Unlike the unproductive ideas conta

Unlike the unproductive ideas contained in the discussion of P being a function of A, thinking of breaking the surface down into small squares enabled Chris and Clay to break past their difficulty and understand how this integral works. They drew on a representative square, which they then turned into a representative cube. By “zooming in” on this cube they could analyze the properties of the integral. The bottom of the cube, given by dx and dy was actually the differential dA. This differential quantity, A, was multiplied to the integrand, P, to produce a “small bit” of the resultant quantity, force, which comprised the volume of that small cube. The “small pieces of force” contained in each cube were then added up in order to “find the total force” on the entire surface. Once again, their use of differentials depicts their thinking of the differential dA, or the related dx and dy, as infinitesimally small. Chris even states this explicitly, saying that the “infinitesimally small volumes” represented “infinitesimally small pieces of force,” which could be accumulated to find the exact amount of force(as opposed to an approximation). While, again, this conception is not equivalent to the Riemann integral, which constructs a sequence of values from finite Riemann sums and then takes the limit of the sequence, it is consistent with how physicis tsand engineers often think about and use definite integrals (see Hibbeler, 2012; Pytel & Kiusalaas, 2010; Serway & Jewett,2008; Wilson et al., 2010). Furthermore, it provided the students with a conceptual framework for making sense of this definite integral equation.The adding up pieces conceptualization allowed Clay and Chris to fully de construct the integral into its component pieces and put them back together in a way that explained how the integral computes force. Thus, this notion is productive for this applied context (see Fig. 8). The same result held true for Bill, once he switched from the area under a curve conceptualization to adding up pieces. After he and Becky failed to make progress for a while, I asked them to think about the table I was sitting at as the surface, S, and to tell me if the integral would apply to that situation.

Kết quả (Việt) 1:

Không giống như những ý tưởng không sanh sản chứa trong các cuộc thảo luận của P là một chức năng của A, suy nghĩ của phá vỡ mặt thành hình vuông nhỏ cho phép Chris và đất sét để phá vỡ qua khó khăn của họ và hiểu cách hoạt động của tích phân này. Họ đã thu hút trên một hình vuông đại diện, họ sau đó biến thành một khối lập phương đại diện. Bởi "phóng to" vào khối này, họ có thể phân tích các thuộc tính của tích phân. Dưới cùng của cube, được đưa ra bởi dx và dy là thực sự khác biệt giữa dA. Này số lượng vi phân, A, được nhân rộng để integrand, P, để sản xuất một chút nhỏ"" số lượng kết quả, lực lượng bao gồm khối lượng đó khối lập phương nhỏ. Các "miếng nhỏ của lực lượng" chứa trong mỗi khối sau đó được gửi lên để "tìm thấy lực lượng tất cả" trên toàn bộ bề mặt. Một lần nữa, việc sử dụng khoá mô tả của tư duy của đa vi sai, hoặc liên quan đến dx và dy, như infinitesimally nhỏ. Chris thậm chí nói điều này một cách rõ ràng, nói rằng "các khối tin infinitesimally nhỏ" đại diện "infinitesimally miếng nhỏ của lực lượng," mà có thể được tích lũy để tìm chính xác lượng quân (như trái ngược với một xấp xỉ). Thời gian, một lần nữa, quan niệm này không phải là tương đương với tích phân Riemann, mà xây dựng một chuỗi các giá trị từ hữu hạn Riemann tiền và sau đó sẽ giới hạn dãy, nó là phù hợp với cách physicis tsand kỹ sư thường suy nghĩ về và sử dụng tích phân xác định (xem Hibbeler, năm 2012; Pytel & Kiusalaas, 2010; Serway & Jewett, 2008; Wilson et al., 2010). Hơn nữa, nó cung cấp các sinh viên với một khuôn khổ khái niệm cho việc thực hiện các ý nghĩa của phương trình tích phân xác định này. Thêm lên miếng conceptualization cho phép đất sét và Chris để hoàn toàn de xây dựng tích phân thành phần thành phần của nó và đưa chúng trở lại với nhau một cách giải thích làm thế nào tích phân tính quân. Vì vậy, khái niệm này là sản xuất cho bối cảnh ứng dụng này (xem hình 8). Kết quả tương tự được tổ chức đúng đối với hóa đơn, một khi ông chuyển từ khu vực theo một đường cong conceptualization để thêm lên miếng. Sau khi ông và Becky không thực hiện tiến bộ trong một thời gian, tôi yêu cầu họ để suy nghĩ về bảng tôi đang ngồi ở như bề mặt, S, và cho tôi biết nếu tích phân sẽ áp dụng cho tình hình đó.

Kết quả (Việt) 2:

Không giống như những ý tưởng vô ích chứa trong các cuộc thảo luận của P là một chức năng của A, nghĩ đến việc phá vỡ bề mặt xuống thành hình vuông nhỏ được kích hoạt Chris và Clay để phá vỡ quá khứ khó khăn của họ và hiểu cách làm việc không thể thiếu này. Họ đã dựa vào một hình vuông đại diện, sau đó họ biến thành một khối đại diện. By "zoom" vào khối này họ có thể phân tích các tính chất của tích phân. Phần đáy của khối này, được đưa ra bởi dx và dy thực sự là dA khác biệt. Lượng khác biệt này, A, được nhân với tích phân, P, để sản xuất một "hơi nhỏ" về số lượng kết quả, hiệu lực, trong đó bao gồm khối lượng của khối lập phương nhỏ. "Miếng nhỏ của lực lượng" chứa trong mỗi khối được thêm vào sau đó lên để "tìm thấy tổng lực" trên toàn bộ bề mặt. Một lần nữa, họ sử dụng sự khác biệt về mô tả suy nghĩ của họ về sự khác biệt dA, hoặc dx và dy liên quan, như cực nhỏ. Chris thậm chí còn tuyên bố điều đó một cách rõ ràng, nói rằng "khối lượng cực nhỏ" đại diện "mảnh cực nhỏ của lực lượng", mà có thể được tích lũy để tìm số tiền chính xác của lực (như trái ngược với một xấp xỉ). Trong khi, một lần nữa, quan niệm này là không tương đương với Riemann thể thiếu, đó xây dựng một chuỗi các giá trị từ các khoản tiền Riemann hữu hạn và sau đó có những giới hạn của dãy, nó phù hợp với cách physicis kỹ sư tsand thường nghĩ về và sử dụng tích phân xác định (xem Hibbeler, 2012; Pytel & Kiusalaas, 2010; Serway & Jewett, 2008;. Wilson et al, 2010). Hơn nữa, nó cung cấp cho sinh viên với một khuôn khổ khái niệm để làm cho ý nghĩa của equation.The thiếu rõ ràng này thêm lên miếng khái niệm cho phép Clay và Chris đầy đủ de xây dựng tách rời thành từng mảnh thành phần của nó và đặt chúng lại với nhau theo một cách giải thích như thế nào thiếu tính toán lực lượng. Như vậy, khái niệm này là sản xuất cho bối cảnh áp dụng này (xem hình. 8). Các kết quả tương tự được tổ chức đúng đối với Bill, một khi ông chuyển từ khu vực dưới một khái niệm đường cong để thêm lên miếng. Sau khi ông và Becky đã không đạt được tiến bộ trong một thời gian, tôi hỏi họ phải suy nghĩ về bàn tôi đang ngồi tại là bề mặt, S, và để cho tôi biết nếu thiếu sẽ áp dụng cho tình huống đó.