Chiral phase transition and stable

Chiral phase transition and stable quark matter solutions at zero temperature
In the limit T → 0, the thermal factors in Eq. (2.50) go over into step functions and the mean-field thermodynamic potential Eq. (2.46) becomes


Ω(0, µ; M, µ˜) = −2Nf Nc

¸ d3p


(2π)3

,Ep + (µ˜−Ep) θ(µ˜−Ep), +

(M − m)2
4ttS −

(µ − µ˜)2 4ttV


+ const. ,
(2.62)

where we have assumed µ ≥ 0 and thus µ˜ ≥ 0. When we also take µ → 0 and use the fact that in this case µ˜ has to vanish as well, we obtain the vacuum thermodynamic potential


Ωvac(M ) := Ω(0, 0; M, 0) = −2Nf Nc

¸ d3p
(2π)3 Ep +

(M − m)2
4ttS


+ const. . (2.63)

Here we can nicely see, that the spontaneous symmetry breaking in vacuum comes about through the interplay between the negative contribution from the Dirac sea (first term on the r.h.s.), which favors large values of M 2, and the positive field energy of the condensate (second term) which favors values of M close to the current mass m. We should keep in mind that the integral, which would be strongly divergent otherwise, is regularized by a cut-off. One can easily check that it rises quadratically with M for small values of M and logarithmically if M is large. Thus for large
M , the positive (M − m)2 term always wins, whereas for small M the over-all behavior depends on the size of the coupling constant.
An example for the vacuum thermodynamic potential as a function of M is shown in the left panel of Fig. 2.8 (dotted line). We have used parameter set 2 of Table 2.2, but in the chiral limit (m = 0). In this case one obtains a vacuum mass Mvac = 388.5 MeV, which corresponds to a minimum Ωvac, while the trivial solution M = 0 is a maximum.
For µ > 0 (but still T = 0), Ω gets modified by the term


δΩmed(0, µ; M, µ˜) = −2Nf Nc

¸ d3p
(2π)3 (µ˜ − Ep) θ(µ˜ − Ep) −

(µ − µ˜)2 4ttV


. (2.64)





Unlike the vacuum part, this term is finite, even without regularization because the integral is cut off by the step function at the Fermi momentum pF = θ(µ˜ − M ) ,µ˜2 − M 2. Thus, as long
as pF < Λ, δΩmed is not affected by the cut-off. Taking a typical value, Λ = 600 MeV, this corresponds to a baryon number density of about 11ρ0. This was what we had in mind, when we said that a sharp 3-momentum cut-off is probably the least severe regularization of medium integrals. (Note, however, that the cut-off does have an impact on the medium contributions at finite T or in color superconducting phases, when the Fermi surface is smeared out.)
For µ˜ ≤ M , pF = 0 and the integral vanishes. In this case the second term in Eq. (2.64) yields the stationary solution µ˜ = µ, i.e., it vanishes, too2.7. Since µ˜ is a strictly rising function of µ and vice versa, we conclude that µ˜ = µ for all µ ≤ M and δΩmed vanishes in this regime. From a physical point of view, this makes sense: At T = 0 the chemical potential corresponds to the Fermi
energy of the system. As long as this is smaller than the constituent quark mass, no quark state can be populated, i.e., the density remains zero. Since n = −∂Ω/∂µ, this implies that Ω remains unchanged2.8. Moreover, according to Eq. (2.45), µ˜ = µ for n = 0.
For µ > M , δΩmed does not vanish and leads to a reduction of Ω, favoring small values of M . In the chiral limit this eventually leads to a restoration of chiral symmetry at some critical chemical potential µc. Above this value, the absolute minimum of the thermodynamic potential corresponds to M = 0. It turns out that there are three different ways how the restored phase can be reached in the model [112, 113]. These scenarios are illustrated in Fig. 2.9 where the constituent quark masses (left panels) and the densities (right panel) are displayed as functions of µ. The plots are based on calculations with parameter set 2 of Table 2.2 and different values of the vector coupling constant ttV : ttV = 0 in the upper line (“case (a)”), ttV = 0.5 ttS in the second line (“case (b)”), and ttV = ttS in the lower line (“case (c)”). The dashed lines correspond to the chiral limit, while for the solid lines we used the current mass m = 5.6 MeV, as given in the table. In that case, chiral symmetry gets of course never restored exactly, but the main points discussed below remain the same.

(a) First-order phase transition at µc < Mvac:
If the reduction of the thermodynamic potential at low masses grows fast enough with µ, it may happen that the phase transition takes place at a critical potential µc which is smaller than the vacuum mass Mvac (see left panel of Fig. 2.8 for illustration). Since δΩmed = 0
for all M ≥ µ, this means that in the vicinity of the vacuum minimum, M = Mvac, the
thermodynamic potential has still its vacuum form. In particular, the solution at M = Mvac
itself still exists and still corresponds to zero density. Thus, if this case is realized, there is a strong first-order phase transition from the vacuum solution M = Mvac into the chirally restored phase with M = 0 (or M = “small” if we are not in the chiral limit). At the same time the density jumps from zero to a relatively large value. Apart from the vacuum, there is no stable solution with broken chiral symmetry and no other stable solution with a smaller density than the critical one.
2.7Note that for repulsive vector interactions, ttV > 0, the stationary solution corresponds to a maximum of Ω with respect to µ˜. This phenomenon is well-known, e.g., from the Walecka model [110]. It means that the condition δΩ/δµ˜ = 0 must not be viewed as a variational principle, but as a constraint: Values of µ˜ which do not fulfill this condition are not thermodynamically consistent and should be discarded.
2.8Although one might think that this argument is only valid for thermodynamic consistent points, it applies to
Ω at any fixed M ≥ µ because δΩmed does not “know” whether or not M corresponds to a stationary point of the total thermodynamic potential.






150 10


100

50

0


0


-10



-50


0 200 400 600
M [MeV]

-20


0 200 400 600
M [MeV]

Figure 2.8: Mean-field thermodynamic potential as a function of the auxiliary variable M (“constituent quark mass”) for parameter set 2 of Table 2.2, but with m = 0 (chiral limit). For each value of M , the gap equation (2.55) has been solved to eliminate the auxiliary variable µ˜. All functions are symmetric in M , but only the positive part is shown. Left: ttV = 0 and chemical potentials µ = 0 (dotted), µ = 300 MeV (dashed), µ = µc = 368.6 MeV (solid), and µ = 400 MeV (dash-dotted). Right: ttV = ttS and chemical potentials µ = 0 (dotted), µ = 430 MeV (dashed), µ = 440 MeV (dash-dotted), and µ = µc = 444.3 MeV (solid). The vacuum result (dotted) is identical to that for ttV = 0.


(b) First-order phase transition at µc > Mvac:
This case is similar to case (a), but with a slower reduction of the thermodynamic potential at low masses, such that the phase transition takes only place at a critical potential µc > Mvac. This means, there is an interval Mvac < µ < µc, where the system is still in the chirally broken phase, but δΩmed is already non-zero at M = Mvac and shifts the minimum to lower values and its location to lower masses. Thus, in this interval, the constituent mass goes smoothly down and the density smoothly rises with µ. Eventually, at µ = µc the phase transition takes place and constituent mass and density show a similar discontinuous behavior as in case (a).
(c) Second-order phase transition (µc > Mvac):
Unlike in (a) and (b) it is also possible that δΩmed does not produce an extra minimum at M = 0 (in the chiral limit), and the “old” minimum moves all the way down to zero when µ is increased to sufficiently high values (see right panel of Fig. 2.8). As pointed out earlier, in the chiral limit Ω is symmetric in M . Thus below µc there are two degenerate minima with opposite sign. At µ = µc they merge and turn the maximum at M = 0 into a minimum.
Like in case (b) the constituent mass drops smoothly, beginning at µ = Mvac, but this time there is no discontinuity at any higher value of µ. In the chiral limit, the second-order phase transition manifests itself in a discontinuous derivative of the mass and the density as a function of µ. For m ƒ= 0 there is only a cross-over, and all variables vary smoothly.
In principle, one could imagine further scenarios. For instance, there could be a discontinuous jump not directly into the restored phase but to a solution with a finite constituent quark mass,


















0
300 400 500
 [MeV]
500


0
300 400 500
 [MeV]
5













0
300 400 500
 [MeV]
500

0
300 400 500
 [MeV]
5



















0
300 400 500
 [MeV]

0
300 400 500
 [MeV]

Figure 2.9: Masses (left) and baryon number densities (right) as functions of the chemical potential µ, illustrating the three types of phase transitions in the NJL model at T = 0. The solid lines correspond to parameter set 2 of Table 2.2, the dashed lines to the chiral limit. The vector coupling is ttV = 0 (a), ttV = 0.5 ttS (b), and ttV = ttS (c). 36





which eventually goes to zero at higher chemical potential. Such a behavior would imply that the thermodynamic potential develops another minimum at finite M which is different from the vacuum one. Inspecting the structure of Ωvac and δΩmed, this seems to be difficult to realize although we have not proven it rigorously. In any case, we have not found such solutions. This can be different, however, if we go beyond mean-field approximation. In this context it is interesting that a behavior of the above type has recently been found within a renormalization group analysis of the quark-meson coupling model [114].
It should be reminded that, although the functions M (µ) and ρB (µ) depend on the vector coupling ttV and are therefore different for the t

Kết quả (Việt) 1:

Chiral phase transition and stable quark matter solutions at zero temperatureIn the limit T → 0, the thermal factors in Eq. (2.50) go over into step functions and the mean-field thermodynamic potential Eq. (2.46) becomes Ω(0, µ; M, µ˜) = −2Nf Nc ¸ d3p (2π)3 ,Ep + (µ˜−Ep) θ(µ˜−Ep), + (M − m)24ttS − (µ − µ˜)2 4ttV + const. ,(2.62) where we have assumed µ ≥ 0 and thus µ˜ ≥ 0. When we also take µ → 0 and use the fact that in this case µ˜ has to vanish as well, we obtain the vacuum thermodynamic potential Ωvac(M ) := Ω(0, 0; M, 0) = −2Nf Nc ¸ d3p(2π)3 Ep + (M − m)24ttS + const. . (2.63) Here we can nicely see, that the spontaneous symmetry breaking in vacuum comes about through the interplay between the negative contribution from the Dirac sea (first term on the r.h.s.), which favors large values of M 2, and the positive field energy of the condensate (second term) which favors values of M close to the current mass m. We should keep in mind that the integral, which would be strongly divergent otherwise, is regularized by a cut-off. One can easily check that it rises quadratically with M for small values of M and logarithmically if M is large. Thus for largeM , the positive (M − m)2 term always wins, whereas for small M the over-all behavior depends on the size of the coupling constant.An example for the vacuum thermodynamic potential as a function of M is shown in the left panel of Fig. 2.8 (dotted line). We have used parameter set 2 of Table 2.2, but in the chiral limit (m = 0). In this case one obtains a vacuum mass Mvac = 388.5 MeV, which corresponds to a minimum Ωvac, while the trivial solution M = 0 is a maximum.For µ > 0 (but still T = 0), Ω gets modified by the term δΩmed(0, µ; M, µ˜) = −2Nf Nc ¸ d3p(2π)3 (µ˜ − Ep) θ(µ˜ − Ep) − (µ − µ˜)2 4ttV . (2.64) Unlike the vacuum part, this term is finite, even without regularization because the integral is cut off by the step function at the Fermi momentum pF = θ(µ˜ − M ) ,µ˜2 − M 2. Thus, as longas pF < Λ, δΩmed is not affected by the cut-off. Taking a typical value, Λ = 600 MeV, this corresponds to a baryon number density of about 11ρ0. This was what we had in mind, when we said that a sharp 3-momentum cut-off is probably the least severe regularization of medium integrals. (Note, however, that the cut-off does have an impact on the medium contributions at finite T or in color superconducting phases, when the Fermi surface is smeared out.)For µ˜ ≤ M , pF = 0 and the integral vanishes. In this case the second term in Eq. (2.64) yields the stationary solution µ˜ = µ, i.e., it vanishes, too2.7. Since µ˜ is a strictly rising function of µ and vice versa, we conclude that µ˜ = µ for all µ ≤ M and δΩmed vanishes in this regime. From a physical point of view, this makes sense: At T = 0 the chemical potential corresponds to the Fermienergy of the system. As long as this is smaller than the constituent quark mass, no quark state can be populated, i.e., the density remains zero. Since n = −∂Ω/∂µ, this implies that Ω remains unchanged2.8. Moreover, according to Eq. (2.45), µ˜ = µ for n = 0.For µ > M , δΩmed does not vanish and leads to a reduction of Ω, favoring small values of M . In the chiral limit this eventually leads to a restoration of chiral symmetry at some critical chemical potential µc. Above this value, the absolute minimum of the thermodynamic potential corresponds to M = 0. It turns out that there are three different ways how the restored phase can be reached in the model [112, 113]. These scenarios are illustrated in Fig. 2.9 where the constituent quark masses (left panels) and the densities (right panel) are displayed as functions of µ. The plots are based on calculations with parameter set 2 of Table 2.2 and different values of the vector coupling constant ttV : ttV = 0 in the upper line (“case (a)”), ttV = 0.5 ttS in the second line (“case (b)”), and ttV = ttS in the lower line (“case (c)”). The dashed lines correspond to the chiral limit, while for the solid lines we used the current mass m = 5.6 MeV, as given in the table. In that case, chiral symmetry gets of course never restored exactly, but the main points discussed below remain the same.(a) First-order phase transition at µc < Mvac:If the reduction of the thermodynamic potential at low masses grows fast enough with µ, it may happen that the phase transition takes place at a critical potential µc which is smaller than the vacuum mass Mvac (see left panel of Fig. 2.8 for illustration). Since δΩmed = 0for all M ≥ µ, this means that in the vicinity of the vacuum minimum, M = Mvac, thethermodynamic potential has still its vacuum form. In particular, the solution at M = Mvacitself still exists and still corresponds to zero density. Thus, if this case is realized, there is a strong first-order phase transition from the vacuum solution M = Mvac into the chirally restored phase with M = 0 (or M = “small” if we are not in the chiral limit). At the same time the density jumps from zero to a relatively large value. Apart from the vacuum, there is no stable solution with broken chiral symmetry and no other stable solution with a smaller density than the critical one.2.7Note that for repulsive vector interactions, ttV > 0, the stationary solution corresponds to a maximum of Ω with respect to µ˜. This phenomenon is well-known, e.g., from the Walecka model [110]. It means that the condition δΩ/δµ˜ = 0 must not be viewed as a variational principle, but as a constraint: Values of µ˜ which do not fulfill this condition are not thermodynamically consistent and should be discarded.2.8Although one might think that this argument is only valid for thermodynamic consistent points, it applies toΩ at any fixed M ≥ µ because δΩmed does not “know” whether or not M corresponds to a stationary point of the total thermodynamic potential. 150 10 100500 0-10 -50 0 200 400 6000 200 400 600M [MeV] -20 0 200 400 6000 200 400 600M [MeV]
Figure 2.8: Mean-field thermodynamic potential as a function of the auxiliary variable M (“constituent quark mass”) for parameter set 2 of Table 2.2, but with m = 0 (chiral limit). For each value of M , the gap equation (2.55) has been solved to eliminate the auxiliary variable µ˜. All functions are symmetric in M , but only the positive part is shown. Left: ttV = 0 and chemical potentials µ = 0 (dotted), µ = 300 MeV (dashed), µ = µc = 368.6 MeV (solid), and µ = 400 MeV (dash-dotted). Right: ttV = ttS and chemical potentials µ = 0 (dotted), µ = 430 MeV (dashed), µ = 440 MeV (dash-dotted), and µ = µc = 444.3 MeV (solid). The vacuum result (dotted) is identical to that for ttV = 0.


(b) First-order phase transition at µc > Mvac:
This case is similar to case (a), but with a slower reduction of the thermodynamic potential at low masses, such that the phase transition takes only place at a critical potential µc > Mvac. This means, there is an interval Mvac < µ < µc, where the system is still in the chirally broken phase, but δΩmed is already non-zero at M = Mvac and shifts the minimum to lower values and its location to lower masses. Thus, in this interval, the constituent mass goes smoothly down and the density smoothly rises with µ. Eventually, at µ = µc the phase transition takes place and constituent mass and density show a similar discontinuous behavior as in case (a).
(c) Second-order phase transition (µc > Mvac):
Unlike in (a) and (b) it is also possible that δΩmed does not produce an extra minimum at M = 0 (in the chiral limit), and the “old” minimum moves all the way down to zero when µ is increased to sufficiently high values (see right panel of Fig. 2.8). As pointed out earlier, in the chiral limit Ω is symmetric in M . Thus below µc there are two degenerate minima with opposite sign. At µ = µc they merge and turn the maximum at M = 0 into a minimum.
Like in case (b) the constituent mass drops smoothly, beginning at µ = Mvac, but this time there is no discontinuity at any higher value of µ. In the chiral limit, the second-order phase transition manifests itself in a discontinuous derivative of the mass and the density as a function of µ. For m ƒ= 0 there is only a cross-over, and all variables vary smoothly.
In principle, one could imagine further scenarios. For instance, there could be a discontinuous jump not directly into the restored phase but to a solution with a finite constituent quark mass,


















0
300 400 500
 [MeV]
500


0
300 400 500
 [MeV]
5













0
300 400 500
 [MeV]
500

0
300 400 500
 [MeV]
5



















0
300 400 500
 [MeV]

0
300 400 500
 [MeV]

Figure 2.9: Masses (left) and baryon number densities (right) as functions of the chemical potential µ, illustrating the three types of phase transitions in the NJL model at T = 0. The solid lines correspond to parameter set 2 of Table 2.2, the dashed lines to the chiral limit. The vector coupling is ttV = 0 (a), ttV = 0.5 ttS (b), and ttV = ttS (c). 36





which eventually goes to zero at higher chemical potential. Such a behavior would imply that the thermodynamic potential develops another minimum at finite M which is different from the vacuum one. Inspecting the structure of Ωvac and δΩmed, this seems to be difficult to realize although we have not proven it rigorously. In any case, we have not found such solutions. This can be different, however, if we go beyond mean-field approximation. In this context it is interesting that a behavior of the above type has recently been found within a renormalization group analysis of the quark-meson coupling model [114].
It should be reminded that, although the functions M (µ) and ρB (µ) depend on the vector coupling ttV and are therefore different for the t

Kết quả (Việt) 2:

Chiral giai đoạn chuyển tiếp và các giải pháp vật chất quark ổn định ở nhiệt độ zero
Trong giới hạn T → 0, các yếu tố nhiệt trong biểu thức. (2.50) đi qua thành chức năng bước và trung bình-lĩnh vực nhiệt động Eq tiềm năng. (2.46) trở thành Ω (0, μ; M, μ~) = -2Nf Nc ¸ d3p (2π) 3, Ep + (μ~-Ep) θ (μ~-Ep), + (M - m) 2 4ttS - (μ - μ~) 2 4ttV + const. , (2.62), nơi chúng tôi đã giả định μ ≥ 0 và do đó μ~ ≥ 0. Khi chúng tôi cũng mất μ → 0 và sử dụng thực tế là trong trường hợp này μ~ có biến mất là tốt, chúng ta có được chân không nhiệt động lực tiềm năng Ωvac (M ): = Ω (0, 0, M, 0) = -2Nf Nc ¸ d3p (2π) 3 Ep + (M - m) 2 4ttS + const. . (2.63) Ở đây chúng ta độc đáo có thể thấy, đó là sự đối xứng tự phát phá vỡ trong chân không xẩy ra qua sự tương tác giữa những đóng góp tiêu cực từ biển Dirac (nhiệm kỳ đầu tiên trên RHS), trong đó ưu giá trị lớn của M 2, và năng lượng trường tích cực của condensate (nhiệm kỳ thứ hai) trong đó ưu giá trị của M gần với khối lượng m hiện tại. Chúng ta nên nhớ rằng không thể thiếu, đó sẽ là mạnh mẽ khác nhau nếu không, là đúng quy tắc của một cut-off. Người ta có thể dễ dàng kiểm tra xem nó tăng bậc hai với M cho giá trị nhỏ của M và loga nếu M là lớn. Do đó đối với lớn M, cực dương (M - m) hạn 2 luôn luôn thắng, trong khi đó đối nhỏ M hành vi qua tất cả phụ thuộc vào kích thước của các khớp nối liên tục. Một ví dụ cho các chân tiềm năng nhiệt động lực học là một chức năng của M được thể hiện trong bảng điều khiển bên trái của hình. 2.8 (đường chấm). Chúng tôi đã sử dụng cài đặt thông số 2 của Bảng 2.2, nhưng trong giới hạn chiral (m = 0). Trong trường hợp này một lấy một MVAC khối chân không = 388,5 MeV, tương ứng với một Ωvac tối thiểu, trong khi các giải pháp tầm thường M = 0 là tối đa. Đối với μ> 0 (nhưng vẫn T = 0), Ω được sửa đổi bằng thuật ngữ δΩmed (0, μ; M, μ~) = -2Nf Nc ¸ d3p (2π) 3 (μ~ - Ep) θ (μ~ - Ep) - (μ - μ~) 2 4ttV. (2,64) Không giống như phần chân không, thuật ngữ này là hữu hạn, thậm chí không chính quy vì tách rời được cắt bởi các chức năng bước vào đà Fermi pF = θ (μ~ - M), μ~2 - M 2. Như vậy, như dài như pF <Λ, δΩmed không bị ảnh hưởng bởi các cut-off. Lấy một giá trị tiêu biểu, Λ = 600 MeV, điều này tương ứng với một mật độ số baryon khoảng 11ρ0. Đây là những gì chúng tôi đã có trong tâm trí, khi chúng ta nói rằng một sắc nét 3-đà cut-off có lẽ là quy tắc nghiêm trọng nhất của tích trung bình. (Lưu ý, tuy nhiên, các cut-off không có tác động vào sự đóng góp trung bình tại hữu hạn T hoặc theo giai đoạn siêu màu sắc, khi bề mặt Fermi đã bị vấy bẩn ra ngoài.) Đối với μ~ ≤ M, pF = 0 và Vanishes thể thiếu. Trong trường hợp này, thuật ngữ thứ hai trong phương trình. (2,64) mang lại các giải pháp văn phòng phẩm μ~ = μ, tức là, nó biến mất, too2.7. Kể từ μ~ là một chức năng tăng nghiêm ngặt của μ và ngược lại, chúng tôi kết luận rằng μ~ = μ cho tất cả μ ≤ M và δΩmed biến mất trong chế độ này. Từ một điểm vật lý của xem, điều này có ý nghĩa: Tại T = 0 tiềm năng hóa học tương ứng với Fermi năng lượng của hệ thống. Chừng nào điều này là nhỏ hơn so với khối lượng cấu thành quark, không một quốc quark có thể được dân cư, tức là, mật độ vẫn bằng không. Kể từ khi n = -∂Ω / ∂μ, điều này hàm ý rằng Ω vẫn unchanged2.8. Hơn nữa, theo phương trình. (2.45), μ~ = μ cho n = 0. Đối với μ> M, δΩmed không biến mất và dẫn đến giảm Ω, ưu giá trị nhỏ của M. Trong giới hạn chiral này cuối cùng dẫn đến một sự phục hồi đối xứng chiral tại một số μc tiềm năng hóa học quan trọng. Trên giá trị này, tối thiểu tuyệt đối của nhiệt động lực tiềm năng tương ứng với M = 0. Nó chỉ ra rằng có ba cách khác nhau như thế nào trong giai đoạn phục hồi có thể đạt được trong mô hình [112, 113]. Các kịch bản này được minh họa trong hình. 2,9 nơi quần chúng thành quark (bảng bên trái) và mật độ (bảng bên phải) được hiển thị như các chức năng của μ. Các lô được dựa trên các tính toán với tham số thiết lập 2 Bảng 2.2 và các giá trị khác nhau của các vector ghép TTV không đổi: TTV = 0 trong dòng trên ("trường hợp (a)"), TTV = 0,5 TTS trong dòng thứ hai ("trường hợp (b) "), và TTV = TTS trong các dòng thấp hơn (" trường hợp (c) "). Các đường đứt nét tương ứng với giới hạn chiral, trong khi đối với các đường liền chúng tôi sử dụng khối lượng m = 5,6 MeV hiện nay, như được đưa ra trong bảng. Trong trường hợp đó, đối xứng chiral được tất nhiên không bao giờ phục hồi chính xác, nhưng những điểm chính được thảo luận dưới đây vẫn như cũ. (A) chuyển tiếp giai đoạn đầu tiên-trật tự tại μc <MVAC: nếu bị suy giảm khả năng nhiệt động lực học ở khối thấp mọc đủ với nhanh μ, nó có thể xảy ra rằng quá trình chuyển đổi diễn ra tại một μc tiềm năng quan trọng mà là nhỏ hơn so với chân không khối lượng nhiệt lạnh (xem bảng bên trái của hình. 2.8 để minh hoạ). Kể từ δΩmed = 0 cho tất cả M ≥ μ, điều này có nghĩa là trong vùng lân cận của mức tối thiểu chân không, M = nhiệt lạnh, các tiềm năng nhiệt vẫn có dạng chân của mình. Đặc biệt, các giải pháp tại M = MVAC chính nó vẫn tồn tại và vẫn còn tương ứng với mật độ zero. Do đó, nếu trường hợp này được thực hiện, có một thứ tự đầu tiên giai đoạn chuyển mạnh mẽ từ các giải pháp hút chân không M = MVAC vào giai đoạn chirally phục hồi với M = 0 (hoặc M = "nhỏ" nếu chúng ta không ở trong giới hạn chiral). Đồng thời mật độ nhảy từ số không đến một giá trị tương đối lớn. Ngoài các chân không, không có giải pháp ổn định với đối xứng bị phá vỡ đối xứng và không có giải pháp ổn định khác với mật độ nhỏ hơn so với một quan trọng. 2.7Note đó cho các tương tác vector lực đẩy, TTV> 0, các giải pháp văn phòng phẩm tương ứng với mức tối đa là Ω với Đối với L. Hiện tượng này là nổi tiếng, ví dụ, từ mô hình Walecka [110]. Nó có nghĩa là tình trạng δΩ / δμ~ = 0 phải không được xem như là một nguyên tắc biến phân, nhưng là một hạn chế:. Giá trị của μ~ mà không đáp ứng điều kiện này không phải là về mặt nhiệt động phù hợp và nên vứt 2.8Although người ta có thể nghĩ rằng lập luận này chỉ có giá trị cho các điểm phù hợp nhiệt động lực, nó áp dụng cho Ω tại bất kỳ M cố định ≥ L vì δΩmed không "biết" hay không M tương ứng với một điểm dừng của tổng lượng nhiệt động lực học. 150 10 100 50 0 0 -10 -50






























































































0 200 400 6000 200 400 600
M [MeV] -20




0 200 400 6000 200 400 600
M [MeV] Hình 2.8: Mean-lĩnh vực tiềm năng nhiệt động lực học như là một hàm của biến phụ trợ M ("khối lượng quark cấu thành") cho các tham số thiết lập 2 Bảng 2.2, nhưng với m = 0 (hạn chiral). Đối với mỗi giá trị của M, phương trình khoảng cách (2,55) đã được giải quyết để loại bỏ các μ~ biến phụ trợ. Tất cả các chức năng là đối xứng trong M, nhưng chỉ có một phần tích cực được thể hiện. Left: TTV = 0 và hóa học tiềm năng μ = 0 (chấm), μ = 300 MeV (tan), μ = μc = 368,6 MeV (rắn), và μ = 400 MeV (dash-dotted). Right: TTV = TTS và tiềm năng hóa μ = 0 (chấm), μ = 430 MeV (tan), μ = 440 MeV (dash-dotted), và μ = μc = 444,3 MeV (rắn). Kết quả chân không (chấm) là giống hệt nhau để mà cho TTV = 0. (b) Đầu tiên-trật tự giai đoạn chuyển tiếp tại μc> nhiệt lạnh: Trường hợp này cũng tương tự như trường hợp (a), nhưng với một sự giảm chậm hơn về tiềm năng nhiệt động lực học ở khối thấp , như vậy là quá trình chuyển đổi chỉ mất chỗ ở μc tiềm năng quan trọng> MVAC. Điều này có nghĩa, có một khoảng nhiệt lạnh <μ <μc, nơi mà hệ thống vẫn đang trong giai đoạn chirally bị hỏng, nhưng δΩmed đã không bằng không là M = nhiệt lạnh và thay đổi tối thiểu để hạ thấp giá trị và vị trí của mình cho quần chúng thấp hơn. Như vậy, trong khoảng thời gian này, các đoàn thể thành ra trôi chảy xuống và mật độ trơn tru tăng với μ. Cuối cùng, tại μ = μc quá trình chuyển đổi diễn ra và khối lượng thành phần và mật độ hiện một hành vi không liên tục tương tự như trong trường hợp (a). (C) Thứ hai-trật tự giai đoạn chuyển tiếp (μc> nhiệt lạnh): Không giống như trong (a) và (b ) nó cũng có thể là δΩmed không sản xuất một mức tối thiểu thêm tại M = 0 (trong giới hạn chiral), và "cũ" di chuyển tối thiểu tất cả các con đường xuống bằng không khi μ được tăng lên đủ giá trị cao (xem bảng bên phải của vả. 2,8). Như đã chỉ ra trước đó, trong giới hạn chiral Ω là đối xứng trong M. Vì vậy dưới đây μc có hai cực tiểu thoái hóa với dấu hiệu ngược lại. Tại μ = μc chúng hợp nhất và biến tối đa tại M = 0 vào mức tối thiểu. Giống như trong trường hợp (b) khối cấu thành giọt chảy, bắt đầu từ μ = nhiệt lạnh, nhưng lần này không có gián đoạn tại bất kỳ giá trị cao hơn của μ. Trong giới hạn chiral, thứ hai-thứ tự giai đoạn chuyển tiếp tự biểu lộ trong một dẫn xuất không liên tục của khối lượng và mật độ như là một chức năng của μ. Cho m ƒ = 0 chỉ có một cross-over, và tất cả các biến khác nhau suốt. Về nguyên tắc, người ta có thể tưởng tượng kịch bản nữa. Ví dụ, có thể là một bước nhảy liên tục không trực tiếp vào giai đoạn phục hồi, nhưng đến một giải pháp với một khối lượng cấu thành quark hữu hạn, 0 300 400 500  [MeV] 500 0 300 400 500  [MeV] 5 0 300 400 500  [ MeV] 500 0 300 400 500  [MeV] 5 0 300 400 500  [MeV] 0 300 400 500  [MeV] Hình 2.9: Thánh Lễ (trái) và mật độ số baryon (bên phải) là chức năng của μ tiềm năng hóa học, minh hoạ cho ba loại chuyển pha trong mô hình NJL tại T = 0. Những đường liền tương ứng với tham số thiết lập 2 Bảng 2.2, các đường đứt nét đến giới hạn chiral. Các vector khớp nối là TTV = 0 (a), TTV = 0,5 TTS (b), và TTV = TTS (c). 36 mà cuối cùng đi đến số không ít tiềm năng hóa học cao hơn. Một hành vi như vậy sẽ hàm ý rằng tiềm năng phát triển nhiệt khác tối thiểu tại hữu hạn M mà là khác nhau từ một chân không. Kiểm tra cấu trúc của Ωvac và δΩmed, điều này có vẻ là khó khăn để nhận ra mặc dù chúng tôi đã không được chứng minh nó một cách nghiêm ngặt. Trong mọi trường hợp, chúng tôi đã không tìm thấy các giải pháp như vậy. Điều này có thể khác nhau, tuy nhiên, nếu chúng ta đi xa hơn bình trường xấp xỉ. Trong bối cảnh này, điều thú vị là một hành vi của các loại trên gần đây đã được tìm thấy trong một phân tích nhóm tái chuẩn hóa của các mô hình quark-meson khớp nối [114]. Nó nên được nhắc nhở rằng, mặc dù các chức năng M (μ) và ρB (μ ) phụ thuộc vào các vector ghép TTV và do đó khác nhau cho các t