6.11.2 Steiner trees The problem of

6.11.2 Steiner trees



The problem of finding an optimal “spanning” tree that spans only all nodes participating in a multicast group, known as the Steiner tree problem, is formalized as follows.

Steiner tree problem
Given a weighted graph (N, L) and a subset N r ⊆ N , identify a subset Lr ⊆ L
such that (N r , Lr ) is a subgraph of (N, L) that connects all the nodes of N r . A minimal Steiner tree is a minimal-weight subgraph (N r , Lr ). The minimal
Steiner tree problem has been well-studied and is known to be NP-complete. When the link weights change, the tree has to be recomputed to obtain the new minimal Steiner tree, making it even more difficult to use in dynamic networks.
Several heuristics have been proposed to construct an approximation to the minimal Steiner tree. A simple heuristic constructs a MST, and deletes edges that are not necessary. This algorithm is given by the first three steps of Algorithm 6.8. The worst case cost of this heuristic is twice the cost of the optimal solution. Algorithm 6.8 can show better performance when using the heuristic by Kou et al. [19], given by steps 4 and 5 in the algorithm.



The resulting Steiner tree cost is also at most twice the cost of the minimal Steiner tree, but behaves better on average.

Input: weighted graph G = (N, L), and N r ⊆ N , where N r is the set of Steiner points

(1) Construct the complete undirected distance graph Gr = (N r , Lr ) as fol- lows:
Lr = {(vi, vj) | vi, vj in N r }, and wt(vi, vj) is the length of the shortest
path from vi to vj in (N, L).
(2) Let T r be the minimal spanning tree of Gr. If there are multiple minimum spanning trees, select one randomly.
(3) Construct a subgraph Gs of G by replacing each edge of the MST T r of
Gr, by its corresponding shortest path in G. If there are multiple shortest paths, select one randomly.
(4) Find the minimum spanning tree Ts of Gs . If there are multiple minimum spanning trees, select one randomly.
(5) Using Ts , delete edges as necessary so that all the leaves are the Steiner points N r . The resulting tree, TSteiner , is the heuristic’s solution.

Algorithm 6.8 The Kou–Markowsky–Berman heuristic for a minimum Steiner tree.


Cost The time complexity of the heuristic algorithm for each of the five steps
2 r 2
is as follows: step 1: O(|N r|· |N | ); step 2: O(|N | ); step 3: O(|N |); step
4: O(|N 2); step 5: O(|N |). Step 1 dominates, hence the time complexity is
O(|N r|· |N |2).

Kết quả (Việt) 2:

6.11.2 Steiner cây Những vấn đề của việc tìm kiếm một tối ưu "trùm" cây kéo dài chỉ tất cả các nút tham gia vào một nhóm multicast, được gọi là các vấn đề cây Steiner, được chính thức hóa như sau. Vấn đề cây Steiner Cho một đồ thị có trọng số (N, L) và một tập hợp con r N ⊆ N, xác định một tập hợp con Lr ⊆ L như vậy mà (N r, Lr) là một đồ thị con của (N, L) kết nối tất cả các nút của N r. Một cây Steiner tối thiểu là một đồ thị con tối thiểu trọng lượng (N r, Lr). Các tối thiểu vấn đề cây Steiner đã được nghiên cứu và được biết đến là NP-đầy đủ. Khi các trọng số liên kết thay đổi, cây phải được tính toán lại để có được những cây Steiner tối thiểu mới, làm cho nó thậm chí còn khó khăn hơn để sử dụng trong mạng lưới năng động. Một số heuristics đã được đề xuất để xây dựng một xấp xỉ với cây Steiner tối thiểu. Một heuristic, đơn giản xây dựng một MST, và xóa cạnh đó là không cần thiết. Thuật toán này được đưa ra bởi ba bước đầu tiên của thuật toán 6.8. Chi phí hợp xấu nhất của heuristic, đây là hai lần chi phí của các giải pháp tối ưu. Algorithm 6.8 có thể chỉ cho hiệu suất tốt hơn khi sử dụng heuristic bởi Kou et al. . [19], được đưa ra bởi các bước 4 và 5 trong thuật toán kết quả Chi phí cây Steiner cũng là nhiều nhất là hai lần chi phí của cây Steiner tối thiểu, nhưng cư xử tốt hơn trên trung bình. Input: weighted graph G = (N, L), và N r ⊆ N, trong đó N r là tập hợp của Steiner điểm (1) Xây dựng hoàn chỉnh đồ thị khoảng cách vô hướng Gr = (N r, Lr) là mức thấp fol: Lr = {(vi, vj) | vi, vj trong N r}, và trọng lượng (vi, vj) là chiều dài ngắn nhất của đường đi từ vi đến vj trong (N, L). (2) Cho T r là cây bao trùm tối thiểu của Gr. Nếu có nhiều cây spanning tối thiểu, chọn một cách ngẫu nhiên. (3) Xây dựng một đồ thị con của Gs G bằng cách thay thế mỗi cạnh của T r của MST Gr, bằng con đường ngắn nhất tương ứng của nó trong G. Nếu có nhiều đường đi ngắn nhất, chọn một ngẫu nhiên. (4) Tìm các cây mở rộng tối thiểu của Gs Ts. Nếu có nhiều cây spanning tối thiểu, chọn một cách ngẫu nhiên. (5) Sử dụng Ts, xóa các cạnh như cần thiết để tất cả các lá là Steiner chỉ N r. Kết quả là cây, TSteiner, là giải pháp của heuristic. Algorithm 6.8 heuristic, Kou-Markowsky-Berman cho một cây Steiner tối thiểu. Chi phí Thời gian phức tạp của thuật toán heuristic cho mỗi năm bước 2 r 2 là như sau: Bước 1: O (| N r | · | N |); Bước 2: O (| N |); Bước 3: O (| N |); Bước 4: O (| N 2); Bước 5: O (| N |). Bước 1 là chủ yếu, do đó sự phức tạp thời gian là O (| N r | · | N | 2).