42capita consumption a(t) and inves

42
capita consumption a(t) and investment i(t).
Define
F(a, i, k, k, t, p, A) -rt - e [u(a) + p(i -
the problem is to maximize
J = F(a, Jooo i, k, k, t, p, A) dt
Euler equations give
d
Fa - dt Fa = Fa - 0 = 0
F. - 0 = 0
1-
F d
=F - 0 0 - at Fp p p
or u '(a) = A(t)
or p(t) = A(t)
or k(t) = i(t) - ok(tJ
FA
d - 0 0 f(k) = a(t) + i(t) dt FA = FA or
d
F k - at Fk = -po + Af' (k) + p = 0
which, in view of p(t) = A(t), gives
p(tJ = [o - f'(kJ l p(tJ
This, together with F = 0 = k(t) = i(t) - ok(t)
p
k - k) + A(f- a - i)]
gives the solution to the system. This pair of autonomous non-linear
differential equations could be solved by phase diagram, as will be shown
in a later chapter.
Example 2 .6 • 8 Optimal Waste Disposal
As a further application of point and differential equation
constraints, consider Plourde's (1972) model of waste disposal. The
utility function is U(C 1, C2 ) = u(C1 ) + v(C2 ) where u(C1) is consumption
utility, v(C2 ) is waste disutility function. Consumption good C1 is
produced with labour L1 C1 (t) = f(L) and pollution C is proportional
1 2

Kết quả (Việt) 2:

42
tiêu đầu a (t) và đầu tư i (t).
Xác định
F (a, i, k, k, t, p, A) -rt - e [u (a) + p (i -
vấn đề là tối đa hóa
J = F (a, Jooo i, k, k, t, p, A) dt
Euler phương trình đó cho
d
Pháp - dt = Fa Fa - 0 = 0
F. - 0 = 0
1-
F d
= F - 0 0 - tại Fp pp
hoặc u '(a) = A (t)
hay p (t) = A (t)
hoặc k (t) = i (t) - ok (TJ
FA
d - 0 0 f (k) = a ( t) + i (t) dt = FA FA hay
d
F k - tại Fk = -po + Af '(k) + p = 0
trong đó, theo quan điểm của p (t) = A (t), cho
p (TJ = [o - f '(kJ lp (TJ
này, cùng với F = 0 = k (t) = i (t) - ok (t)
p
k - k) + A (F- a - i)]
cung cấp cho các giải pháp cho hệ thống. Điều này đôi phi tuyến tính tự trị
phương trình vi phân có thể được giải quyết bằng sơ đồ giai đoạn, như sẽ được hiển thị
trong một chương sau.
Ví dụ 2 0,6 8 • Xử lý chất thải tối ưu
Như một ứng dụng hơn nữa các điểm và phương trình vi phân
khăn, xem xét (1972) mô hình Plourde của xử lý chất thải. Các
chức năng tiện ích là U (C 1, C2) = u (C1) + v (C2), nơi u (C1) là tiêu thụ
tiện ích, v (C2) là -sự phản hiệu lãng phí tiêu thụ năng. C1 tốt được
sản xuất với lao động L1 C1 (t) = f (L) và ô nhiễm C là tỷ lệ
1 2