In contrast, the statement For ever

In contrast, the statement


For every integer m, m2 > m. (3.1)

is false; we do not need to qualify our answer by saying that it is true some of the time and false at other times. To determine whether Statement 3.1 is true or false, we could substitute various values for m into the simpler statement m2 > m, and decide, for each of these values, whether
the statement m2 > m is true or false. Doing so, we see that the statement m2 > m is true for values such as m = −3 or m = 9, but false for m = 0 or m = 1. Thus it is not the case that for every integer m, m2 > m, so Statement 3.1 is false. It is false as a statement because it is
an assertion that the simpler statement m2 > m holds for each integer value of m we substitute in. A phrase like “for every integer m” that converts a symbolic statement about potentially any member of our universe into a statement about the universe instead is called a quantifier. A quantifier that asserts a statement about a variable is true for every value of the variable in its universe is called a universal quantifier.
The previous example illustrates a very important point.

If a statement asserts something for every value of a variable, then to show the statement is false, we need only give one value of the variable for which the assertion is untrue.

Another example of a quantifier is the phrase “There is an integer m” in the sentence There is an integer m such that m2 > m.
This statement is also about the universe of integers, and as such it is true—there are plenty of integers m we can substitute into the symbolic statement m2 > m to make it true. This is an example of an “existential quantifier.” An existential quantifier asserts that a certain element of our universe exists. A second important point similar to the one we made above is:

To show that a statement with an existential quantifier is true, we need only exhibit one value of the variable being quantified that makes the statement true.

As the more complex statement

For every pair of positive integers m and n, there are nonnegative integers q and r
with 0 ≤ r < n such that m = qn + r,
shows, statements of mathematical interest abound with quantifiers. Recall the following defini- tion of the “big-O” notation you have probably used in earlier computer science courses:

Definition 3.2 We say that f (x) = O(g(x)) if there are positive numbers c and n0 such that
f (x) ≤ cg(x) for every x > n0.

Exercise 3.2-2 Quantification is present in our everyday language as well. The sentences “Every child wants a pony” and “No child wants a toothache” are two different examples of quantified sentences. Give ten examples of everyday sentences that use quantifiers, but use different words to indicate the quantification.

Kết quả (Việt) 1:

Ngược lại, các báo cáo Với mỗi số nguyên m, m2 > m. (3.1) là sai; chúng tôi không cần phải vượt qua vòng loại câu trả lời của chúng tôi bằng cách nói rằng nó là đúng một số thời gian và sai thời điểm khác. Để xác định tuyên bố 3.1 là đúng hay sai, chúng tôi có thể thay thế các giá trị khác nhau cho m vào m2 tuyên bố đơn giản > m, và quyết định cho mỗi người trong số các giá trị này, cho dùtuyên bố m2 > m là đúng hay sai. Làm như vậy, chúng ta thấy rằng tuyên bố m2 > m là đúng đối với giá trị như m = −3 hoặc m = 9, nhưng sai cho m = 0 hoặc m = 1. Do đó nó không phải là trường hợp đó cho mỗi số nguyên m, m2 > m, do đó, tuyên bố 3.1 là sai. Đó là sai như một tuyên bố bởi vì nó làmột khẳng định rằng m2 tuyên bố đơn giản > m giữ cho mỗi giá trị số nguyên của chúng tôi thay thế trong m. Một cụm từ như "cho mỗi số nguyên m" mà chuyển đổi một tuyên bố biểu tượng về khả năng bất kỳ thành viên của vũ trụ của chúng tôi vào một tuyên bố về vũ trụ thay vào đó được gọi là một quantifier. Một quantifier khẳng định một tuyên bố về một biến là đúng đối với mỗi giá trị của biến trong vũ trụ của nó được gọi là một quantifier phổ quát.Ví dụ minh họa một điểm rất quan trọng.Nếu một tuyên bố khẳng định một cái gì đó cho mỗi giá trị của biến một, sau đó để hiển thị các báo cáo là sai, chúng tôi cần chỉ cung cấp cho một giá trị của biến mà những khẳng định là không có thật.Một ví dụ khác của một quantifier là cụm từ "Không có một số nguyên m" trong câu có là một số nguyên m như vậy đó m2 > m.Tuyên bố này cũng là về vũ trụ của số nguyên, và như vậy nó là đúng-có rất nhiều số nguyên m chúng tôi có thể thay thế vào biểu tượng tuyên bố m2 > m để làm cho nó đúng. Đây là một ví dụ về một "hiện sinh quantifier." Một quantifier hiện sinh khẳng định rằng một yếu tố nhất định của vũ trụ chúng tôi tồn tại. Một điểm quan trọng thứ hai tương tự như một trong chúng tôi thực hiện ở trên là:Để cho thấy rằng một tuyên bố với một quantifier hiện sinh là đúng, chúng tôi chỉ cần thể hiện một giá trị của biến là quantified mà làm cho tuyên bố đúng.Như câu phức tạp hơnĐối với mỗi cặp số nguyên dương m và n, có những vô số nguyên q và rvới 0 ≤ r < n như vậy rằng m = qn + r,cho thấy, có rất nhiều điều khoản của toán học quan tâm với quantifiers. Nhớ lại defini-tion sau ký hiệu "lớn-O" bạn đã có thể sử dụng trong các khóa học khoa học máy tính trước đó:Definition 3.2 chúng ta nói rằng f (x) = O(g(x)) nếu không có số dương c, n0 như vậy màf (x) ≤ cg(x) cho mọi x > n0.Tập thể dục 3.2-2 Quantification được trình bày trong ngôn ngữ hàng ngày của chúng tôi là tốt. Các câu "mọi trẻ em muốn một con ngựa" và "không có con muốn đau răng" là hai ví dụ different của quantified câu. Cung cấp cho các ví dụ mười hàng ngày câu mà sử dụng quantifiers, nhưng sử dụng different từ để chỉ ra quantification.