Lewis Richardson (1881-1953) was a

Lewis Richardson (1881-1953) was a meteorlogist in Britain. A man of wide interests and

abilities, he made contributions to science in the areas of meteorology, fluid dynamics,

fractals and chaos theory .During World War I, he served for France in their medical corps

and saw first hand the horrors of warfare. After the war, he began to analytically think about

the arms buildups going on in Europe, being concerned that it would lead to another global

conflict. The data he gathered and the mathematical model he developed are the subject of

this project.

Background

Familiarity with solutions of systems and matrix algebra; the notion of a discrete dynamical

system.

The Model

Suppose for sake of discussion we study the behavior of three nations; A,B and C. Suppose

nation A is quite aggressive and war prone, nation B a fairly neutral and passive nation (like

Switzerland much of this century), and nation C is a reluctant foe of nation A. Suppose we

assign variables x, y and z to them respectively, which indicate the amount of arms that each

nation has. A convenient unit of measurement is money.

The arms level that each nation has at time t=k+1; one unit of time from now; may depend on

four general things:

1. the amount of arms they already had at time t = k

2. the amount of arms they might build in response to the other nations arms levels

3. the amount of arms they might have gotten rid of due to their internal tendencies

(as we have seen in the US, maintaining armed forces can be expensive and

sometimes is the subject of cutbacks in peacetimes due to other priorities or budget

deficits)

4. if they are particularly warlike, the amount of arms they would build anyway, even if

no other nations presented a threat

These four factors allow us to consider a system of three equations for our three hypothetical

nations:

x(k+1)= f1 x(k) + a12 y(k) + a13 z(k) + g1

y(k+1) = f2 y(k) + a21 x(k) + a23 z(k) + g2

z(k+1) = f3 z(k) + a31 x(k) + a32 y(k) + g3

where, in general, the fi are "fatigue" coefficients described in (3), above, the gi are

"grievances" described in (4), and the aij would represent the response of nation i to the arms

level of nation j.

Source: http://www.prenhall.com 1

Lecture #5 ‐ Linear Algebra Dr. Bao Quoc Ta

These equations might be for any three nations; for our three hypothetical nations, one might

assume that g2 = 0 ,g1 is positive, a32 =0 (since B and C are not enemies), and perhaps that a12

and a13 are greater than 1 (indicating that A overcompensates for everything the other nations

have ). Possibly f1=1, f2 might be zero and f3

Kết quả (Việt) 1:

Lewis Richardson (1881-1953) was a meteorlogist in Britain. A man of wide interests and abilities, he made contributions to science in the areas of meteorology, fluid dynamics, fractals and chaos theory .During World War I, he served for France in their medical corps and saw first hand the horrors of warfare. After the war, he began to analytically think about the arms buildups going on in Europe, being concerned that it would lead to another global conflict. The data he gathered and the mathematical model he developed are the subject of this project. Background Familiarity with solutions of systems and matrix algebra; the notion of a discrete dynamical system. The Model Suppose for sake of discussion we study the behavior of three nations; A,B and C. Suppose nation A is quite aggressive and war prone, nation B a fairly neutral and passive nation (like Switzerland much of this century), and nation C is a reluctant foe of nation A. Suppose we assign variables x, y and z to them respectively, which indicate the amount of arms that each nation has. A convenient unit of measurement is money. The arms level that each nation has at time t=k+1; one unit of time from now; may depend on four general things: 1. the amount of arms they already had at time t = k 2. the amount of arms they might build in response to the other nations arms levels 3. the amount of arms they might have gotten rid of due to their internal tendencies (as we have seen in the US, maintaining armed forces can be expensive and sometimes is the subject of cutbacks in peacetimes due to other priorities or budget deficits) 4. if they are particularly warlike, the amount of arms they would build anyway, even if no other nations presented a threat These four factors allow us to consider a system of three equations for our three hypothetical nations: x(k+1)= f1 x(k) + a12 y(k) + a13 z(k) + g1y(k+1) = f2 y(k) + a21 x(k) + a23 z(k) + g2z(k+1) = f3 z(k) + a31 x(k) + a32 y(k) + g3where, in general, the fi are "fatigue" coefficients described in (3), above, the gi are "grievances" described in (4), and the aij would represent the response of nation i to the arms level of nation j. Source: http://www.prenhall.com 1Lecture #5 ‐ Linear Algebra Dr. Bao Quoc TaThese equations might be for any three nations; for our three hypothetical nations, one might assume that g2 = 0 ,g1 is positive, a32 =0 (since B and C are not enemies), and perhaps that a12and a13 are greater than 1 (indicating that A overcompensates for everything the other nations have ). Possibly f1=1, f2 might be zero and f3 <1 indicating that in the absence of other armed nations, A keeps all its anyway, B gets rid of all of its, and C keeps some of its. Possibly a31might be 1 indicating that for every arm that A has, C will build one. On the other hand, if a13= 1.2, this would indicate that for every arm that C has, A will build 20% more. In matrix form, we have x(k+1) = Ax(k) + g k = 0,1,2,3,... x(0) given where in the above example, In general, one should see that that matrix A has response terms in the off-diagonal entries and (1-fatigue factors) on the diagonal. Steady State It is possible to have an equilibrium situation. This would be where x(k+1) = x(k) or that xs = Axs + g which is algebraically equivalent to (In - A )xs = g .Several considerations are in order here. This is a nonhomogeneous system so  there might be no solution if the rank of I - A is less than n  there might be a unique solution  the solution might have some negative components, which would physically make no sense If a nonnegative steady state occurs, it might suggest that an "uneasy peace" existed. A Solution to the SystemAs in other projects, we may iteratively solve this x(1) = Ax(0) + gx(2) = Ax(1) + g = A( Ax(0) +g) + g = A2x(3) = Ax(2) + g = A(A2x(0) + Ag + g) + g = A3x(0) + Ag + gx(0) + A2g + Ag + gSource: http://www.prenhall.com 2Lecture #5 ‐ Linear Algebra Dr. Bao Quoc Ta. . . and apparently in general, that x(0) +( Ak-1 + Ak-2 + ...+A + In) gx(k) = Ak(one might note that the term in front of g in parentheses is a partial geometric series in A) As earlier in the course, this solution, for k large, may either  tend to infinity (unstable)  tend to the steady state (stable)  go to zero At this point, we only have enough tools to determine this by direct simulation. Richardson's Model of the World in 1935Richardson spent considerable time and effort after WWI gathering data to describe 10 nations and their arms dynamics. He published the 1935 version which includes the following values for the matrix A: Czech .5 0 0 .1 0 0 0 .05 0 0 .05 China 0 .05 0 0 0 0 .2 0 0 .1 .05 France 0 0 0 .1 .2 0 .2 0 0 0 .05 Germany .2 0 .2 5 .1 0 0 .05 0 .04 .15 England 0 0 0 .2 .25 .3 .1 0 0 0 g = .05 Italy 0 0 .1 0 .2 .75 0 0 0 .1 .10 Japan 0 .2 0 0 0 0 .5 0 .2 .2 .15 Poland .05 0 0 .05 0 0 0 .5 0 .05 .05 US 0 0 0 .1 .1 .1 .2 0 .65 .1 .05 USSR 0 .1 0 .4 .1 .1 .2 .05 0 .5 .10 (here the time interval is .05 years) *Problems1. In the basic model, argue why the fatigue coefficients, fi, must be in the range 0 < fi < 1 what would the fi =1 mean? fi = 0? Source: http://www.prenhall.com 3Lecture #5 ‐ Linear Algebra Dr. Bao Quoc Ta2.a. Suppose the coefficient matrix for a group of 4 nations what can you say about the relationships of the 4 nations? b. Assuming no grievances and equal initial arms levels (1 1 1 1)tabove arms race and decide if it is stable or not. If it is stable, what is the equilibrium? If it is not stable, find the factor by which it is eventually geometrically growing. , simulate the 3. Suppose we have a situation where all n nations fall into two groups with i of them in the first group and n-i in the second group. Suppose we have organized them so the first group is variables x1 through xi and the others in xi+1 through xn . Further assume that all those in the first group are allied with each other against all those in the second group, and vice versa. What can you say about how the matrix A will look (no actual numbers, just +,- or 0 for individual entries) ? 4. In terms of the entries in the matrix A, how would you go about spotting nations that are only defensive in their posture? How would a neutral nation like Switzerland appear? 5. In Richardson's 1935 matrix above, 6. In general, neglecting diagonal entries, what would 7. Consider Richardson's 1935 model of the world. 8.a. what nation is the most aggressive? Why/how did you decide? b. what nation is most disliked or feared? Why/how did you decide? a. what would row sums represent? b. what would column sums represent? a. By simulating it, decide if it is stable or not. If it is stable, what is the steady state? If it is unstable, what is the factor by which it geometrically grows? (1 decimal place in either) What nation has the most arms in the long run? b. What is the steady state for this system? a. There have been many attempts in this century in the area of "arms controls", especially after the development and escalation of nuclear weapons following World War II and more recently, the existence of biological and chemical weapons. Suppose you work for the United Nations. Describe in words a
scheme you might find realistic for arms control. Once you have described it,

interpret it mathematically and modifiy Richardson's model accordingly.

b. Apply your arms control scheme to the problem in 2a and show that it does

indeed do what you have intended it to.

c. Is your scheme "fair"? Will some nations feel discriminated against?

Kết quả (Việt) 2:

Lewis Richardson (1881-1953) là một meteorlogist ở Anh. Một người đàn ông của lợi ích rộng và khả năng, ông đã đóng góp cho khoa học trong các lĩnh vực khí tượng học, động lực học chất lỏng, Fractals và lý thuyết hỗn loạn .During Thế chiến I, ông phục vụ cho nước Pháp trong quân đoàn y tế của họ và nhìn thấy bàn tay đầu tiên nỗi kinh hoàng của chiến tranh. Sau chiến tranh, ông bắt đầu suy nghĩ về cách phân tích các mảng bám tay tại châu Âu, đang lo ngại rằng nó sẽ dẫn đến một thế giới xung đột. Các dữ liệu thu thập được, ông và các mô hình toán học ông đã phát triển là chủ đề của dự án này. Background Quen thuộc với các giải pháp của hệ thống và ma trận đại số; khái niệm về một động lực rời rạc của hệ thống. Mô hình Giả sử vì lợi ích của cuộc thảo luận, chúng tôi nghiên cứu hành vi của ba quốc gia; A, B và C. Giả sử A là quốc gia khá tích cực và dễ bị chiến tranh, quốc gia B là một quốc gia khá trung tính và thụ động (như Thụy Sĩ nhiều thế kỷ này), và quốc gia C là một kẻ thù của dân tộc miễn cưỡng A. Giả sử chúng ta gán biến x, y và z để chúng tương ứng, trong đó chỉ ra số lượng vũ khí mà mỗi quốc gia đều có. Một đơn vị thuận tiện đo lường là tiền. Các cánh tay cấp mà mỗi quốc gia đều có tại thời điểm t = k + 1; một đơn vị thời gian từ bây giờ; có thể phụ thuộc vào bốn điều chung: 1. số lượng vũ khí mà họ đã có tại thời điểm t = k 2. số lượng vũ khí mà họ có thể xây dựng để đáp ứng với các cấp độ vũ khí quốc gia khác 3. số lượng vũ khí mà họ có thể gạt bỏ do khuynh hướng nội bộ của họ (như chúng ta đã thấy ở Mỹ, duy trì lực lượng vũ trang có thể tốn kém và đôi khi là đối tượng của việc cắt giảm peacetimes do ưu tiên khác hoặc ngân sách thâm hụt) 4. nếu họ đặc biệt hiếu chiến, số lượng vũ khí mà họ sẽ xây dựng anyway, ngay cả khi không có các quốc gia khác như trình bày một mối đe dọa Bốn yếu tố cho phép chúng ta xem xét một hệ thống ba phương trình cho ba giả thuyết của chúng tôi các quốc gia: x (k + 1) = f1 x (k) + a12 y (k) + A13 z (k) + g1 y (k + 1) = f2 y (k) + A21 x (k) + A23 z (k) + g2 z (k + 1) = f3 z (k) + a31 x (k) + A32 y (k) + g3 nơi, nói chung, các fi là "mệt mỏi" hệ số mô tả trong (3) ở trên, gi là "bất bình" được mô tả trong (4) , và aij sẽ đại diện cho các phản ứng của dân tộc tôi với cánh tay cấp quốc gia j. Nguồn: http://www.prenhall.com 1 Lecture # 5 - Linear Algebra TS Bảo Quốc Tạ Những phương trình này có thể được cho bất kỳ ba quốc gia ; cho ba quốc gia giả định của chúng tôi, người ta có thể giả định rằng g2 = 0, g1 là tích cực, A32 = 0 (kể từ B và C không phải là kẻ thù), và có lẽ đó a12 và A13 là lớn hơn 1 (chỉ ra rằng A overcompensates cho tất cả mọi thứ khác các quốc gia có). Có thể f1 = 1, f2 có thể là zero và f3 <1 cho thấy rằng trong trường hợp không có vũ trang quốc gia, A giữ tất cả của nó dù sao, B được thoát khỏi tất cả của nó, và C giữ một số của nó. Có thể a31 có thể là 1 chỉ ra rằng đối với mỗi cánh tay mà A có, C sẽ xây dựng một. Mặt khác, nếu A13 = 1.2, điều này sẽ chỉ ra rằng đối với mỗi cánh tay C có, A sẽ xây dựng thêm 20%. Ở dạng ma trận, chúng ta có x (k + 1) = Ax (k) + gk = 0, 1,2,3, ... x (0) cho nơi trong ví dụ trên, Nói chung, người ta phải thấy rằng ma trận A có điều kiện phản ứng trong các mục off-chéo và (yếu tố 1-mệt mỏi) trên đường chéo. Steady State Có thể có một trạng thái cân bằng. Đây sẽ là nơi x (k + 1) = x (k) hoặc xs = AXS + g là đại số tương đương (In - A) xs = g. Một số cân nhắc điểm sau đây. Đây là một hệ thống như vậy nonhomogeneous  có thể có nếu không có giải pháp cấp bậc của tôi - Một là ít hơn n  có thể có một giải pháp duy nhất  các giải pháp có thể có một số thành phần tiêu cực, mà thể chất sẽ làm cho không có ý nghĩa nếu một trạng thái ổn định không âm xảy ra, nó có thể cho thấy một "hòa bình khó chịu" tồn tại. Giải pháp cho hệ thống Như trong các dự án khác, chúng ta lặp đi lặp lại có thể giải quyết điều này x (1) = Ax (0) + g (x 2) = Ax (1) + g = A (Ax (0) + g) + g = A2 x (3) = Ax (2) + g = A (A2 x (0) + Ag + g) + g = A3 x (0) + Ag + g x (0) + A2 + g Ag + g Nguồn: http://www.prenhall.com 2 Lecture # 5 - Linear Algebra TS Bảo Quốc Ta . . . và dường như nói chung, mà x (0) + (Ak -1 + Ak-2 + ... + A + In) g x (k) = Ak (người ta có thể lưu ý rằng thuật ngữ trước g trong ngoặc đơn là một loạt hình học một phần trong A) Như trước đó trong khóa học, điều này giải pháp, cho k lớn, có thể một trong hai  có xu hướng đến vô cùng (không ổn định)  có xu hướng đến trạng thái ổn định (ổn định)  đi đến số không Tại thời điểm này, chúng tôi chỉ có đủ công cụ để xác định điều này bằng cách mô phỏng trực tiếp. Mẫu Richardson của thế giới trong 1935 Richardson đã dành nhiều thời gian và nỗ lực sau khi thu thập dữ liệu để mô tả WWI 10 quốc gia và động lực cánh tay của họ. Ông đã xuất bản phiên bản 1935 bao gồm các giá trị sau cho các ma trận A: Czech 0,5 0 0 0,1 0 0 0 0 0 0,05 0,05 0,05 Trung Quốc 0 0 0 0 0 0 0 0,2 0,1 0,05 France 0 0 0 0,1 0,2 0,2 0 0 0 0 0,05 Đức 0,2 0 0,2 5 0,1 0 0 0 0,05 0,04 0,15 Anh 0 0 0 0,2 0,25 0,3 0,1 0 0 0 g = 0,05 Ý 0 0 0,1 0 0,2 0,75 0 0 0 0,1 0,10 Nhật Bản 0 0,2 0 0 0 0 0 0,5 0,2 0,2 0,15 0,05 Ba Lan 0 0 0,05 0 0 0 0 0,5 0,05. 05 Mỹ 0 0 0 0,1 0,1 0,1 0,2 0 0,65 0,1 0,05 0,1 0 0 Liên Xô 0,4 0,1 0,1 0,2 0,05 0,5 0,10 0 (ở đây là khoảng thời gian là 0,05 năm) * Vấn đề 1. Trong các mô hình cơ bản, tranh luận tại sao các hệ số mệt mỏi, fi, phải nằm trong phạm vi 0 <fi <1 điều gì sẽ fi = 1 nghĩa là gì? ? fi = 0 Nguồn: http://www.prenhall.com 3 Lecture # 5 - Linear Algebra TS Bảo Quốc Tạ 2. a. Giả sử ma trận hệ số cho một nhóm 4 nước những gì bạn có thể nói về các mối quan hệ của 4 quốc gia? b. Giả sử không có bất bình và cấp độ vũ khí ban đầu bằng nhau (1 1 1 1) t trên chạy đua vũ trang và quyết định nếu nó là ổn định hay không. Nếu nó là ổn định, là những gì cân bằng? Nếu nó không phải là ổn định, tìm các yếu tố mà nó cuối cùng đã được phát triển hình học. , mô phỏng 3. Giả sử chúng ta có một tình huống mà tất cả các quốc gia n rơi vào hai nhóm với i của họ trong nhóm đầu tiên và ni trong nhóm thứ hai. Giả sử chúng ta đã tổ chức họ để các nhóm đầu tiên là các biến x1 qua xi và những người khác trong xi + 1 thông qua xn. Tiếp tục giả định rằng tất cả những người trong nhóm đầu tiên là đồng minh với nhau chống lại tất cả những người trong nhóm thứ hai, và ngược lại. Những gì bạn có thể nói về cách các ma trận A sẽ xem xét (không có con số thực tế, chỉ cần +, - hoặc 0 cho mục cá nhân)? 4. Trong điều kiện của các mục trong ma trận A, làm thế nào bạn sẽ đi về các quốc gia mà đốm chỉ phòng thủ trong tư thế của họ? Làm thế nào một quốc gia trung lập như Thụy Sĩ xuất hiện? 5. Năm 1935, ma trận của Richardson trên, 6. Nói chung, bỏ qua mục chéo, những gì sẽ 7. Hãy xem xét 1.935 mô hình Richardson của thế giới. 8. a. những gì đất nước là tích cực nhất? Tại sao / làm thế nào bạn quyết định? b. những gì đất nước này được hầu hết không thích hoặc sợ? Tại sao / làm thế nào bạn quyết định? a. điều gì sẽ chèo tiền đại diện? b. những khoản tiền cột sẽ đại diện? a. Bằng cách mô phỏng nó, quyết định nếu nó là ổn định hay không. Nếu nó là ổn định, ổn định là những gì nhà nước? Nếu nó là không ổn định, các yếu tố hình học mà nó phát triển là gì? (1 chữ số thập phân ở một trong hai) nước gì có hầu hết các vũ khí trong thời gian dài? b. Trạng thái ổn định cho hệ thống này là gì? a. Đã có nhiều nỗ lực trong thế kỷ này trong lĩnh vực "điều khiển vũ khí", đặc biệt là sau sự phát triển và sự leo thang của vũ khí hạt nhân sau chiến tranh thế giới II và gần đây hơn, sự tồn tại của sinh học và hóa học vũ khí. Giả sử bạn làm việc cho Liên Hiệp Quốc. Diễn tả bằng lời một chương trình bạn có thể tìm thấy thực tế để kiểm soát vũ khí. Một khi bạn đã mô tả, giải thích nó bằng toán học và modifiy mô hình của Richardson cho phù hợp. b. Áp dụng chương trình kiểm soát vũ khí của bạn để các vấn đề trong 2a và cho thấy rằng nó thực sự làm những gì bạn đã dự định nó. c. Là chương trình của bạn "công bằng"? Một số quốc gia sẽ cảm thấy bị phân biệt chống lại?