Proving the existence of solutions

Proving the existence of solutions of DAE is a very chal- lenging problem in general. While local results can be derived from the implicit function theorem that specifies rank conditions for the Jacobian of the algebraic part, the non-local results are much harder to obtain. One general approach to non-local study of stability of DAE systems that is based on differential geom- etry is presented in [43] (for sufficient conditions see [44]). The surfaces on which rank conditions for the Jacobian of the alge- braic part do not hold are commonly denoted as impasse sur- faces, and in the analysis of models of power systems, it is typ- ically assumed that equilibrium sets of interest in stability anal- ysis are disjoint from such surfaces [41], [45].
An often useful approximation of the fast dynamics is based on the concept of dynamic (time-varying) phasors [46] and dynamic symmetrical components [47]. It is also typically assumed that distributed nature of some elements of a power system (e.g., transmission lines) can be approximated with lumped parameter models without a major loss of model fi- delity. This is mostly dictated by the fundamental intractability of models that include partial differential equations, and by satisfactory behavior of lumped parameter models (when evaluated on the level of single element—e.g., the use of multiple “ ” section models for a long transmission line). Some qualitative aspects of fault propagation in spatially extended power systems can, however, be studied effectively with distributed models [48].
Power systems are also an example of constrained dynamical systems, as their state trajectories are restricted to a particular subset in the state space (phase space in the language of dy- namical systems) denoted as the feasible (or technically viable, or permitted) operating region [45]. The trajectories that exit this desired region may either lead to structural changes (e.g., breaker tripping in a power system), or lead to unsafe operation. This type of consideration will introduce restricted stability re- gions in power system stability analysis.
Several additional issues are raised by the fact that the power system interacts with its (typically unmodeled) envi- ronment, making the power system model nonautonomous (or time-varying). Examples include load variations and network topology changes due to switching in substations. Additional interactions with the environment include disturbances whose physical description may include outages of system elements, while a mathematical description may involve variations in the system order, or the number of variables of interest.
Finally, a power system is a controlled (or forced) system with numerous feedback loops, and it is necessary to include the effects of control inputs (including their saturation), especially on longer time horizons.
The outlined modeling problems are typically addressed in a power system analysis framework in the following way:

Kết quả (Việt) 1:

Chứng minh sự tồn tại của các giải pháp của DAE là một vấn đề rất chal-lenging nói chung. Trong khi kết quả địa phương có thể được bắt nguồn từ định lý implicit chức năng chỉ định xếp hạng điều kiện cho Jacobi của phần đại số, kết quả local nhiều khó khăn hơn để có được. Một cách tiếp cận chung-local nghiên cứu của sự ổn định của hệ thống DAE, mà dựa trên vi sai người-etry được trình bày trong [43] (cho đủ điều kiện xem [44]). Các bề mặt mà trên đó xếp hạng điều kiện cho Jacobi phần phía alge - braic không giữ được thường biểu hiện như bế tắc sur-khuôn mặt, và trong phân tích mô hình hệ thống năng lượng, nó là typ - ically giả định rằng bộ cân bằng của quan tâm đến sự ổn định hậu môn-ysis được các từ như vậy bề mặt [41], [45].Một xấp xỉ thường hữu ích của các động thái nhanh dựa trên khái niệm năng động (thời gian khác nhau) phasors [46] và các thành phần đối xứng năng động [47]. Nó cũng thường được giả định rằng các tính chất phân phối của một số yếu tố của một hệ thống điện (ví dụ: đường dây) có thể được ước chừng với gộp tham số mô hình mà không có một mất mát lớn của mô hình fi-delity. Điều này chủ yếu khiển bởi intractability cơ bản của mô hình bao gồm phương trình vi phân riêng phần, và các hành vi thỏa đáng của mô hình tham số gộp (khi đánh giá về mức độ đơn element—e.g., sử dụng nhiều "" phần mô hình cho một đường dài truyền). Một số khía cạnh chất lượng lỗi tuyên truyền trong không gian mở rộng khả năng hệ thống có thể, Tuy nhiên, được nghiên cứu có hiệu quả với mô hình phân phối [48].Hệ thống năng lượng cũng là một ví dụ về hệ thống động lực hạn chế, như hnăm nhà nước của họ đang bị giới hạn đến một tập hợp con cụ thể trong không gian trạng thái (giai đoạn không gian trong ngôn ngữ của dy - namical hệ thống) biểu hiện như là khả thi (hoặc khả thi về mặt kỹ thuật, hoặc cho phép) điều hành vùng [45]. Hnăm thoát khỏi khu vực mong muốn này có thể dẫn đến thay đổi cấu trúc (ví dụ, Máy cắt vấp ngã trong một hệ thống điện), hoặc dẫn đến không an toàn hoạt động. Loại xem xét sẽ giới thiệu bị giới hạn ổn định re-gions trong phân tích sự ổn định hệ thống điện.Một số vấn đề khác được nêu ra bởi một thực tế rằng hệ thống điện tương tác với envi-ronment (thường unmodeled), làm cho các mô hình hệ thống điện nonautonomous (hoặc thời gian khác nhau). Ví dụ bao gồm biến thể tải và thay đổi topo mạng do chuyển đổi trong trạm biến áp. Bổ sung tương tác với môi trường bao gồm các rối loạn mà mô tả vật lý có thể bao gồm sự cố mất điện của các thành phần hệ thống, trong khi một mô tả toán học có thể bao gồm các biến thể trong bộ hệ thống, hoặc số lượng các biến quan tâm.Cuối cùng, một hệ thống điện là một hệ thống điều chỉnh (hoặc bắt buộc) với nhiều thông tin phản hồi vòng, và nó là cần thiết để bao gồm các ảnh hưởng của kiểm soát đầu vào (bao gồm cả bão hòa của họ), đặc biệt là ngày dài hơn thời gian tầm nhìn.Những vấn đề vạch ra mô hình được sửa địa chỉ thông thường trong cách sau đây, trong một khuôn khổ phân tích hệ thống điện:

Kết quả (Việt) 2:

Chứng minh sự tồn tại của các giải pháp của DAE là một vấn đề khúc mắt rất thách nói chung. Trong khi kết quả địa phương có thể được bắt nguồn từ các lý chức năng tiềm ẩn mà quy định cụ thể điều kiện xếp hạng cho các Jacobian của phần đại số, kết quả không địa phương là khó khăn hơn nhiều để có được. Một cách tiếp cận chung để nghiên cứu không địa phương của sự ổn định của hệ thống DAE đó là dựa trên khác biệt etry geom- được trình bày trong [43] (cho đủ điều kiện xem [44]). Các bề mặt trên đó xếp hạng điều kiện cho các Jacobian của phần braic alge- không giữ được thường được ký hiệu như các bề mặt bế tắc, và trong việc phân tích các mô hình của các hệ thống điện, đây là typ- ically giả định rằng bộ cân bằng lợi ích trong sự ổn định anal- ysis thường tách rời khỏi bề mặt như vậy [41], [45].
Một xấp xỉ thường hữu ích của sự năng động nhanh dựa trên khái niệm về động phasors (thời gian khác nhau) [46] và các thành phần đối xứng năng động [47]. Nó cũng thường được giả định rằng bản chất phân tán của một số yếu tố của một hệ thống điện (ví dụ, đường dây tải) có thể xấp xỉ với các mô hình tham số gộp mà không có một mất mát lớn của mô hình fi- delity. Đây là yếu quyết định bởi không thể trị được căn bản của mô hình bao gồm các phương trình vi phân từng phần, và bởi những hành vi thỏa đáng của các mô hình tham số gộp (khi đánh giá về mức độ đơn tố-ví dụ, việc sử dụng nhiều "" mô hình phần cho đường dây truyền tải dài) . Một số khía cạnh chất lượng của công tác tuyên truyền lỗi trong hệ thống quyền lực không gian mở rộng có thể, tuy nhiên, được nghiên cứu có hiệu quả với các mô hình phân phối [48].
Hệ thống điện cũng là một ví dụ về hệ thống động hạn chế, như quỹ đạo pha của họ được giới hạn cho một tập hợp con đặc biệt trong không gian trạng thái (không gian pha trong ngôn ngữ của hệ thống namical dy-) ký hiệu là có tính khả thi (hoặc kỹ thuật khả thi, hoặc cho phép) hoạt động khu vực [45]. Các quỹ đạo mà thoát khỏi vùng mong muốn này có thể hoặc là dẫn đến sự thay đổi cấu trúc (ví dụ, cầu dao ngắt trong một hệ thống điện), hoặc dẫn đến hoạt động không an toàn. Đây là loại hình được xem xét sẽ giới thiệu giới hạn ổn định gions lại trong phân tích hệ thống điện ổn định.
Một số vấn đề bổ sung được nêu ra bởi thực tế là hệ thống điện tương tác với (thường unmodeled) môi môi của nó, làm cho các mô hình hệ thống điện nonautonomous (hoặc tốn nhiều thời gian khác nhau). Các ví dụ bao gồm các biến thể tải và topo mạng thay đổi do chuyển đổi trong trạm biến áp. Tương tác bổ sung với môi trường gồm những rối loạn có thể mô tả có thể bao gồm cúp các thành phần hệ thống, trong khi một mô tả toán học có thể bao gồm các biến thể trong các lệnh hệ thống, hoặc số lượng các biến quan tâm.
Cuối cùng, một hệ thống quyền lực là một hệ thống kiểm soát (hay bắt buộc) với nhiều vòng phản hồi, và nó là cần thiết để bao gồm các tác động của yếu tố đầu vào điều khiển (bao gồm cả độ bão hòa của họ), đặc biệt là trên những chân trời thời gian lâu hơn.
Các vấn đề về mô hình phác thảo thường được đề cập trong một khuôn khổ phân tích hệ thống điện trong các cách sau: