Deterministic ModelsOf course, ther

Deterministic Models
Of course, there are also deterministic models for the death process. How to justify
deterministic models? The central question of this section will be the connection between
stochastic and deterministic model, respectively how to go from the stochastic model
to the deterministic model. Related with this question is the problem, that differential
equations do have real state variables, while our biological system has discrete entities,
i.e. only assumes values in IN.
There are two major ways of reasoning: either one takes expected values, or (perhaps
more important) one considers large (homogeneous) populations. In the latter case, we
expect variations to play only a minor role. Hence we may use a differential equation
instead of a stochastic process to describe the system.
Remark: Somewhere between small and large populations are medium sized populations.
They may be better described by stochastic differential equations. However, since this
type of model needs a certain technical effort, it is not very often used in mathematical
biology. Also here, this type of model will not be discussed.
Small population: Expected Values
State: Let x(t) be the population size at time t of a deterministic model, describing a
finite population.
x(t) will not be a natural number in a deterministic model (indeed, if we have continuous
time, there is no possibility to define a model in a sensitive way that only assumes discrete
states; implicitly, one has to introduce somewhere an element of discrete time). How to
interprete x(t)?
We consider a finite population, hence there will be some (perhaps little) stochasticity in
the model. It makes no sense to look at a certain realization and try to match x(t) with
this certain realization. We should look at a typical trajectory, i.e. at the mean value,
x(t) = E(Yt).
The mean value, however,does not have to be / is in general not a natural number. Hence,
in this interpretation we do not have a problem with the seemingly contradiction between
real numbers for x(t) and natural numbers for Yt
.
Dynamics: Since we know E(Yt), we find at once the equation governing the dynamics
d
dtµ(t) = −µx(t), x(0) = N.
20 2 INTRODUCTION II: DEATH PROCESS
This interpretation seems very straight forward, but this is not the case: We average
about all trajectories of the stochastic model. There are cases (especially for spatial
structured models), where we average out some interesting properties. Especially, if uses
corresponding methods for nonlinear models. E.g., how to keep spatial correlations in
such an average process is not clear at once. We will discuss approaches later on, that try
to get on with this problem (rapid stirring limit, moment equations).
Large Population: Population Densities
The second approach makes no (direct) use of expectations. The idea here is to use the
fact, that we consider large (homogeneous) populations. I.e., we let the initial population
size Y0 go to infinity. In this case, we expect the random fluctuations (relatively to the
mean value) to be small. Of course, we have to normalize the population size; otherwise
the population size just tends to infinity. Let
u(t) = limY0→∞
Yt
Y0
.
More general, one may consider sone reference magnitude, define z(t) =
Yt/reference magnitude, and let this magnitude go to infinity, where - at the same time -
also Yt tends to infinity. A standard example is the area individuals are living. Then,
z(t) = lim area→∞
population in a certain area(t)
area
i.e., z(t) is the population density (number of individuals per square meter etc.).
Which equation does u(t) satisfy? Define
UY0
(t) = Yt
Y0
.
We may argue, that u(t) is described by e
−µt. Therefore, we consider
v(t) = s
Y0
e
−µt (1 − e
−µt)
(UY0 − e
−µt) = 
e
−µt 
1 − e
−µt
Y0
−1/2
(Yt − E(Yt)).
Hence,
E(v(t)) = 0.
Recall, that Yt =
PY0
i=1 X
(t)
i
is the sum of Bernoulli-random variables, that are i.i.d.
(independently and identically distributed). Then,
Var(v(t)) = 
e
−µt 
1 − e
−µt
Y0

Var(Yt − E(Yt))
=

e
−µt 
1 − e
−µt
Y0

Var (Yt)
=

e
−µt 
1 − e
−µt
Y0

Var


X
Y0
i=1
X
(t)
i


2.2 Deterministic Models 21
=

e
−µt 
1 − e
−µt
Y0



X
Y0
i=1
Var(X
(t)
i
)


=

e
−µt 
1 − e
−µt
Y0
 Y0Var(X
(t)
1
)

=

e
−µt 
1 − e
−µt
Y0
 Y0e
−µt 
1 − e
−µt
= 1
Since Yt
is the sum of i.i.d. Bernoulli-variables, we find by the central limit theorem, that
asymptotically
s
Y0
e
−µt (1 − e
−µt)
(UY0
(t) − e
−µt) ∼a N(0, 1).
Hence, the difference between e
−µt and UY0
(t) becomes small, if (see Fig. 11)
• 1 − e
−µt ≈ 0, i.e. t ≈ 0
• e
−µt ≈ 0, i.e. t ≈ ∞
• Yt ≈ ∞.
Population
Size 0 Y
0 U (t) Y
e
− t µ
time
Deviation small, because t small
Deviation small,
because t large
Deviation small, because Y large 0
Figure 11: Deviation of stochastic (UY0
(t), blue line) and deterministic (e
−µt, red line) model.
Especially, u(t) = limY0→∞ UY0
(t) = e
−µt with respect to the probability measure P, i.e.
we find
d
dtu(t) = −µu(t), u(0) = 1.
The important po

Kết quả (Việt) 1:

Xác định các mô hìnhTất nhiên, cũng là xác định mô hình cho quá trình chết. Làm thế nào để biện minh choxác định mô hình? Câu hỏi trung tâm của phần này sẽ là kết nối giữangẫu nhiên và xác định mô hình, tương ứng làm thế nào để đi từ các mô hình ngẫu nhiênđể xác định mô hình. Liên quan đến với câu hỏi này là vấn đề, những gì khác biệtphương trình có biến thực trạng thái, trong khi hệ thống sinh học của chúng tôi có thể rời rạc,tức là chỉ giả định giá trị trong inCó hai cách chính của lý luận: một trong hai giá trị dự kiến một mất, hoặc (có lẽquan trọng hơn) một xem xét các quần thể lớn (đồng nhất). Trong trường hợp thứ hai, chúng tôimong đợi các biến thể chơi chỉ là một vai trò nhỏ. Do đó chúng tôi có thể sử dụng một phương trình vi phânthay vì một quá trình ngẫu nhiên để mô tả hệ thống.Ghi chú: Một nơi nào đó giữa quần thể nhỏ và lớn có dân số có kích thước trung bình.Họ có thể được mô tả tốt hơn bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên. Tuy nhiên, kể từ đâyloại mô hình cần một nỗ lực kỹ thuật nhất định, nó không phải là rất thường được sử dụng trong toán họcsinh học. Cũng ở đây, loại mô hình sẽ không được thảo luận.Nhỏ dân: giá trị dự kiếnTiểu bang: Cho x(t) là kích thước dân số tại thời gian t của một mô hình xác định, mô tả mộtdân số hữu hạn.x(t) sẽ không là một số tự nhiên trong một mô hình xác định (thực sự, nếu chúng tôi đã liên tụcthời gian, có là không có khả năng để xác định một mô hình trong một cách nhạy cảm chỉ giả định rời rạctiểu bang; ngầm, người ta đã giới thiệu một nơi nào đó một phần tử của thời gian rời rạc). CáchInterprete x(t)?Chúng tôi xem xét một số hữu hạn, do đó sẽ có một số (có lẽ ít) stochasticity trongCác mô hình. Nó làm cho không có ý nghĩa để nhìn vào một nhận thức nhất định và cố gắng để phù hợp với x(t) vớithực hiện điều này nhất định. Chúng ta nên nhìn vào một quỹ đạo điển hình, tức là lúc giá trị trung bình,x(t) = E(Yt).Giá trị có nghĩa là, Tuy nhiên, không phải là / là nói chung không phải là một số tự nhiên. Do đó,trong giải thích này, chúng tôi không có một vấn đề với các dường như có mâu thuẫn giữasố thực cho x(t) và số tự nhiên cho Yt.Động lực: Kể từ khi chúng tôi biết E(Yt), chúng tôi tìm thấy cùng một lúc phương trình áp dụng cho các động tháiddtµ(t) = −µx(t), x(0) = N.20 2 GIỚI THIỆU II: CÁI CHẾT QUÁ TRÌNHGiải thích này có vẻ rất thẳng về phía trước, nhưng đây không phải là trường hợp: chúng tôi trung bìnhvề tất cả hnăm các mô hình ngẫu nhiên. Có những trường hợp (đặc biệt là cho không giancấu trúc mô hình), nơi chúng tôi trung bình trong một số đặc tính thú vị. Đặc biệt là, nếu sử dụngphương pháp tương ứng cho phi tuyến mô hình. Ví dụ, làm thế nào để giữ cho không gian tương quanmột quá trình trung bình không phải là rõ ràng cùng một lúc. Chúng tôi sẽ thảo luận về phương pháp sau này mà cố gắngđể có được trên với vấn đề này (giới hạn khuấy nhanh chóng, thời điểm phương trình).Dân lớn: Mật độ dân sốPhương pháp thứ hai làm cho không có sử dụng (trực tiếp) sự mong đợi. Ý tưởng ở đây là sử dụng cácthực tế, chúng tôi xem xét các quần thể lớn (đồng nhất). Ví dụ, chúng tôi cho dân số ban đầuKích thước Y0 đi đến vô cùng. Trong trường hợp này, chúng tôi mong đợi những biến động ngẫu nhiên (tương đối đến cácgiá trị trung bình) là nhỏ. Tất nhiên, chúng ta phải bình thường hóa kích thước dân số; Nếu khôngKích thước dân số chỉ có xu hướng đến vô cùng. Để chou(t) = limY0→∞YtY0.Tổng quát hơn, một trong những có thể xem xét sone tham khảo độ lớn, xác định z(t) =Cường độ YT/tham chiếu, và để cho cường độ này đi đến vô cùng, nơi - cùng một lúc -cũng Yt có xu hướng đến vô cùng. Một ví dụ tiêu chuẩn là những cá nhân tích đang sống. Sau đó,z(t) = lim area→∞dân số trong một area(t) nhất địnhkhu vựctức là, z(t) là mật độ dân số (số lượng cá nhân cho mỗi mét vuông vv.).U(t) đáp ứng phương trình đó? Xác địnhUY0(t) = YtY0.Chúng ta có thể tranh luận, u(t) đó được mô tả bởi e−µt. Do đó, chúng tôi xem xétv(t) = sY0e−µt (1 − e−µt)(UY0 − e−µt) =e−µt1 − e−µtY0−1/2(Yt − E(Yt)).Do đó,E(v(t)) = 0.Thu hồi, Yt đó =PY0tôi = 1 X(t)tôilà tổng của các biến ngẫu nhiên Bernoulli, có i.i.d.(một cách độc lập và hệt phân phối). Sau đó,Var(v(t)) =e−µt1 − e−µtY0Var (Yt − E(Yt))=e−µt1 − e−µtY0Var (Yt)=e−µt1 − e−µtY0VarXY0tôi = 1X(t)tôi2.2 xác định mô hình 21=e−µt1 − e−µtY0XY0tôi = 1Var (X(t)tôi)=e−µt1 − e−µtY0Y0Var (X(t)1)=e−µt1 − e−µtY0 Y0e−µt 1 − e−µt= 1Since Ytis the sum of i.i.d. Bernoulli-variables, we find by the central limit theorem, thatasymptoticallysY0e−µt (1 − e−µt)(UY0(t) − e−µt) ∼a N(0, 1).Hence, the difference between e−µt and UY0(t) becomes small, if (see Fig. 11)• 1 − e−µt ≈ 0, i.e. t ≈ 0• e−µt ≈ 0, i.e. t ≈ ∞• Yt ≈ ∞.PopulationSize 0 Y0 U (t) Ye− t µtimeDeviation small, because t smallDeviation small,because t largeDeviation small, because Y large 0Figure 11: Deviation of stochastic (UY0(t), blue line) and deterministic (e−µt, red line) model.Especially, u(t) = limY0→∞ UY0(t) = e−µt with respect to the probability measure P, i.e.we findddtu(t) = −µu(t), u(0) = 1.The important po