuentista de Newcombe. Como resultado de esta trong vestigación se encontró que los intervalos frecuentistas más populares como Wald y Wald tienen ajustado un comportamiento deficiente.Palabras clave: intervalos de confianza, intervalos de credibilidad, diferen-cia de dos proporciones.aDocente investigadora. E-mail: [e-mail] bDirector. E-mail: [e-mail] cProfesor asociado. E-mail: [e-mail]6364 Hanwen Zhang, Hugo Andrés Gutiérrez Rojas & Edilberto Cepeda Cuervo1. nềnMột vấn đề phổ biến trong số liệu thống kê thực tế là estimatig difference tỷ lệ hai bằng phương pháp ước lượng khoảng thời gian. Chủ đề này là đặc biệt quan trọng trong các thử nghiệm lâm sàng mà nó là cần thiết để điều tra tỷ lệ chữa của hai loại thuốc hoặc phương pháp điều trị. Lý thuyết nền tảng của nghiên cứu này là như sau: giả sử rằng X 1,..., Xn1 và Y1,..., Yn2 là hai độc lập mẫu như vậy mà Xi ∼ Bernoulli(p1) và Yj ∼ Bernoulli(p2), với i = 1,..., n1 và j = 1,..., n2. Nó là cần thiết để xây dựng một khoảng thời gian confidence hoặc một khoảng tin cậy cho difference tỷ lệ p1 − p2. Các phương pháp phổ biến nhất cho ước tính p1 −p2 bằng phương pháp frequentist confi-dence khoảng thời gian là khoảng thời gian Wald, được trình bày trong hầu hết các sách giáo khoa giới thiệu statis-tật máy dù có hiệu suất kém. Nhiều modifications đã được thực hiện để khoảng Wald để cải thiện nó. Một trong số họ là điều chỉnh khoảng thời gian Wald thu được bằng cách mở rộng khoảng Wald để tăng khả năng bảo hiểm. Cải tiến này là có ý nghĩa đặc biệt là khi kích thước mẫu là nhỏ. Khoảng thời gian quan trọng khác là điểm khoảng thời gian (Wilson 1927), thu được bằng inverting thống kê điểm bài kiểm tra. Khoảng thời gian này đã là chính thu được cho một tỷ lệ, và sau đó là để được mở rộng để đối phó với difference của hai tỷ lệ. Tuy nhiên, trong trường hợp đó, khoảng thời gian thiếu một hình thức đóng cửa (Pan 2002) và phải được tính toán bằng số xấp xỉ. Agresti & Caffo (2000) phân tích các điểm khoảng, và nguồn gốc các phương pháp thêm-4: thêm 2 thành công và thất bại 2 để quan sát mẫu. Một số lượng đáng kể của tác giả đồng ý rằng phương pháp Agresti và Caffo có một hiệu suất rất tốt (Pan 2002, Correa và Sierra 2003, Agresti et al. 2008). Một khoảng thời gian thu được bằng cách thay đổi phương pháp điểm là khoảng thời gian Newcombe (Newcombe 1998a, 1998b), và nó dường như có một hiệu suất tương tự như Agresti và Caffo khoảng thời gian (Correa & Sierra năm 2003). Trong phương pháp tiếp cận Bayes, phạm Gia & Turkkan (1993) được sử dụng chức năng Appell hypergeo-số liệu và nguồn gốc phân phối sau p1 −p2 khi beta priors được sử dụng cho mỗi phần. Cho việc phân phối sau chính xác, một khoảng tin cậy Bayes chính xác cho p1 − p2 có thể được tìm thấy. Tuy nhiên các compu - thủ tục tational có hơi tẻ nhạt, vì vậy mới các phương pháp tính toán, chẳng hạn như chuỗi Markov Monte Carlo (MCMC), có thể được sử dụng để làm cho nó dễ dàng hơn để đánh giá các phân phối sau cho p1 − p2, Agresti & Min (2005) lập luận. Trong văn học, nhiều so sánh giữa confidence khoảng thời gian đã được thực hiện (Newcombe 1998a, Newcombe 1998b, Agresti & Caffo 2000, Pan 2002, Correa và Sierra năm 2003). Mục đích của nghiên cứu này là để đưa vào tài khoản Bayes khoảng tin cậy cùng với khoảng thời gian confidence frequentist. Sau khi một giới thiệu ngắn gọn, Section 2 trình bày một số frequentist và khoảng Bayes cho p1 −p2. Truyền thống confidence khoảng thời gian như Wald và điều chỉnh Wald được coi là, cũng như khoảng tin cậy Bayes với hai tiền này. Phần 3 đề với các tiêu chí so sánh cho khoảng thời gian được coi là: xác suất bảo hiểm, độ dài dự kiến và phương sai của độ dài được sử dụng để đánh giá hiệu suất của các đoạn. Phái

Kết quả (Việt) 2:

Bài viết này trình bày một so sánh frequentist của hiệu suất của fi dence và độ tin cậy khoảng con- cho erence di ff của hai tỷ lệ từ hai mẫu độc lập. Việc so sánh được thực hiện xem xét ba tiêu chí frequentist. Nó đã được tìm thấy rằng khoảng thời gian với mance perfor tốt nhất, xét về khả năng phủ sóng, là Bayesians; về chiều dài dự kiến và phương sai của chiều dài, khoảng Newcombe cho thấy hiệu suất tốt nhất. Như một nhận xét ​​fi nal, nó đã được tìm thấy rằng khoảng thời gian truyền thống như Wald và điều chỉnh Wald có một hiệu suất kém.
Từ khóa: Con fi nguï cuûa khoảng thời gian, khoảng tin cậy, Di ff erence của hai tỷ lệ ..
Resumen
Este artículo presenta una comparación del comportamiento de interva- los de con fi Anza frecuentistas y de credibilidad bayesianos para la diferencia de dos proporciones provenientes de muestras aleatorias independientes. La comparación se lleva Cabo considerando tres criterios frecuentistas con los cuales se concluyó que el mejor comportamiento, en términos de la xác suất bilidad de Cobertura, lo Tienen los intervalos bayesianos, y en términos de la Longitud esperada y varianza de la Longitud el mejor comportamiento Esta phủ thạch cao por el intervalo frecuentista de Newcombe. Como Kết quả de esta trong- vestigación se encontró que los intervalos frecuentistas más populares como Wald y Wald ajustado Tienen un comportamiento de fi ciente.
Palabras clave: intervalos de con fi Anza, intervalos de credibilidad, diferen- cia de dos proporciones.
ADocente investigadora. E-mail: [e-mail] bDirector. E-mail: [e-mail] cProfesor asociado. E-mail: [e-mail]
63
64 Hanwen Zhang, Hugo Andrés Gutiérrez Rojas & Edilberto Cepeda Cuervo
1. Bối cảnh
Một vấn đề thường gặp trong thống kê thực tế được estimatig các erence di ff của hai tỷ lệ bằng dự toán khoảng thời gian. Chủ đề này là đặc biệt quan trọng trong các thử nghiệm lâm sàng nơi nó là cần thiết để điều tra tỷ lệ chữa khỏi hai loại thuốc hoặc phương pháp điều trị. Các nền tảng lý thuyết của nghiên cứu này là như sau: giả sử X1 rằng, ..., Xn1 và Y1, ..., Yn2 hai mẫu độc lập mà Xi ~ Bernoulli (p1) và YJ ~ Bernoulli (p2), với i = 1, ..., n1 và j = 1, ..., n2. Nó là cần thiết để xây dựng một khoảng nguï cuûa con fi hoặc một khoảng thời gian đáng tin cậy cho các erence di ff của tỷ lệ p1 - p2. Phương pháp phổ biến nhất để ước lượng p1 -p2 bằng frequentist con khoảng nguï cuûa fi- là khoảng thời gian Wald, được trình bày trong sách giáo khoa tics statis- giới thiệu hầu hết mặc dù hiệu suất kém của nó. Nhiều cation fi Modi đã được thực hiện cho khoảng Wald để cải thiện nó. Một trong số đó là khoảng thời gian Wald điều chỉnh được bằng cách mở rộng khoảng Wald để tăng xác suất phủ sóng. Sự cải thiện này đặc biệt có ý nghĩa khi các mẫu có kích thước nhỏ. Một khoảng thời gian quan trọng là khoảng thời điểm (Wilson 1927), thu được bằng cách đảo ngược số liệu thống kê kiểm định điểm. Khoảng thời gian này được fi đầu tiên thu được cho một tỷ lệ, và sau đó đã được mở rộng để đối phó với các erence di ff của hai tỷ lệ. Tuy nhiên, trong trường hợp đó, khoảng thời gian thiếu một hình thức đóng cửa (Pan 2002) và phải được tính toán bằng cách xấp xỉ bằng số. Agresti & Cà ff o (2000) đã phân tích khoảng thời điểm và nguồn gốc các Thêm-4 phương pháp: thêm 2 thành công và 2 thất bại để lấy mẫu quan sát. Một số lượng đáng kể của các tác giả đồng ý rằng Agresti và Cà ff phương pháp o có một hiệu suất rất tốt (Pan 2002, Correa & Sierra 2003, Agresti et al. 2008). Một khoảng thời gian thu được bằng cách thay đổi phương pháp số là khoảng thời gian Newcombe (Newcombe 1998a, 1998b), và có vẻ như có một hiệu suất tương tự như khoảng Agresti và Cà ff o (Correa & Sierra 2003). Trong cách tiếp cận Bayes, Phạm Gia & Turkkan (1993) đã sử dụng các số liệu hypergeo- chức năng Appell và có nguồn gốc phân bố sau p1 -p2 khi priors beta được sử dụng cho từng phần. Với sự phối hậu chính xác, một khoảng thời gian đáng tin cậy Bayesian chính xác cho p1 - p2 có thể được tìm thấy. Tuy nhiên thủ tục tational compu- là hơi tẻ nhạt, do đó phương pháp tính toán mới như hình Markov Chain Monte Carlo (MCMC), có thể được sử dụng để làm cho nó dễ dàng hơn để đánh giá phân phối hậu nghiệm cho p1 - p2, như Agresti & Min (2005) lập luận. Trong văn học, nhiều sự so sánh giữa con fi nguï cuûa khoảng đã được thực hiện (Newcombe 1998a, 1998b Newcombe, Agresti & Cà ff o năm 2000, Pan 2002, Correa & Sierra 2003). Mục đích của nghiên cứu này là để đưa vào các khoảng tin cậy Bayesian tài khoản cùng với khoảng fi nguï cuûa frequentist con. Sau khi giới thiệu ngắn gọn, Phần 2 trình bày một số khoảng thời gian frequentist và Bayes cho p1 -p2. Con fi khoảng nguï cuûa truyền thống như Wald và điều chỉnh Wald được xem xét, cũng như các khoảng tin cậy Bayesian với hai priors noninformative. Phần 3 giao dịch với các tiêu chí so sánh cho những khoảng thời gian được coi là: xác suất phủ sóng, chiều dài dự kiến, và phương sai của chiều dài được sử dụng để đánh giá hiệu suất của khoảng thời gian. môn phái