4.1 Examples 4.1.1 A Transcendental

4.1 Examples
4.1.1 A Transcendental Equation
Nonalgebraic equations are referred to as being "transcendental." An example is.
and is typical for equations arising in problems of resonance. Before one starts are there roots, it is helpful to gather some qualitative properties about them: any symmetries among the roots? How many roots are there? Where approximately are they located? With regard to symmetry, one notes immediately from (4.2) that the roots are located symmetrically with respect to the origin: if a is a root, so is -a. Also, a = 0 is a trivial root (which is uninteresting in applications). It suffices therefore to consider positive roots. A quick way to get insight into the number and location of roots of (4.2) is to divide the equation by cos x and to rewrite it in the form. No roots are being lost by this transformation, since clearly cosx # 0 at any root x =0. Now on graphs the functionobserves where the two graphs intersect. The respective abscissae of intersection are the desired (real) roots of (4,2). This is illustrated in Fig. 4.1 (not drawn to scale) It is evident from this figure that there are infinitely many positive roots. Indeed, each interval [(2n bT, (2n 1)m], n 1.2.3 has exactly two roots, an Bn, with an rapidly approaching the left endpoint, and Bn the right endpoint, as n increases. These account for all positive roots and thus, by symmetry, for all real roots. applications, it is likely that only the smallest positive root, 1, will be of interest. 4.1.2 A Two-Point Boundary Value Problem Here we are looking for a function y e C200, 1] satisfying the differential equation (4.4) and the boundary conditions y (0) yo, y (l) (4.5)

Kết quả (Việt) 1:

4.1 ví dụ 4.1.1 một phương trình siêu Việt Nonalgebraic phương trình được gọi là "siêu Việt". Một ví dụ là. và là điển hình cho phương trình phát sinh trong các vấn đề của cộng hưởng. Trước khi bắt đầu một đang có nguồn gốc, nó là hữu ích để thu thập một số đặc tính chất lượng về họ: bất kỳ sự giữa rễ? Làm thế nào nhiều rễ đang có? Khoảng chúng ở đâu? Đối với các đối xứng, một ghi chú ngay lập tức từ (4.2) các rễ được đặt đối xứng đối với nguồn gốc: nếu một là một gốc, vì vậy là - một. Ngoài ra, một = 0 là một gốc tầm thường (đó là uninteresting trong ứng dụng). Nó suffices do đó cần xem xét nguồn gốc tích cực. Một cách nhanh chóng để có được cái nhìn sâu sắc vào số lượng và vị trí của rễ (4.2) là để chia các phương trình cos x và để viết lại nó trong các hình thức. Không có rễ đang bị mất bởi chuyển đổi này, kể từ rõ ràng cosx # 0 bất kỳ gốc x = 0. Bây giờ trên đồ thị functionobserves nơi giao nhau của hai đồ thị. Abscissae giao điểm, tương ứng là các rễ (4.2) mong muốn (thực sự). Điều này được minh họa trong hình 4.1 (không được rút ra để quy mô), nó là điều hiển nhiên từ con số này đang vô cùng nhiều rễ tích cực. Thật vậy, mỗi khoảng thời gian [(2n bT, (2n 1) m], n 1.2.3 có nguồn gốc từ chính xác hai, Bn một, với một nhanh chóng tiếp cận endpoint trái, và Bn điểm cuối bên phải, như n tăng. Tài khoản cho tất cả các rễ tích cực và do đó, bởi sự đối xứng, cho tất cả các rễ thật sự. ứng dụng, nó có khả năng chỉ nhỏ nhất tích cực gốc, 1, sẽ quan tâm. 4.1.2 A hai điểm biên giá trị vấn đề ở đây chúng tôi đang tìm kiếm một chức năng y e C200, 1] thỏa mãn phương trình vi phân (4.4) và các điều kiện biên y (0), y (l) (4,5)