1.3. Irreducibility and Aperiodicit

1.3. Irreducibility and Aperiodicity
We now make note of two simple properties possessed by most interesting
chains. Both will turn out to be necessary for the Convergence Theorem (Theorem 4.9) to be true.
A chain P is called irreducible if for any two states x, y ∈ Ω there exists an
integer t (possibly depending on x and y) such that P
t
(x, y) > 0. This means
that it is possible to get from any state to any other state using only transitions of
positive probability. We will generally assume that the chains under discussion are
irreducible. (Checking that specific chains are irreducible can be quite interesting;
see, for instance, Section 2.6 and Example B.5. See Section 1.7 for a discussion of
all the ways in which a Markov chain can fail to be irreducible.)
Let T (x) := {t ≥ 1 : P
t
(x, x) > 0} be the set of times when it is possible for
the chain to return to starting position x. The period of state x is defined to be
the greatest common divisor of T (x).
Lemma 1.6. If P is irreducible, then gcd T (x) = gcd T (y) for all x, y ∈ Ω.
Proof. Fix two states x and y. There exist non-negative integers r and ℓ such
that P
r
(x, y) > 0 and P
ℓ
(y, x) > 0. Letting m = r +ℓ, we have m ∈ T (x)∩T (y) and
T (x) ⊂ T (y) − m, whence gcd T (y) divides all elements of T (x). We conclude that
gcd T (y) ≤ gcd T (x). By an entirely parallel argument, gcd T (x) ≤ gcd T (y). 
For an irreducible chain, the period of the chain is defined to be the period
which is common to all states. The chain will be called aperiodic if all states have
period 1. If a chain is not aperiodic, we call it periodic.
Proposition 1.7. If P is aperiodic and irreducible, then there is an integer r
such that P
r
(x, y) > 0 for all x, y ∈ Ω.
Proof. We use the following number-theoretic fact: any set of non-negative
integers which is closed under addition and which has greatest common divisor 1
must contain all but finitely many of the non-negative integers. (See Lemma 1.27
in the Notes of this chapter for a proof.) For x ∈ Ω, recall that T (x) = {t ≥ 1 :
P
t
(x, x) > 0}. Since the chain is aperiodic, the gcd of T (x) is 1. The set T (x)
is closed under addition: if s, t ∈ T (x), then P
s+t
(x, x) ≥ P
s
(x, x)P
t
(x, x) > 0,
and hence s + t ∈ T (x). Therefore there exists a t(x) such that t ≥ t(x) implies
t ∈ T (x). By irreducibility we know that for any y ∈ Ω there exists r = r(x, y)
such that P
r
(x, y) > 0. Therefore, for t ≥ t(x) + r,

Kết quả (Việt) 2:

1.3. Irreducibility và Aperiodicity
Bây giờ chúng ta hãy lưu ý hai thuộc tính đơn giản sở hữu bởi thú vị nhất
chuỗi. Cả hai sẽ bật ra được cần thiết cho định lý hội tụ (Định lý 4.9) là đúng.
Một chuỗi P được gọi là tối giản nếu cho bất kỳ hai trạng thái x, y ∈ Ω có tồn tại một
số nguyên t (có thể phụ thuộc vào x và y) như vậy mà P
t
(x, y)> 0. Điều này có nghĩa
rằng nó có thể nhận được từ bất kỳ nhà nước đối với bất kỳ nhà nước khác chỉ sử dụng chuyển tiếp của
xác suất dương. Chúng tôi sẽ thường giả định rằng chuỗi được thảo luận là
bất khả quy. (Kiểm tra lại các chuỗi cụ thể là tối giản có thể khá thú vị,
xem, ví dụ, phần 2.6 và Ví dụ B.5 Xem Phần 1.7 cho một cuộc thảo luận về.
tất cả các cách thức mà một chuỗi Markov có thể không được tối giản.)
Cho T ( x): = {t ≥ 1: P
t
(x, x)> 0} là tập hợp các lần khi nó có thể cho
các chuỗi để trở về vị trí bắt đầu x. Các giai đoạn của trạng thái x được định nghĩa là
ước số chung lớn nhất của T (x).
Bổ đề 1.6. Nếu P là tối giản, sau đó GCD T (x) = gcd T (y) với mọi x, y ∈ Ω.
Proof. Fix hai trạng thái x và y. Có tồn tại các số nguyên không âm r và ℓ như vậy
mà P
r
(x, y)> 0 và P
ℓ
(y, x)> 0. Cho m = r + ℓ, chúng tôi có m ∈ T (x) ∩T (y ) và
T (x) ⊂ T (y) - m, từ đâu gcd T (y) chia tất cả các yếu tố của T (x). Chúng tôi kết luận rằng
gcd T (y) ≤ T gcd (x). Bằng một lập luận hoàn toàn song song, gcd T (x) ≤ gcd T (y). ?
Đối với một chuỗi tối giản, giai đoạn của chuỗi được định nghĩa là khoảng thời gian
mà là chung cho tất cả các tiểu bang. Chuỗi sẽ được gọi là không tuần hoàn, nếu tất cả các quốc gia có
thời hạn 1. Nếu một chuỗi không phải là không tuần hoàn, chúng tôi gọi nó là định kỳ.
Dự luật 1.7. Nếu P là không tuần hoàn và không thể rút gọn, sau đó có một số nguyên r
như vậy mà P
r
(x, y)> 0 với mọi x, y ∈ Ω.
Proof. Chúng tôi sử dụng số học thực tế sau đây: bất kỳ bộ không âm
số nguyên được đóng theo cộng và có ước chung lớn nhất 1
phải chứa tất cả nhưng hữu hạn nhiều trong các số nguyên không âm. (Xem Bổ đề 1.27
. Ghi chú trong chương này cho một bằng chứng) Đối với x ∈ Ω, nhớ lại rằng T (x) = {t ≥ 1:
P
t
(x, x)> 0}. Kể từ khi chuỗi là không tuần hoàn, gcd của T (x) là 1. Các bộ T (x)
được đóng theo Ngoài ra: nếu s, t ∈ T (x), sau đó P
s + t
(x, x) ≥ P
s
(x, x) P
t
(x, x)> 0,
và do đó s + t ∈ T (x). Do đó có tồn tại (x) sao cho t ≥ t (x) hàm ý
t ∈ T (x). By irreducibility chúng ta biết rằng đối với bất kỳ y ∈ Ω có tồn tại r = r (x, y)
sao cho P
r
(x, y)> 0. Vì thế, cho t ≥ t (x) + r,