Exercise 3.2. For any κ ∈ R+ and τ

Exercise 3.2. For any κ ∈ R
+ and τ ∈ R construct a regular curve
γ : R → R
3 with constant curvature κ and constant torsion τ .
Exercise 3.3. Prove that the curve γ : (−π/2, π/2) → R
3 with
γ : t 7→ (2 cos2
t − 3,sin t − 8, 3 sin2
t + 4)
is regular. Determine whether the image of γ is contained in
ii) a straight line in R
3 or not,
i) a plane in R
3 or not.
Exercise 3.4. Show that the curve γ : R → R
3 given by
γ(t) = (t
3 + t
2 + 3, t3 − t + 1, t2 + t + 1)
is regular. Determine whether the image of γ is contained in
ii) a straight line in R
3 or not,
i) a plane in R
3 or not.
Exercise 3.5. Prove the torsion formula in Proposition 3.16.
Exercise 3.6. Use your local library to find a proof of Theorem
3.11.
Exercise 3.7. Let γ : R → R
3 be a regular C
2
-map parametrizing
a closed curve in R
3 by arclength. Use your local library to find a proof
of Fenchel’s theorem i.e.
L( ˙γ) = ∫ P
0
κ(s)ds ≥ 2π,
where P is the period of γ.

Kết quả (Việt) 1:

Tập thể dục 3.2. Cho bất kỳ κ ∈ R+ và τ ∈ R xây dựng một đường cong thường xuyênΓ: R → R3 với hằng số cong κ và liên tục xoắn τ.Tập thể dục 3.3. Chứng minh rằng đường cong γ: (−π/2, π/2) → R3 vớiΓ: t 7→ (2 cos2t − 3, tội lỗi t − 8, 3 sin2t + 4)là thường xuyên. Xác định cho dù hình ảnh của γ nằm trongII) một đường thẳng trong R3 hay không,i) là một máy bay trong R3 hay không.Tập thể dục 3.4. Thấy rằng đường cong γ: R → R3 được đưa ra bởiΓ(t) = (t3 + t2 + 3, t3 − t + 1, t2 + t + 1)là thường xuyên. Xác định cho dù hình ảnh của γ nằm trongII) một đường thẳng trong R3 hay không,i) là một máy bay trong R3 hay không.Tập thể dục 3.5. Chứng minh công thức xoắn trong Döï Luaät 3,16.Tập thể dục 3.6. Sử dụng thư viện địa phương của bạn để tìm một chứng minh định lý3,11.Tập thể dục 3.7. Hãy để γ: R → R3 là một C thường xuyên2-bản đồ parametrizingmột đường cong đóng trong R3 bởi arclength. Sử dụng thư viện địa phương của bạn để tìm thấy một bằng chứngđịnh lý của Fenchel tức làL (˙Γ) = ∫ P0Κ(s) ds ≥ 2π,trong đó P là giai đoạn γ.

Kết quả (Việt) 2:

Tập thể dục 3.2. Đối với bất kỳ κ ∈ R
+ và τ ​​∈ R xây dựng một đường cong thường
γ: R → R
. 3 với κ cong liên tục và liên tục xoắn τ
Tập thể dục 3.3. Chứng minh rằng các đường cong γ: (-π / 2, π / 2) → R
3 với
γ: t 7 → (2 cos2
t - 3, sin t - 8, 3 sin2
t + 4)
là thường xuyên. Xác định xem các hình ảnh của γ được chứa trong
ii) một đường thẳng trong R
3 hay không,
i) một chiếc máy bay trong R
3 hay không.
Tập thể dục 3.4. Chứng minh rằng γ đường cong: R → R
3 được đưa ra bởi
γ (t) = (t
3 + t
2 + 3, t3 - t + 1, t2 + t + 1)
là thường xuyên. Xác định xem các hình ảnh của γ được chứa trong
ii) một đường thẳng trong R
3 hay không,
i) một chiếc máy bay trong R
3 hay không.
Tập thể dục 3.5. Chứng minh công thức xoắn trong Dự 3.16.
Tập thể dục 3.6. Sử dụng thư viện địa phương của bạn để tìm một chứng minh của định lý
3.11.
Tập thể dục 3.7. Hãy γ: R → R
3 là một C thường xuyên
2
-map parametrizing
một đường cong khép kín trong R
3 bởi arclength. Sử dụng thư viện địa phương của bạn để tìm một chứng minh
của định lý tức là Fenchel của
L (˙γ) = ∫ P
0
κ (s) ds ≥ 2π,
trong đó P là khoảng thời γ.