The inscribed circle of a triangle

The inscribed circle of a triangle is the circle tangent to all its sides. The center of an inscribed circle is the intersection point of the bisectors of the triangle’s angles.

An escribed circle of triangle ABC is the circle tangent to one side of the triangle and extensions of the other two sides. For each triangle there are exactly three escribed circles. The center of an escribed circle tangent to side AB is the intersection point of the bisector of angle C and the bisectors of the outer angles A and B.

The circumscribed circle of a triangle is the circle that passes through the vertices of the triangle. The center of the circumscribed circle of a triangle is the intersection point of the midperpendiculars to the triangle’s sides.

For elements of a triangle ABC the following notations are often used:

a, b and c are the lengths of sides BC, CA and AB, respectively; α, β and γ are the values of angles at vertices A, B, C;

R is the radius of the circumscribed cirlce; r is the radius of the inscribed circle;
ra, rb and rc are the radii of the escribed circles tangent to sides BC, CA and AB, respectively;
ha, hb and hc the lengths of the heights dropped from vertices A, B and C, respectively.

If AD is the bisector of angle A of triangle ABC (or the bisector of the outer angle A), then BD : CD = AB : AC (cf. Problem 1.17).

In a right triangle, the median drawn from the vertex of the right angle is equal to a half the hypothenuse (cf. Problem 5.16).

To prove that the intersection points of certain lines lie on one line Menelaus’s theorem (Problem 5.58) is often used.

To prove that certain lines intersect at one point Ceva’s theorem (Problem 5.70) is often used.

Kết quả (Việt) 1:

Vòng tròn ghi trong một tam giác là vòng tròn ốp vào tất cả các mặt của nó. Trung tâm của hình tròn ghi là giao điểm của bisectors góc của tam giác.Một vòng tròn escribed của tam giác ABC là tangent circle để ở một bên của tam giác và phần mở rộng của hai bên. Đối với mỗi hình tam giác có rất chính xác ba escribed. Trung tâm của một escribed circle tangent sang bên AB là giao điểm của bisector góc C và bisectors ngoài góc A và B.Đường vòng của một tam giác là vòng tròn đi qua đỉnh của tam giác. Trung tâm của đường tròn của một tam giác là giao điểm của midperpendiculars bên cạnh của tam giác. Đối với các yếu tố của một tam giác ABC tả sau đây thường được sử dụng:a, b và c là độ dài các cạnh BC, CA và AB, tương ứng; Α, β và γ là các giá trị của góc ở đỉnh A, B, C;R là bán kính của đường cirlce; r là bán kính của hình tròn ghi;ra, rb và rc là bán kính escribed vòng tròn ốp bên cạnh BC, CA và AB, tương ứng;ha, hb và hc độ dài của chiều cao đã giảm từ đỉnh A, B và C, tương ứng. Nếu quảng cáo là bisector góc A của tam giác ABC (hoặc bisector ngoài góc A), sau đó BD: CD = AB: AC (x. vấn đề 1.17). Trong một tam giác bên phải, Trung bình được vẽ từ đỉnh góc bên phải là bằng một nửa hypothenuse (x. 5,16 vấn đề). Để chứng minh rằng điểm giao nhau của một số dòng nằm trên một dòng Menelaus định lý (vấn đề 5.58) thường được sử dụng. Để chứng minh một số đường dây giao nhau tại một thời điểm định lí Ceva (vấn đề 5,70) thường được sử dụng.

Kết quả (Việt) 2:

Các vòng tròn ghi của một tam giác là tiếp tuyến đường tròn với tất cả các mặt của nó. Các trung tâm của một vòng tròn ghi là giao điểm của đường trung các góc của tam giác.

Một vòng tròn bàng tiếp của tam giác ABC là tiếp tuyến đường tròn với một bên của tam giác và phần kéo dài của hai cạnh kia. Đối với mỗi tam giác có đúng ba tròn bàng. Các trung tâm của một vòng tròn tiếp tuyến bàng sang bên kia AB là giao điểm của phân giác của góc C và đường trung của các góc ngoài tại A và B.

Các đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là vòng tròn đi qua các đỉnh của tam giác. Các trung tâm của đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là giao điểm của midperpendiculars để các cạnh của tam giác.

Đối với các yếu tố của một tam giác ABC các ký hiệu sau đây thường được sử dụng:

a, b và c là độ dài các cạnh BC, CA, AB tương ứng; α, β và γ là số đo các góc ở đỉnh A, B, C;

R là bán kính của vòng kết nối gao; r là bán kính của vòng tròn ghi;
ra, rb và rc là bán kính của đường tròn bàng tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng;
ha, hb và hc độ dài đường cao hạ từ đỉnh A, B và C , tương ứng.

Nếu AD là phân giác của góc A của tam giác ABC (hoặc phân giác của góc ngoài tại A), sau đó BD: CD = AB. AC (x Problem 1.17)

trong một tam giác vuông, đường trung tuyến vẽ từ đỉnh của góc vuông bằng nửa cạnh (x Problem 5.16).

để chứng minh rằng các điểm giao nhau của một số dòng nằm trên lý một dòng Menelaus (Problem 5,58) thường được sử dụng.

để chứng minh rằng một số dòng giao nhau tại một định lý Ceva điểm của (Problem 5.70) thường được sử dụng.