Thus Pki=1−1 i3 = (1/4)(k − 1)2k2.

Thus Pki=1−1 i3 = (1/4)(k − 1)2k2. Adding k3 to both sides of this gives
Pki=1 i3 = (1/4)(k − 1)2k2 + k3
= (1/4)((k2 − 2k + 1)k2 + 4k3)
= (1/4)(k4 − 2k3 + k2 + 4k3)
= (1/4)(k4 + 2k3 + k2)
= (1/4)k2(k + 1)2,
and by the definition of S we deduce that k /∈ S. But this is a contradiction,
since k ∈ S by the definition of k. This contradiction completes the proof
that S is empty, which is what we had to prove. ...
The illustrative proof in 3.1.1 above is somewhat convoluted, and is
more naturally expressed as a direct proof by induction, in the usual way. In
other cases, however, the Least Integer Principle may be more natural and
easier to use than induction. Indeed, our next proof is a case in point. We
use 3.1 to prove the Division Theorem for integers:
3.2 Theorem Ifa ∈ Z and n ∈ Z+ then there exist unique integers q and
r with a = qn + r and 0 ≤ r < n.
Pro of. Since r has to be a − qn, the theorem can be rephrased as follows:
(∗) If a ∈ Z and n ∈ Z+ then there exists a
unique integer q such that 0 ≤ a − qn < n.
Given a and n, we first prove the existence of such a q

Kết quả (Việt) 1:

Do đó Pki = 1−1 i3 = (1/4)(k − 1) 2 k 2. Thêm k3 để cả hai bên này cung cấp choPKI = 1 i3 = (1/4)(k − 1) 2 k 2 + k3= (1/4) ((k2 − 2 k + 1) k2 + 4k 3)= (1/4) (k4 − 2k 3 + k2 + 4k 3)= (1/4) (k4 + 2 k 3 + k2)= (1/4) k2 (k + 1) 2,và theo định nghĩa của chúng ta suy ra rằng k /∈ S. Nhưng đây là một mâu thuẫn,kể từ khi k ∈ S theo định nghĩa của k. Mâu thuẫn này hoàn thành các bằng chứngđó S là trống rỗng, mà là những gì chúng tôi đã chứng minh. ...Bằng chứng minh họa trong 3.1.1 ở trên hơi phức tạp, và lànhiều hơn nữa tự nhiên diễn tả như một chứng minh trực tiếp bằng quy nạp, theo cách thông thường. Ởtrường hợp khác, Tuy nhiên, nguyên tắc số nguyên ít nhất có thể tự nhiên hơn vàdễ dàng hơn để sử dụng hơn cảm ứng. Thật vậy, chúng tôi chứng minh tiếp theo là một trường hợp tại điểm. Chúng tôisử dụng 3.1 để chứng minh định lý bộ phận đối với số nguyên:3.2 các định lý Ifa ∈ Z và n ∈ Z + sau đó có tồn tại số nguyên độc đáo q vàr với một = qn + r và 0 ≤ r < n.Chuyên nghiệp của. Do r có phải một qn −, định lý có thể được rephrased như sau:(∗) nếu một ∈ Z và n ∈ Z + sau đó có tồn tại mộtduy nhất số nguyên q như vậy đó 0 ≤ − qn < n.Chúng tôi đưa ra một và n, lần đầu tiên chứng minh sự tồn tại của một q