arXiv:1509.08651v1 [cond-mat.mes-ha

arXiv:1509.08651v1 [cond-mat.mes-hall] 29 Sep 2015
Tight-binding approach to penta-graphene
T. Stauber,
1
J. I. Beltr ́an,
1
,
2
and J. Schliemann
3
1
Instituto de Ciencia de Materiales de Madrid, CSIC, 28049 Ma
drid, Spain
2
GFMC and Instituto Pluridisciplinar, Departamento de F ́ıs
ica Aplicada III,
Universidad Complutense de Madrid, 28040 Madrid, Spain.
3
Institute for Theoretical Physics, University of Regensbu
rg, D-93040 Regensburg, Germany
We introduce an effective tight-binding model to discuss pen
ta-graphene and present an analytical
solution. This model only involves the
π
-orbitals of the sp
2
-hybridized carbon atoms and reproduces
the two highest valence bands. By introducing energy-depen
dent hopping elements, originating from
the elimination of the sp
3
-hybridized carbon atoms, also the two lowest conduction ba
nds can be
well approximated - but only after the inclusion of a Hubbard
onsite interaction as well as of assisted
hopping terms. The eigenfunctions can be approximated anal
ytically for the effective model without
energy-dependent hopping elements and the optical absorpt
ion is discussed. We find large isotropic
absorption of up to 24% for transitions at the Γ-point, but th
e general absorption will show a
strongly anisotropic behaviour depending on the linear pol
arization of the incident light.
PACS numbers: 78.67.Wj, 78.68.+m, 73.20.-r, 78.90.+t
I. INTRODUCTION
Arguably, carbon is the most versatile element
being capable to form various stable structures
with graphene
1,2
being its most prominent two-
dimensional allotrope out of which most carbon
structures can be built such as fullerene,
3
carbon-
nanotubes
4
or multi-layer graphene
5
and graphite.
Recently, a new allotrope was proposed which
cannot be composed from a graphene sheet: penta-
graphene.
6
It entirely consists of carbon atoms
forming pentagons within the Cairo patterning
and it remains almost flat by adding to its sp
2
-
hybridised carbon atoms also sp
3
-hybridised car-
bon atoms, arranging them in three parallel hori-
zontal planes separated by approximately half an
Angstrom. Penta-graphene, therefore, only expe-
riences a buckling on the atomic scale of a unit
cell and would represent another example of a two-
dimensional semiconductor.
Even though penta-graphene has not been syn-
thesised experimentally, the theoretical analysis
point out many intriguing properties which are
worth discussing in more detail. Most strikingly
in terms of applications is probably the large pre-
dicted band-gap of 3.25eV which makes it a poten-
tial candidate for blue absorption/emission. Nev-
ertheless, the optical properties such as absorption
due to a linearly polarised light field have not been
addressed, yet.
The objective of this work is two-fold. First,
we will discuss the possibility of a simple tight-
binding description to model the valence and con-
duction bands closest to the neutrality point. Our
model will only include the
π
-orbitals of the sp
2
-
hybridised carbon atoms for which an analyti-
cal solution is possible. This is reminiscent to
widely-used tight-binding models for graphene
7–9
and carbon-nanotubes.
10,11
Second, using the an-
alytical approximation, we will also determine the
absorption of linearly polarized light via Fermi’s
Golden Rule.
The paper is organised as follows. In Sec. II,
we discuss the general structure of penta-gaphene.
In Sec. III, we introduce the effective 4-band
model and present its analytical approximation.
In Sec. IV, we discuss the absorption at the high-
symmetry points of the Brillouin zone and close
with a summary and conclusions. In an appendix,
we point out the importance of correlation effects
in order to justify the parameters of the extended
tight-binding model.
II. PENTA-GRAPHENE
A. Lattice structure
The regular Cairo pentagonal patterning is char-
acterized by four bonds forming the pentagon,
three of which have the distance
a
and one has
the distance
b
= (
√
3
−
1)
a
. The unit cell consists
of six carbon atoms and is defined by the two lat-
tice vectors
a
1
=
a
(
√
3
,
√
3) and
a
2
=
a
(
√
3
,
−
√
3).
The length of the quadratic unit cell
|
a
1
|
=
|
a
2
|
=
√
6
a
is obtained from first-principle studies to be
3
.
64
̊
A,
6
which translates into
a
= 1
.
49
̊
Aand
b
=
1
.
09
̊
A.
The real distances as obtained from first-
principle calculations turn out to be slightly dif-
ferent, i.e.,
C
1
−
C
2 = 1
.
55
̊
Aand
b
=
C
2
−
C
2 =
1
.
34
̊
A, where there are two C1-atoms and four C2-
atoms denoting the carbon atoms with sp
3
and
sp
2
-hybridization, respectively. Furthermore, the
atoms are arranged in three different horizontal
planes, of which the C1-atoms form the central
2
plane and two of the four C2-atoms the upper
and the lower plane, respectively.The total dis-
tance between the C1 and C2-atomic horizontal
planes is
h
= 0
.
6
̊
Awhich yields the projected 2D-
distance
a
=
C
1
−
C
2(
projected
) = 1
.
43
̊
Aand
b
=
C
2
−
C
2 = 1
.
34
̊
A.
The distorted Cairo pentagonal patterning is
shown on the left hand side of Fig. 1 where
the C1 and C2-atoms are represented by red and
black dots, respectively. The black horizontal and
vertical bonds of length
b
connect the C2-atoms
whereas the red bonds of the projected length
a
connect the C1 with the C2-atoms.
12
The unit cell
is denoted by the shaded square and consists of
two C1-atoms and four C2-atoms.
Let us finally comment on the symmetry group.
The three-dimensional lattice possesses the S
4
point group and
D
2
d
full space group. The latter
includes the following symmetry elements: one C2
axis along the direction perpendicular to the
a
1
-
a
2
plane, two C2’ axes perpendicular to C2, two dihe-
dral planes
σ
d
bisecting the angles formed by pairs
of the C2’ axes and two improper S
4
axes. For the
strictly two-dimensional lattice, the symmetry ele-
ments is doubled going from
D
2
d
to
D
4
h
full space
group.
B. Density Functional Theory calculations
We calculate the band structure of penta-
graphene using the VASP code,
13,14
based on
density functional theory (DFT). All calcula-
tions were done using the Projector Augmented
Wave potentials
15
and employing the Perdew-
Burke-Ernzerhof flavour of the generalized gra-
dient approximation for the exchange-correlation
functional.
16
Plane waves with a energy cut-off of
500 eV were employed to describe the valence elec-
trons (2
s
2
2
p
2
) of the C atoms. The employed Bril-
louin zone for the relaxation calculations is 9x9x1
in the Monkhorst-Pack scheme,
17
while high ac-
curate electronic calculations to estimate the rela-
tive C1/C2 weight were performed using 11x11x1.
The band structure of free standing pentagraphene
layer was calculated for a fixed lattice constants
of a=b=3.64
̊
A,
6
and including a vacuum distance
of around 20
̊
A. In all calculations the atomic po-
sitions are relaxed till forces are less than 0.015
e-/
̊
A.
We find slightly larger atomic distances than
the one cited in the previous subsection which
were taken from Ref. 6.The obtained band struc-
ture shows the expected narrowing of the band
gap, common to all local and semi-local exchange-
correlation approximations, which is corrected via
a rigid shift of the conduction band to mimic
b
a
a
a
!
a)
A
B
C D
t
o
t
t’
b)
FIG. 1. (color online). a) The lattice structure of
penta-graphene resembling the Cairo pentagonal pat-
terning. The black dots represent carbon atoms with
sp
2
-hybridization (C2) and the red dots stand for car-
bon atoms with sp
3
-hybridization (C1). b) Unit cell of
the reduced tight-binding model consisting of the four
C2-atoms labeled as
A, B, C, D
connected by the three
hopping terms
t
0
,
t
, and
t
′
.
the obtained direct Γ-Γ band gap using hybrid
functionals.
6
After the rigid shift, the band disper-
sion shown in Fig. 2 as red stars agrees remarkably
well to the more costly hybrid functionals. The
C1/C2 atomic contribution ratio of the valence and
conduction band is less than 9% and 10%, respec-
tively, so we can conclude that a four-band model
is an adequate approximation.
III. TIGHT-BINDING AND ANALYTICAL
APPROACH
Our goal is to introduce a tight-binding model
that only considers the four C2-atoms where the
atoms
A
and
B
form the vertical dimer and the
atoms
C
and
D
the horizontal dimers, see right
hand side of Fig. 1. Both dimers are coupled by
the hopping matrix element
t
0
which connects the
two
π
-orbitals. We will set this to the typical value
t
0
= 2
.
7eV.
5
The other hopping matrix elements
involve hopping processes between the two dimers
t
and next-nearest hopping processes between the
same dimers
t
′
. To simplify our model, we will set
t
=
t
′
and determine its value from a fit to the
DFT-band structure. As we will show, this model
can also be well described analytically. But first,
we will discuss the full tight-binding model includ-
ing the six atoms of the unit cell and 4 orbitals
within the Slater-Koster formalism.
18
A. Slater-Koster approach
We start our tight-binding description with the
full model that will include all six atoms of the
unit cell and all four orbitals of the second atomic
energy level, i.e., 2
s
, 2
p
x
, 2
p
y
, 2
p
z
. The hopping

Kết quả (Việt) 1:

arXiv:1509.08651v1 [cond-mat.mes-hall] 29 tháng chín năm 2015Cách tiếp cận ràng buộc chặt chẽ để penta-graphenT. Stauber,1J. I. Beltr ́an,1,2và J. Schliemann31Instituto de Ciencia de Materiales de Madrid, CSIC, 28049 Madrid, Tây Ban Nha2GFMC và Instituto Pluridisciplinar, Departamento de F ́ısICA Aplicada III,Đại học Complutense de Madrid, 28040 Ma-đrít, Tây Ban Nha.3Viện vật lý lý thuyết, đại học RegensbuRG, D-93040 Regensburg, ĐứcChúng tôi giới thiệu một mô hình có hiệu quả ràng buộc chặt chẽ để thảo luận về bútta-graphen và trình bày một phân tíchgiải pháp. Mô hình này chỉ liên quan đến cácΠ-quỹ đạo của sp2-Cặp nguyên tử cacbon và reproducescác ban nhạc hóa trị hai cao nhất. Bằng việc giới thiệu năng lượng-depenDent hopping yếu tố, có nguồn gốc từloại bỏ sp3-Cặp nguyên tử cacbon, cũng hai thấp nhất dẫn baNDS có thểxấp xỉ tốt - nhưng chỉ sau khi sự bao gồm của một Hubbardtương tác tại chỗ cũng như của hỗ trợnhảy điều khoản. Các eigenfunctions có thể được ước chừng hậu mônytically cho các mô hình có hiệu quả mà không cónăng lượng phụ thuộc vào yếu tố hopping và absorpt quang họcion được thảo luận. Chúng tôi tìm thấy lớn đẳng hướnghấp thụ lên đến 24% cho quá trình chuyển đổi tại Γ-point, nhưng the nói chung hấp thụ sẽ hiển thị mộtCác hành vi đẳng hướng mạnh mẽ tùy thuộc vào pol tuyến tínharization đèn sự cố.PACS số: 78.67.Wj, 78.68. + m, 73.20.-r, 78.90. + tI. GIỚI THIỆUTranh cãi, cacbon là yếu tố linh hoạt nhấtcó khả năng để hình thành cấu trúc ổn định khác nhauvới graphen1,2là của nó hai nổi bật nhất-chiều ôzon ra khỏi đó cacbon hầu hếtcấu trúc có thể được xây dựng như fullerene,3Carbon-ống nano4hoặc nhiều lớp graphen5và than chì.Gần đây, một ôzon mới được đề xuất màkhông thể được bao gồm một tấm graphene: penta -Graphene.6Nó hoàn toàn bao gồm các nguyên tử cacbontạo thành pentagons trong Cairo patterningvà nó vẫn còn hầu như bằng phẳng bằng cách thêm vào sp2-hybridised nguyên tử cacbon cũng sp3-xe hơi hybridised-Bon nguyên tử, cách sắp xếp chúng trong ba hori song song-zontal máy bay cách nhau bằng khoảng một nửa mộtAngstrom. Penta-graphen, do đó, chỉ expe-riences một sự oằn trên thang tỷ lệ nguyên tử của một đơn vịtế bào và sẽ đại diện cho một ví dụ khác của một hai -chiều bán dẫn.Mặc dù chưa là penta-graphen syn-thesised thí nghiệm, phân tích lý thuyếtchỉ ra nhiều tài sản hấp dẫn đó làgiá trị thảo luận chi tiết hơn. Đặt nổi bậttrong điều khoản của ứng dụng là có lẽ lớn trướcdicted ban nhạc khoảng cách của 3.25eV mà làm cho nó một poten-chướng ứng cử viên cho màu xanh hấp thu/phát thải. Nev-ertheless, các thuộc tính quang chẳng hạn như hấp thụdo một trường ánh sáng linearly polarised chưađược giải quyết.Mục tiêu của công việc này là hai lần. Đầu tiên,chúng tôi sẽ thảo luận về khả năng của một đơn giản chặt chẽ-ràng buộc các mô tả mô hình các hóa trị và con-duction ban nhạc gần nhất đến độ trung lập. Chúng tôiMô hình sẽ chỉ bao gồm cácΠ-quỹ đạo của sp2-hybridised nguyên tử cacbon mà một analyti -Cal giải pháp có thể. Điều này là gợi nhớ đếnsử dụng rộng rãi mô hình chặt chẽ ràng buộc cho graphen7-9và ống nano cacbon.10,11Thứ hai, bằng cách sử dụng các một -xấp xỉ alytical, chúng tôi sẽ cũng xác định cácsự hấp thụ của tuyến tính phân cực ánh sáng thông qua của FermiQuy tắc vàng.Giấy tổ chức như sau. Ở Sec. II,chúng tôi thảo luận về cấu trúc tổng quát của penta-gaphene.Sec. III, chúng tôi giới thiệu 4 hiệu quả ban nhạcMô hình và trình bày của nó xấp xỉ phân tích.Trong Sec. IV, chúng tôi thảo luận về sự hấp thu lúc cao-đối xứng điểm của khu vực Brillouin và đóngvới một bản tóm tắt và kết luận. Trong một phụ lục,chúng tôi chỉ ra tầm quan trọng của hiệu ứng tương quanđể biện minh cho các tham số của các mở rộngMô hình chặt chẽ ràng buộc.II. PENTA-GRAPHENCấu trúc A. lướiPatterning thường xuyên Cairo pentagonal là char-acterized bằng bốn hình thành Lầu năm góc,ba trong số đó có khoảng cáchmộtvà người takhoảng cáchb= (√3−1)một. Các tế bào đơn vị bao gồmSáu nguyên tử cacbon và được xác định bởi hai lat -Tice vectơmột1=một(√3,√3) vàmột2=một(√3,−√3).Chiều dài của các tế bào đơn vị bậc hai|một1|=|một2|=√6mộtthu được từ các nghiên cứu nguyên tắc đầu tiên phải3.64 ̊A,6mà dịch thànhmột= 1.49 ̊Aandb=1.09 ̊A.Khoảng cách thực tế là thu được từ đầu tiên-principle calculations turn out to be slightly dif-ferent, i.e.,C1−C2 = 1.55 ̊Aandb=C2−C2 =1.34 ̊A, where there are two C1-atoms and four C2-atoms denoting the carbon atoms with sp3andsp2-hybridization, respectively. Furthermore, theatoms are arranged in three different horizontalplanes, of which the C1-atoms form the central2plane and two of the four C2-atoms the upperand the lower plane, respectively.The total dis-tance between the C1 and C2-atomic horizontalplanes ish= 0.6 ̊Awhich yields the projected 2D-distancea=C1−C2(projected) = 1.43 ̊Aandb=C2−C2 = 1.34 ̊A.The distorted Cairo pentagonal patterning isshown on the left hand side of Fig. 1 wherethe C1 and C2-atoms are represented by red andblack dots, respectively. The black horizontal andvertical bonds of lengthbconnect the C2-atomswhereas the red bonds of the projected lengthaconnect the C1 with the C2-atoms.12The unit cellis denoted by the shaded square and consists oftwo C1-atoms and four C2-atoms.Let us finally comment on the symmetry group.The three-dimensional lattice possesses the S4point group andD2dfull space group. The latterincludes the following symmetry elements: one C2axis along the direction perpendicular to thea1-a2plane, two C2’ axes perpendicular to C2, two dihe-dral planesσdbisecting the angles formed by pairsof the C2’ axes and two improper S4axes. For thestrictly two-dimensional lattice, the symmetry ele-ments is doubled going fromD2dtoD4hfull spacegroup.B. Density Functional Theory calculationsWe calculate the band structure of penta-graphene using the VASP code,13,14based ondensity functional theory (DFT). All calcula-tions were done using the Projector AugmentedWave potentials15and employing the Perdew-Burke-Ernzerhof flavour of the generalized gra-dient approximation for the exchange-correlationfunctional.16Plane waves with a energy cut-off of500 eV were employed to describe the valence elec-trons (2s22p2) of the C atoms. The employed Bril-louin zone for the relaxation calculations is 9x9x1in the Monkhorst-Pack scheme,17while high ac-curate electronic calculations to estimate the rela-tive C1/C2 weight were performed using 11x11x1.The band structure of free standing pentagraphenelayer was calculated for a fixed lattice constantsof a=b=3.64 ̊A,6and including a vacuum distanceof around 20 ̊A. In all calculations the atomic po-sitions are relaxed till forces are less than 0.015e-/ ̊A.We find slightly larger atomic distances thanthe one cited in the previous subsection whichwere taken from Ref. 6.The obtained band struc-ture shows the expected narrowing of the bandgap, common to all local and semi-local exchange-correlation approximations, which is corrected viaa rigid shift of the conduction band to mimicbaaa!a)ABC Dtott’b)FIG. 1. (color online). a) The lattice structure ofpenta-graphene resembling the Cairo pentagonal pat-terning. The black dots represent carbon atoms withsp2-hybridization (C2) and the red dots stand for car-bon atoms with sp3-hybridization (C1). b) Unit cell ofthe reduced tight-binding model consisting of the fourC2-atoms labeled asA, B, C, Dconnected by the threehopping termst0,t, andt′.the obtained direct Γ-Γ band gap using hybridfunctionals.6After the rigid shift, the band disper-sion shown in Fig. 2 as red stars agrees remarkablywell to the more costly hybrid functionals. TheC1/C2 atomic contribution ratio of the valence andconduction band is less than 9% and 10%, respec-tively, so we can conclude that a four-band modelis an adequate approximation.III. TIGHT-BINDING AND ANALYTICALAPPROACHOur goal is to introduce a tight-binding modelthat only considers the four C2-atoms where theatomsAandBform the vertical dimer and theatomsCandDthe horizontal dimers, see righthand side of Fig. 1. Both dimers are coupled bythe hopping matrix elementt0which connects thetwoπ-orbitals. We will set this to the typical valuet0= 2.7eV.5The other hopping matrix elementsinvolve hopping processes between the two dimerstand next-nearest hopping processes between thesame dimerst′. To simplify our model, we will sett=t′and determine its value from a fit to theDFT-band structure. As we will show, this modelcan also be well described analytically. But first,we will discuss the full tight-binding model includ-ing the six atoms of the unit cell and 4 orbitalswithin the Slater-Koster formalism.18A. Slater-Koster approachWe start our tight-binding description with thefull model that will include all six atoms of theunit cell and all four orbitals of the second atomicenergy level, i.e., 2s, 2px, 2py, 2pz. The hopping

Kết quả (Việt) 2:

arXiv: 1509.08651v1 [cond-mat.mes-hall] ngày 29 tháng 9 2015
Tight-ràng buộc pháp để penta-graphene
T. Stauber,
1
J. I. Beltr một, 1, 2 và J. Schliemann 3 1 Instituto de Ciencia de Materiales de Madrid, CSIC, 28049 Ma drid, Tây Ban Nha 2 GFMC và Instituto Pluridisciplinar, Departamento de F là ICA Aplicada III, Universidad Complutense de Madrid, Madrid 28040 , Tây Ban Nha. 3 Viện Vật lý lý thuyết, Đại học Regensbu rg, D-93.040 Regensburg, Đức Chúng tôi giới thiệu một mô hình chặt chẽ ràng buộc hiệu quả để thảo luận về bút graphene ta-và trình bày một phân tích giải pháp. Mô hình này chỉ liên quan đến π -orbitals của sp 2 -hybridized nguyên tử carbon và tái tạo hai dải hóa trị cao nhất. Bằng việc giới thiệu năng lượng tùy theo tính dent nhảy yếu tố, có nguồn gốc từ việc loại bỏ các sp 3 -hybridized nguyên tử carbon, cũng hai ba dẫn thấp nhất NDS có thể được xấp xỉ tốt - nhưng chỉ sau khi sự bao gồm của một Hubbard tương tác tại chỗ cũng như các hỗ trợ kỹ thuật nhảy các điều khoản. Các eigenfunctions có thể xấp xỉ anal ytically cho các mô hình hiệu quả mà không có yếu tố nhảy năng lượng phụ thuộc và các absorpt quang ion được thảo luận. Chúng tôi tìm thấy đẳng hướng lớn hấp thụ lên đến 24% đối với quá trình chuyển đổi tại Γ-point, nhưng thứ e hấp thu chung sẽ hiển thị một hành vi mạnh mẽ dị hướng tùy thuộc vào tuyến tính pol arization của ánh sáng tới. Số PACS:. 78.67.Wj, 78,68 + m, 73.20.-r, 78,90. + t I. GIỚI THIỆU Có thể cho rằng, carbon là yếu tố linh hoạt nhất là có khả năng để tạo thành cấu trúc ổn định khác nhau với graphene 1,2 là hai nổi bật nhất của nó allotrope chiều, trong đó hầu hết carbon cấu trúc có thể được xây dựng như fullerene, 3 carbon nano 4 hoặc đa lớp graphene 5 và than chì. Gần đây, một allotrope mới đã được đề xuất mà không thể được tạo ra từ một tấm graphene: penta-. graphene 6 Nó hoàn toàn bao gồm các nguyên tử carbon tạo thành hình ngũ giác trong khuôn mẫu Cairo và nó vẫn còn gần như phẳng bằng cách thêm vào sp của 2 - các nguyên tử carbon hybridised cũng sp 3 -hybridised car- bon nguyên tử, sắp xếp chúng trong ba hori- song song máy bay zontal cách nhau khoảng nửa Angstrom. Penta-graphene, do đó, chỉ có nghiệm riences một oằn trên quy mô nguyên tử của một đơn vị tế bào và sẽ đại diện cho một ví dụ về một hai bán dẫn chiều. Mặc dù penta-graphene đã không được hội chứng thesised nghiệm, phân tích lý thuyết điểm ra nhiều tính chất hấp dẫn mà là giá trị thảo luận chi tiết hơn. Nổi bật nhất về các ứng dụng có lẽ là tiền lớn dicted band-gap của 3.25eV mà làm cho nó một poten- ứng cử viên tiềm cho màu xanh hấp thu / phát thải. Nev- ertheless, các đặc tính quang học như hấp thụ do một trường ánh sáng phân cực thẳng chưa được giải quyết, nêu ra. Mục tiêu của việc này là hai lần. Đầu tiên, chúng ta sẽ thảo luận về khả năng của một tight- đơn giản ràng buộc mô tả để mô hình hóa trị và con- ban nhạc duction gần nhất với điểm trung lập. Chúng tôi mô hình sẽ chỉ bao gồm π -orbitals của sp 2 - hybridised nguyên tử carbon mà một analyti- giải pháp cal là có thể. Điều này gợi nhớ để sử dụng rộng rãi chặt chẽ ràng buộc mô hình cho graphene 7-9 và carbon-ống nano. 10,11 Thứ hai, sử dụng tổng quan nghiên cứu xấp xỉ alytical, chúng tôi cũng sẽ xác định sự hấp thụ của ánh sáng phân cực thẳng qua Fermi của Golden Rule. Giấy được tổ chức như sau. Trong Sec. II, chúng tôi thảo luận về cấu trúc chung của penta-gaphene. Trong Sec. III, chúng tôi giới thiệu 4 băng tần có hiệu quả mô hình và trình bày xấp xỉ phân tích của nó. Trong Sec. IV, chúng tôi thảo luận về sự hấp thụ tại các cao điểm đối xứng của vùng Brillouin và gần gũi với một bản tóm tắt và kết luận. Trong phụ lục, chúng tôi chỉ ra tầm quan trọng của hiệu ứng tương quan để biện minh cho các thông số của các mở rộng chặt chẽ ràng buộc mô hình. II. PENTA-graphene A. Cấu trúc mạng tinh thể Các khuôn mẫu thường xuyên Cairo ngũ giác được trưng trưng bởi bốn liên kết tạo thành hình ngũ giác, ba trong số đó có khoảng cách một và đã có một khoảng cách b = (√ 3 - 1) một. Các tế bào đơn vị bao gồm sáu nguyên tử carbon và được xác định bởi hai Lạt hành cả vector một 1 = một (√ 3, √ 3) và một 2 = a (√ 3, - √ 3). Chiều dài của ô đơn vị bậc hai | một 1 | = | a 2 | = √ 6 một thu được từ nghiên cứu đầu tiên về nguyên tắc là 3. 64 ̊ A, 6 mà chuyển thành một = 1. 49 ̊ aand b = 1. 09 ̊ A. Khoảng cách thực như thu được từ hệ thứ nhất tính nguyên tắc bật ra được một chút lệch ferent, tức là, C 1 - C 2 = 1. 55 ̊ aand b = C 2 - C 2 = 1. 34 ̊ A, nơi có hai C1-nguyên tử và bốn C2- nguyên tử biểu thị các nguyên tử carbon với sp 3 và sp 2 -hybridization, tương ứng. Hơn nữa, các nguyên tử được sắp xếp trong ba ngang khác nhau trên máy bay, trong đó C1-nguyên tử hình thành các trung tâm 2 máy bay và hai trong số bốn C2-nguyên tử phía trên và mặt phẳng thấp, respectively.The tổng dis- tầm giữa C1 và C2 ngang -atomic máy bay là h = 0. 6 ̊ Awhich sản lượng các dự 2D- khoảng cách một = C 1 - C 2 (dự kiến) = 1. 43 ̊ aand b = C 2 - C 2 = 1. 34 ̊ A. Các méo Cairo khuôn mẫu ngũ giác được hiển thị trên bên tay trái của hình. 1 nơi C1 và C2-nguyên tử được biểu diễn bằng màu đỏ và những chấm đen, tương ứng. Các ngang màu đen và trái phiếu dọc chiều dài b kết nối C2-nguyên tử trong khi trái phiếu đỏ của chiều dài dự một kết nối C1 với C2-nguyên tử. 12 Các đơn vị tế bào được đánh dấu bằng hình vuông tô đậm và bao gồm hai C1-nguyên tử và bốn C2-nguyên tử. Hãy để chúng tôi cuối cùng đã nhận xét ​​về các nhóm đối xứng. Mạng tinh thể ba chiều sở hữu S 4 nhóm điểm và D 2 d nhóm không gian đầy đủ. Sau này bao gồm các yếu tố đối xứng sau đây: một C2 trục theo hướng vuông góc với một 1 - một 2 máy bay, hai C2 'trục vuông góc với C2, hai dihe- máy bay dral σ d cắt đôi các góc tạo thành bởi cặp của C2' trục và hai S không đúng 4 trục. Đối với các mạng nghiêm hai chiều, đối xứng tố ments được tăng gấp đôi đi từ D 2 d để D 4 h không gian đầy nhóm. B. Mật độ tính toán lý thuyết chức năng Chúng tôi tính toán cơ cấu ban nhạc của penta- graphene sử dụng mã VASP, 13,14 dựa trên lý thuyết chức năng mật độ (DFT). Tất cả calcula- tions đã được thực hiện bằng cách sử dụng máy chiếu Augmented sóng tiềm năng 15 và sử dụng các Perdew- hương vị Burke-Ernzerhof của gra- tổng quát xấp xỉ dient cho việc trao đổi-tương quan chức năng. 16 sóng Plane với một năng lượng cut-off của 500 eV được tuyển dụng để mô tả sự thống điện hóa trị trons (2 s 2 2 p 2) của các nguyên tử C. Các dụng Bril- khu Louin, Mississippi cho các tính toán thư giãn là 9x9x1 trong sơ đồ Monkhorst-Pack, 17 trong khi cao ac- cha phó tính toán điện tử để ước tính quan hệ chính kịp C1 trọng lượng / C2 được thực hiện bằng cách sử dụng 11x11x1. Cơ cấu ban nhạc của pentagraphene miễn phí đứng lớp đã được tính toán cho một hằng số mạng cố định của a = b = 3,64 ̊ A, 6 và bao gồm một khoảng cách chân khoảng 20 ̊ A. Trong tất cả các tính toán po- nguyên tử sitions được thư giãn cho đến khi lực lượng ít hơn 0.015 e- / ̊ A. Chúng tôi tìm thấy khoảng cách nguyên tử lớn hơn một chút so với một trong những trích dẫn ở phần trước đó được lấy từ Ref. 6.Tổ ban nhạc thu được cấu ture cho thấy sự thu hẹp dự kiến của các ban nhạc khoảng cách, phổ biến đến tất cả exchange- địa phương và bán trong nước xấp xỉ tương quan, mà được điều chỉnh thông qua một sự thay đổi cứng nhắc của ban nhạc dẫn để bắt chước b một một một! A) A B CD t o t t 'b) FIG. 1. (màu trực tuyến). a) Các cấu trúc mạng tinh thể của penta-graphene tương tự như Cairo pat- ngũ giác terning. Các chấm đen đại diện cho các nguyên tử carbon với sp 2 -hybridization (C2) và các dấu chấm màu đỏ đứng cho car- nguyên tử bon với sp 3 -hybridization (C1). b) Đơn vị tế bào của các giảm mô hình chặt chẽ ràng buộc bao gồm bốn C2-nguyên tử được gắn nhãn là A, B, C, D được kết nối bởi ba điều kiện nhảy t 0, t, và t '. khoảng cách ban nhạc Γ-Γ trực tiếp thu được sử dụng hybrid functionals. 6 Sau khi thay đổi cứng nhắc, các disper- band sion hình. 2 ngôi sao màu đỏ đồng ý đáng kể cũng đến functionals lai tốn kém hơn. Các C1 / C2 tỷ lệ đóng góp của các nguyên tử hóa trị và vùng dẫn là ít hơn 9% và 10%, lần lượt cực, vì vậy chúng tôi có thể kết luận rằng một mô hình bốn băng tần là một xấp xỉ đầy đủ. III. Tight-BẮT BUỘC VÀ PHÂN TÍCH PHƯƠNG PHÁP Mục tiêu của chúng tôi là giới thiệu một mô hình chặt chẽ ràng buộc mà chỉ xem xét bốn C2-nguyên tử mà nguyên tử A và B tạo thành dimer dọc và các nguyên tử C và D các dimer ngang, nhìn thấy ngay bên tay phải của hình . 1. Cả hai dimer được ghép bởi các ma trận hopping tố t 0 mà kết nối hai π -orbitals. Chúng tôi sẽ thiết lập này để các giá trị tiêu biểu t 0 = 2. 7eV. 5 Các yếu tố ma trận nhảy khác liên quan đến quá trình nhảy giữa hai dimer t và gần tới quá trình nhảy giữa các dimer cùng t '. Để đơn giản hóa mô hình của chúng tôi, chúng tôi sẽ đặt t = t 'và xác định giá trị của nó từ một sự phù hợp với cấu trúc DFT-band. Như chúng ta sẽ thấy, mô hình này cũng có thể được mô tả cũng có phân tích. Nhưng trước tiên, chúng ta sẽ thảo luận về các mô hình chặt chẽ ràng buộc đầy đủ kể cả ing sáu nguyên tử của ô đơn vị và 4 obitan trong các hình thức Slater-Koster. 18 A. Cách tiếp cận Slater-Koster Chúng tôi bắt đầu của chúng tôi chặt chẽ ràng buộc mô tả với các mô hình đầy đủ sẽ bao gồm tất cả sáu nguyên tử của các tế bào đơn vị và tất cả bốn obitan của các nguyên tử thứ hai mức năng lượng, tức là 2 s, 2 p x, 2 p y, 2 p z. Các kỹ thuật nhảy