Manifolds in Euclidean space 51.3 C

Manifolds in Euclidean space 5
1.3 Curves
As mentioned in the introduction, we shall define a concept of manifolds
which applies to subsets of Rn rather than to parametrizations. In order
to understand the definition properly, we begin by the case of curves in R2.
The idea is that a subset of R2 is a curve, if in a neighborhood of each of its
points it is the image of an embedded parametrized curve.
x
y
W
C p C ∩ W = γ(I)
Definition 1.3. A curve in R2 is a non-empty set C ⊂ R2 satisfying the
following for each p ∈ C. There exists an open neighborhood W ⊂ R2 of p,
an open set I ⊂ R, and an embedded parametrized curve γ: I → R2 with
image
γ(I) = C ∩ W. (1.2)
Example 1.3.1. The image C = γ(I) of an embedded parametrized curve
is a curve. In the condition above we can take W = R2.
Example 1.3.2. The circle C = S1 = {(x, y) | x2 + y2 = 1} is a curve.
In order to verify the condition in Definition 1.3, let p ∈ C be given. For
simplicity we assume that p = (x0, y0) with x0 > 0.
Let W ⊂ R2 be the right half plane {(x, y) | x > 0}, then W is an
open neighborhood of p, and the parametrized curve γ(t) = (cos t, sint) with
t ∈ I =]− π 2, π 2 [ is regular and satisfies (1.2). It is an embedded curve since the
inverse map γ(t) 7→ t is given by (x, y) 7→ tan−1(y/x), which is continuous.
p W
γ(I) = C ∩ W
C
Example 1.3.3. An 8-shaped set like the one in Example 1.2.2 is not
a curve in R2. In that example we showed that the parametrization by
(cos t, cost sin t) was not embedded, but of course this does not rule out that
some other parametrization could satisfy the requirement in Definition 1.3.
That this is not the case can be seen from Lemma 1.3 below.

Kết quả (Việt) 1:

Đa tạp trong không gian Euclid 51.3 đường congNhư đã đề cập trong phần giới thiệu, chúng tôi sẽ xác định một khái niệm của các đa tạpđó áp dụng để tập hợp con của Rn chứ không phải là để parametrizations. Theo thứ tựđể hiểu định nghĩa đúng cách, chúng tôi bắt đầu bằng trường hợp của đường cong trong R2.Ý tưởng là một tập hợp con của R2 là một đường cong, nếu trong một khu phố của mỗi của nóđiểm nó là hình ảnh của một đường cong nhúng parametrized.xyWC p C ∩ W = γ(I)Định nghĩa 1.3. Một đường cong trong R2 là một không-trống bộ C ⊂ R2 đáp ứng cácsau đây cho mỗi p ∈ C. Có tồn tại một khu phố mở W ⊂ R2 p,mở một set tôi ⊂ R, và một đường cong nhúng parametrized γ: tôi → R2 vớihình ảnhΓ(I) = C ∩ W. (1,2)Ví dụ 1.3.1. Hình ảnh C = γ(I) của một đường cong nhúng parametrizedlà một đường cong. Trong điều kiện ở trên, chúng tôi có thể xem W = R2.Ví dụ 1.3.2. Vòng tròn C = S1 = {(x, y) | x 2 + y2 = 1} là một đường cong.Để xác minh điều kiện trong định nghĩa 1.3, cho p ∈ C được cung cấp. Chođơn giản chúng ta giả định rằng p = (x 0, y0) với x 0 > 0.Hãy để W ⊂ R2 là máy bay ngay một nửa {(x, y) | x > 0}, sau đó W là mộtmở các khu phố của p, và đường cong parametrized γ(t) = (cos t, sint) vớit ∈ tôi =] − π 2, π 2 [là thường xuyên và đáp ứng (1,2). Nó là một đường cong nhúng từ cácnghịch đảo bản đồ γ(t) 7→ t được cho bởi (x, y) 7→ tan−1(y/x), mà là liên tục.p WΓ(I) = C ∩ WCVí dụ 1.3.3. Một hình 8 bộ như là một trong những trong ví dụ 1.2.2 khôngmột đường cong trong R2. Trong ví dụ mà chúng tôi đã chỉ ra rằng parametrization bởi(cos t, chi phí tội lỗi t) đã được không phải nhúng, nhưng tất nhiên điều này không loại trừ ra rằngmột số parametrization khác có thể đáp ứng các yêu cầu trong định nghĩa 1.3.Đây không phải là trường hợp có thể được nhìn thấy từ bổ đề 1.3 dưới đây.

Kết quả (Việt) 2:

Sự đa dạng trong không gian Euclide 5
1.3 Curves
Như đã đề cập trong phần giới thiệu, chúng ta sẽ định nghĩa một khái niệm của đa tạp
mà áp dụng cho các tập con của Rn hơn là để parametrizations. Để
hiểu được định nghĩa đúng, chúng ta bắt đầu bằng trường hợp của những đường cong trong R2.
Ý tưởng là một tập hợp con của R2 là một đường cong, nếu trong một khu phố của mỗi mình
điểm đó là hình ảnh của một đường cong parametrized nhúng.
X
y
W
C p C ∩ W = γ (I)
Định nghĩa 1.3. Một đường cong trong R2 là một tập không rỗng C ⊂ R2 đáp ứng
sau cho mỗi p ∈ C. Có tồn tại một khu phố mở W ⊂ R2 của p,
một bộ mở tôi ⊂ R, và một parametrized nhúng γ đường cong: I → R2 với
hình ảnh
γ (I) = C ∩ W. (1.2)
Ví dụ 1.3.1. Những hình ảnh C = γ (I) của một đường cong parametrized nhúng
là một đường cong. Trong điều kiện trên, chúng ta có thể mất W = R2.
Ví dụ 1.3.2. Các vòng tròn C = S1 = {(x, y) | x2 + y2 = 1} là một đường cong.
Để xác minh điều kiện trong định nghĩa 1.3, hãy để p ∈ C được đưa ra. Để
đơn giản, ta giả sử rằng p = (x0, y0) với x0> 0.
Hãy W ⊂ R2 được nửa bên phải máy bay {(x, y) | x> 0}, sau đó W là một
khu phố mở của p, và γ đường cong parametrized (t) = (cos t, sint) với
t ∈ I =] - π 2, π 2 [là thường xuyên và đáp ứng (1.2). Nó là một đường cong nhúng kể từ khi
γ xạ ngược (t) 7 → t được cho bởi (x, y) 7 → tan-1 (y / x), mà là liên tục.
P W
γ (I) = C ∩ W
C
Ví dụ 1.3.3. Một bộ 8 hình như trong Ví dụ 1.2.2 không phải là
một đường cong trong R2. Trong ví dụ mà chúng tôi cho thấy rằng parametrization bởi
(cos t, tội lỗi chi phí t) không được nhúng, nhưng tất nhiên điều này không loại trừ khả năng
một số parametrization khác có thể đáp ứng các yêu cầu trong định nghĩa 1.3.
Điều đó đây không phải là trường hợp có thể được nhìn thấy từ Bổ đề 1.3 dưới đây.