In the second case, one of the two

In the second case, one of the two vertices of the new edge is not already in Gk. Suppose
that ak+1 is in Gk but that bk+1 is not. Adding this new edge does not produce any new regions,
because bk+1 must be in a region that has ak+1 on its boundary. Consequently, rk+1 = rk.
Moreover, ek+1 = ek + 1 and vk+1 = vk + 1. Each side of the formula relating the number
of regions, edges, and vertices remains the same, so the formula is still true. In other words,
rk+1 = ek+1 − vk+1 + 2. This case is illustrated in Figure 10(b).
We have completed the induction argument. Hence, rn = en − vn + 2 for all n. Because the
original graph is the graph Ge, obtained after e edges have been added, the theorem is true.
Euler’s formula is illustrated in Example 4.

Kết quả (Việt) 1:

Trong trường hợp thứ hai, một trong hai đỉnh của edge mới không phải là đã ở với giả sửrằng ak + 1 là ở Gk nhưng mà bk + 1 không phải là. Thêm cạnh mới này không sản xuất bất kỳ khu vực mới,bởi vì bk + 1 phải nằm trong một khu vực có ak + 1 trên ranh giới của nó. Do đó, rk + 1 = rk.Hơn nữa, ek + 1 = ek + 1 và vk + 1 = vk + 1. Mỗi bên công thức liên quan sốkhu vực, cạnh, và đỉnh vẫn như nhau, vì vậy, công thức là vẫn còn đúng. Nói cách khác,RK + 1 = ek + 1 − vk + 1 + 2. Trường hợp này được minh họa trong hình 10(b).Chúng tôi đã hoàn thành các đối số cảm ứng. Do đó, rn = en − vn + 2 cho tất cả n. Bởi vì cácbiểu đồ ban đầu là đồ thị Ge, thu được sau khi e cạnh đã được thêm vào, các định lý là sự thật.Công thức Euler được minh họa trong ví dụ 4.

Kết quả (Việt) 2:

Trong trường hợp thứ hai, một trong hai đỉnh của cạnh mới không phải là đã có trong Gk. Giả sử
rằng ak + 1 là trong Gk nhưng mà bk + 1 không phải là. Thêm cạnh mới này không sản xuất bất kỳ khu vực mới,
vì bk + 1 phải ở trong một khu vực có ak + 1 trên ranh giới của nó. Do đó, rk + 1 = rk.
Hơn nữa, ek + 1 = ek + 1 và vk + 1 = vk + 1. Mỗi bên của các công thức liên hệ giữa số lượng
của các vùng, cạnh, và đỉnh vẫn giữ nguyên, nên công thức vẫn là thật. Nói cách khác,
rk + 1 = ek + 1 - vk + 1 + 2. Trường hợp này được minh họa trong hình 10 (b).
Chúng tôi đã hoàn thành việc lập luận quy nạp. Do đó, rn = en - vn + 2 với mọi n. Bởi vì các
biểu đồ ban đầu là đồ thị Ge, thu được sau khi cạnh e đã được thêm vào, định lý là đúng sự thật.
Công thức Euler được minh họa trong ví dụ 4.